замкнутой ограниченной области функция u необходимо достигает своего максимального M и минимального m значений. В то же время, поскольку u гармонична в , то в силу принципа максимума функция u не может достигать значений M и m внутри . Поэтому ей ничего не остается делать кроме того, как достигать значений M и m на границе области .
Следствие 3.2. Если функция u 2 H( ) \ C( ) равна нулю на , то u(x) 0 в .
Действительно, максимальное и минимальное значения u на равны
нулю, и, следовательно, u = 0 на .
Следствие 3.3 Если функция u 2 H( ) \ C( ) неотрицательна на, то u неотрицательна и внутри .
Следствие 3.4. Если функции u; v 2 H( ) \ C( ) удовлетворяют
условию u v на , то u v на .
Действительно, функция v u гармонична в , непрерывна на и неот-
рицательна на . Следовательно, в силу следствия 3.3 v u 0 на .
Следствие 3.5. Пусть u; v 2 H( ) \ C( ), причем v 0, |
|
juj v на : |
(3.13) |
Тогда juj v на .
Действительно, неравенство (3.13) эквивалентно условию v u v на . Применяя дважды следствие 3.4, получим, что v u v на .
Следовательно, juj v на .
Замечание 3.3. Гармоническая функция v, фигурирующая в утверждении следствия 3.5, называется гармонической мажорантой гармонической в функции u на границе , а само доказательство следствия 3.5 является простейшим примером применения так называемого метода гармонических мажорант. Сущность этого метода изучения свойств гармонических функций состоит в построении вспомогательной гармонической функции, являющейся гармонической мажорантой исследуемой гармонической функции u на границе рассматриваемой области, и установлении необходимых свойств функции u исходя из свойств ее гармонической мажоранты и принципа максимума. Ниже мы будем неоднократно использовать этот метод.
Следствие 3.6. Для любой функции u 2 H( ) \ C( ) справедливо
неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.14) |
j |
u |
max u(x) |
j |
x |
: |
|
(x)j x |
2 |
|
j |
8 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для доказательства соотношения (3.14) достаточно заметить, что константа M = maxx2 ju(x)j является гармонической мажорантой функции
u на границе , а следовательно, в силу следствия 3.5, и всюду в . 
Замечание 3.4. Следствия 3.5 и 3.6 справедливы и для множества ,
являющегося конечной суммой непересекающихся ограниченных областей.
Подчеркнем что приведенные в этом пункте свойства гармонических функций, доказанные нами для случая трех измерений, на самом деле справедливы в пространстве Rn любого числа n 2 измерений и доказываются совершенно по аналогичной схеме. Отметим, в частности, что формулы о среднем значении (3.4) и (3.8) в случае двух измерений принимают вид
u(x0) = 2 a Z a u(x)ds; |
u(x0) = a2 |
ZKa u(x)dxdy: |
(3.15) |
1 |
|
1 |
|
|
Здесь a (либо Ka) – окружность (либо круг) радиуса a с центром в точке x0, ds – элемент длины дуги границы . Отметим также, что приведенные выше результаты, касающиеся принципа максимума для решений уравнения Лапласа, можно перенести (с небольшими изменениями) на классические решения общего эллиптического уравнения второго порядка
n |
|
@2u |
|
n |
@u |
|
X |
|
|
Xi |
(3.16) |
|
aij(x) |
@xi@xj |
+ |
bi(x) |
|
+ c(x)u = f |
i;j=1 |
|
|
=1 |
@xi |
|
|
|
|
|
|
|
при некоторых условиях на коэффициенты aij, bi, c и f (см., [58, гл. 1]).
6.3.3. Единственность решений внутренней и внешней задач Дирихле для уравнения Лапласа. Докажем в качестве следствия приведенных выше свойств гармонических функций единственность решений внутренней и внешней задач Дирихле для уравнения Лапласа
Под внутренней задачей Дирихле мы понимаем задачу нахождения в ограниченной области функции u из пространства C2( ) \ C( ), удовлетворяющей уравнению (3.17) в каждой точке x 2 и условию Дирихле
Здесь g 2 C( ) – заданная функция. Ясно, что указанная функция u имеет смысл классического решения задачи (3.17), (3.18). Под внешней задачей Дирихле мы понимаем задачу нахождения в неограниченной области e функции (классического решения) u из пространства C2( e) \ C( e), удовлетворяющей уравнению Лапласа (3.17) в e, условию Дирихле (3.18) и определенному условию на бесконечности, называемому условием регулярности. В том случае, когда e есть внешность ограниченного открытого множества , т. е. e = Rnn , условие регулярности имеет вид
ju(x)j = o(1) при jxj ! 1 |
(3.19) |
в случае n 3 измерений и вид
ju(x)j = O(1) при jxj ! 1 |
(3.20) |
в случае, когда R2. Условие (3.19) означает, что u(x) равномерно стремится к нулю при x ! 1, тогда как условие (3.20) эквивалентно условию ограниченности решения u при больших x, а следовательно, в силу непрерывности u в e, и всюду в e. Таким образом, основное отличие в постановке внешних задач Дирихле для Rn при n 3 и для R2 связано с поведением решения на бесконечности.
Прежде чем приступить к доказательству единственности решений внутренней и внешней задач Дирихле, докажем следующую лемму, обобщающую принцип максимума для гармонических функций в форме (3.14) на случай неограниченной области e R3.
Лемма 3.1. Пусть функция u 2 C2( e) удовлетворяет уравнению (3.17) в области e = R3n , условию (3.19) и непрерывна на e. Тогда для функции u в e справедлив принцип максимума в следующей форме:
j |
u |
max |
u(x) |
j |
x |
|
; |
= @ : |
(3.21) |
|
(x)j x |
j |
|
8 2 |
e |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Пусть M = maxx2 ju(x)j. Обозначим через BR шар радиуса R с центром в начале координат. В силу ограниченности и условия (3.19) радиус R можно выбрать так, что BR и выполняется условие
ju(x)j < M 8x 2 R3nBR: |
(3.22) |
Введем ограниченную подобласть области e по формуле |
|
|
|
|
(3.23) |
R = e \ BR = BRn : |
Из свойств функции u вытекает, что на границе @ R = [ R, где R = @BR, выполняется условие
так что константа M является гармонической мажорантой функции u вR, причем ju(x)j < M на R. Из следствия 3.5 вытекает тогда, что (3.24) выполняется всюду в R. Отсюда и (3.22) вытекает утверждение леммы.
Замечание 3.5. Подчеркнем, что для внешней области принцип максимума справедлив именно в форме (3.21), являющейся аналогом на случай неограниченной области соотношения (3.14), справедливого для ограниченной области . В то же время “чистый” принцип максимума вида (3.11) для неограниченной области уже не справедлив. В этом можно убедиться на примере функции u(x) = 1=jxj, гармонической вне шара B1 радиуса 1, непрерывной в R3nB1, равной 1 на границе этого шара, но принимающей значения, меньшие 1 при jxj > 1. Другой пример дает функция 1=jxj.
Лемма 3.2. Решение u 2 C2( ) \ C( ) внутренней задачи Дирихле либо u 2 C2( e) \ C( e) внешней задачи Дирихле в R3 единственно.
Доказательство. Рассмотрим сначала внутреннюю задачу Дирихле. Пусть она имеет два решения: u1 и u2: Тогда их разность u = u2 u1
является гармонической функцией, непрерывной на и равной нулю на . Отсюда в силу следствия 3.2 вытекает, что u(x) 0 на ) u1 = u2 на .
Рассмотрим теперь внешнюю задачу Дирихле. Как и выше, предположим, что существуют два решения: u1 и u2. Тогда их разность u = u2 u1 удовлетворяет уравнению Лапласа u = 0 в e и условию регулярности (3.19) на бесконечности, т. е. является функцией, гармонической в e. Кро-
ме того, она непрерывна на e и равна нулю на . Отсюда в силу леммы
3.1 вытекает, что u(x) 0 на e ) u1 = u2 на e. 
Отметим, что леммы 3.1 и 3.2 справедливы в пространстве Rn любого числа n 3 измерений. Рассмотрим теперь случай двух измерений.
Лемма 3.3. Решение u 2 C2( ) \ C0( ) внутренней задачи Дирихле либо u 2 C2(e) \ C(e) внешней задачи Дирихле в R2 единственно.
Доказательство. Для внутренней задачи Дирихле доказательство единственности проводится по той же схеме, что и в трехмерном случае. Для внешней задачи Дирихле используемые выше рассуждения неприменимы, поскольку они существенно используют условие (3.19) равномерного стремления к нулю решения на бесконечности. В то же время в постановку двумерной внешней задачи входит лишь условие (3.20) ограниченности на бесконечности. С учетом этого нам придется провести более тонкие рассуждения, основанные на построении гармонической мажоранты для разности двух возможных решений.
Предположим, что существуют два решения u1 и u2 задачи (3.17), (3.18), (3.20). Тогда их разность u = u2 u1 является гармонической функцией, непрерывной в e = e [ , равной нулю на и ограниченной всюду вe, так что выполняется условие ju(x)j M 8x 2 e. Пусть x0 2 e
– произвольная точка. Вспомнив, что e является внешностью открытого ограниченного множества , выберем в произвольным образом точку x0 и построим две окружности с центром в точке x0: окружность r малого радиуса r, целиком содержащуюся в , и окружность R достаточно большого радиуса, целиком содержащую и x0 внутри себя (см. рис. 3.3).
Как и выше, обозначим через R область, ограниченную границей и окруж-
ностью R. Следуя [56, c. 324], рассмотрим в области R вспомогательную функцию
vR, определенную формулой
vR(x; x0) = M ln(jx x0j=r); x 2 R: ln(R=r)
(3.25) Из результатов x6:1 вытекает, что функция vR гармонична в R. Кроме того, она непре-
рывна в R, равна M на R и положитель-
Рис. 3.3
324
на на . Последнее вытекает из того факта, что в каждой точке x 2 выполняется условие jx x0j > r. Из принципа макси-
мума вытекает тогда , что vR положительна в R, а из свойств функции u вытекает, что на границе @ R = [ R выполняется условие
так что vR является гармонической мажорантой функции u на @ R. Из следствия 3.5 вытекает тогда, что (3.26) выполняется и в каждой точке
x 2 R.
Станем увеличивать радиус R. Из свойств функции vR вытекает, что
vR(x0; x0) ! 0 при R ! 1: |
(3.27) |
Учитывая (3.27) и (3.26), приходим к выводу, что u(x0) = 0. Из произвольности точки x0 2 e следует, что u(x) = 0 в e ) u1 = u2 
.
Замечание 3.6. При доказательстве лемм 3.1–3.3 неявно предполагалось, что e является (неограниченной) областью. Отметим, что в силу замечания 3.4 утверждения этих лемм остаются справедливыми и в случае, когда e состоит из нескольких связных компонент (как на рис. 3.1,б).
Единственность решения u внешней задачи Дирихле в R2 можно установить и другим способом, используя известное преобразование Кельвина относительно окружности R. Оно переводит функцию, гармоническую вне круга KR, в функцию, гармоническую в области KRnf0g. Основываясь на этом подходе, можно получить следующие более общие результаты (см. [11, c. 373]).
Лемма 3.4. Пусть функция u удовлетворяет уравнению (3.17) в области e = R2n , условию (3.20) и непрерывна на e. Тогда для функции u в области e справедлив принцип максимума в следующей форме:
j |
u |
max |
u(x) |
j |
x |
|
: |
(3.28) |
|
(x)j x |
2 |
|
j |
|
8 2 |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кроме того, функция u непрерывна на бесконечности, т. е. существует конечный предел
lim u(x) = u |
1 |
; |
(3.29) |
x |
!1 |
|
|
|
|
|
|
а ее производные удовлетворяют следующему условию на бесконечности:
|
@u(x) |
1 |
|
|
@u(x) |
1 |
|
|
(3.30) |
j |
|
|
j = O( |
|
); |
j |
|
|
j = O( |
|
); |
jxj ! 1: |
@x |
jxj2 |
@y |
jxj2 |
Замечание 3.7. Отметим, что если единственность решений внутренней и внешней задач Дирихле в R3 доказывается сравнительно просто на
основе принципа максимума, то доказательство существования классических решений каждой из этих задач представляется значительно более сложным делом, особенно для внешней задачи, и требует использования специального аппарата. Одним из широко используемых для этого методов является метод граничных интегральных уравнений. Сущность его будет изложена в гл. 7. Важно отметить, что использование этого метода позволяет доказать существование решения внешней задачи в том же классе функций, удовлетворяющих условию (3.19) на бесконечности, в котором доказана единственность решения. В этом смысле условие (3.19) можно считать естественным условием для корректной постановки внешней краевой задачи в R3. Аналогичную роль в двумерном случае играет условие (3.20) ограниченности на бесконечности, поскольку именно в классе функций, удовлетворяющих условию (3.20), удается доказать как единственность (см. лемму 3.3), так и существование классического решения.
§ 6.4. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге и вне круга методом Фурье
6.4.1. Постановка краевых задач. Применение метода Фурье.
Пусть = a = f(x; y) 2 R2: x2 + y2 < a2g – круг радиуса a; e = R2 n . Рассмотрим две задачи: задачу 1 (внутреннюю задачу Дирихле), заключа-
ющуюся в нахождении классического решения u уравнения Лапласа
в , удовлетворяющего граничному условию
и задачу 2 (внешнюю задачу Дирихле). Последняя заключается в нахождении классического решения u уравнения (4.1) в области e, удовлетворяющего граничному условию (4.2) и условию на бесконечности
u(x; y) = O(1) при (x2 + y2) ! 1: |
(4.3) |
В силу леммы 3.3 решение каждой из этих задач единственно. Поэтому займемся здесь нахождением указанных решений с использованием метода Фурье. Прежде всего введем на плоскости полярные координаты ; ' и запишем с учетом (1.6) уравнение (4.1) в переменных ; ' в виде
u |
1 @ |
|
@u |
+ |
1 @2u |
= 0: |
(4.4) |
|
|
|
|
|
|
|
@ |
@ |
2 @'2 |
Будем искать частные решения уравнения (4.4) в виде произведения
u( ; ') = R( ) ('): |
(4.5) |
Подставляя (4.5) в (4.4) и разделяя переменные, получаем
где – константа. Отсюда приходим к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям для функций R и , имеющим вид
( R0)0 R = 0 |
в (0; a); |
(4.7) |
00 + = 0 в |
(0; 2 ): |
(4.8) |
В силу однозначности решения u задачи 1 (либо 2) функция должна удовлетворять следующему условию 2 – периодичности по ':
Равенства (4.8), (4.9) представляют собой спектральную задачу. Она заключается в нахождении таких чисел , для которых существует нетривиальное решение уравнения (4.8), удовлетворяющее условию (4.9). Простой анализ показывает, что ее решение, т. е. собственные значения k и функции k, имеет вид
k = k2; k(') = akcosk' + bksink'; k = 0; 1; 2; ::: |
(4.10) |
(отрицательные значения k не дают новых решений).
Заменим в (4.7) на k2. Получим так называемое уравнение Эйлера
2R00 + R0 k2R = 0: |
(4.11) |
Его решение при k > 0 будем искать в виде
Подставляя (4.12) в (4.11) и сокращая на , находим, что
Отсюда при k > 0 получаем два линейно независимых решения: k и k. При k = 0 независимыми решениями являются функции 1 и ln .
Так как искомое решение u должно быть ограниченным в круге для внутренней задачи и во внешности e круга для внешней задачи, то в качестве множителя R в (4.5) следует взять функции
R0( ) = 1; |
Rk( ) = k; |
k 1 |
(4.14) |
для задачи 1 и |
Rk( ) = k; |
k 1 |
(4.15) |
R0( ) = 1; |
для задачи 2. С учетом этого искомые частные решения уравнения (4.4), удовлетворяющие условию 2 –периодичности по ', имеют вид
|
uk( ; ') = k(akcosk' + bksink'); |
k = 0; 1; :::; |
(4.16) |
для задачи 1 |
(внутренней задачи Дирихле) и |
|
|
|
uk( ; ') = k(akcosk' + bksink'); |
k = 0; 1; :::; |
(4.17) |
для задачи 2 |
(внешней задачи Дирихле). |
|
|
В силу линейности (4.4) бесконечная сумма решений (4.16), т. е. ряд |
|
|
1 |
|
|
|
|
Xk |
|
(4.18) |
|
u( ; ') = |
k(akcosk' + bksink') |
|
|
=0 |
|
|
для задачи 1 |
и ряд |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Xk |
|
(4.19) |
|
u( ; ') = |
k(akcosk' + bksink') |
|
|
=0 |
|
|
для задачи 2 также являются решениями уравнения (4.4), удовлетворяющими условию 2 – периодичности. Этот вывод, конечно, справедлив при условии, что ряд (4.18) (либо (4.19)) можно дважды почленно дифференцировать по r и ' с сохранением равномерной сходимости в (либо в e).
Осталось определить коэффициенты ak и bk. Воспользуемся для этого граничным условием (4.2). Переходя в (4.18) формально к пределу при! a и используя (4.2), получим
1 |
|
Xk |
(4.20) |
u(a; ') = ak(akcosk' + bksink') = g('): |
=0 |
|
Предположим, что граничная функция g удовлетворяет условиям
(i)g 2 C0[0; 2 ], g(0) = g(2 ).
Сучетом условий (i) функцию g можно разложить в ряд Фурье:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
g(') = |
0 |
+ |
Xk |
( kcosk' + ksink'); |
(4.21) |
|
|
|
|
2 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где коэффициенты 0 и k, k, k = 1; 2; ::: определяются формулами |
0 |
= Z0 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
g( )d ; k = Z0 |
g( )cosk d ; k = Z0 |
g( )sink d : |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.22) |
Сравнивая ряды (4.20) и (4.21), приходим к соотношениям для определения ak и bk. Они имеют вид a0 = 0=2, ak = k=ak, bk = k=ak, k = 1; 2; ::: . Тем самым мы получили (формально) решение задачи 1 в виде ряда
u( ; ') = |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
k |
20 + k=1 uk( ; ') |
20 + k=1 |
a |
( kcosk' + ksink'): (4.23) |
|
|
X |
|
X |
|
|
|
Аналогичным образом показывается, что решение u задачи 2 имеет вид
u( ; ') = |
|
1 |
|
a |
|
k |
(4.24) |
20 + k=1 |
|
( kcosk' + ksink'): |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
Докажем, что при выполнении условий (i) ряды (4.23) и (4.24) действительно являются классическими решениями уравнения Лапласа (4.1) соответственно в областях и e. Рассмотрим сначала ряд (4.23) и докажем,
что в замкнутом круге 0 = f( ; ') : 0 0; ' 2 [0; 2 )g, где 0 < a
– произвольное число, равномерно сходятся как ряд (4.23), так и ряды
Xk |
@uk |
|
Xk |
@2u |
Xk |
@u |
Xk |
@2uk |
|
|
|
; |
k |
; |
k |
; |
|
; |
(4.25) |
@ |
@ 2 |
@' |
@'2 |
полученные его почленным дифференцированием.
При выполнении условия (i) для коэффициентов Фурье k и k функции g справедливы следующие оценки (см. [19, c. 318]):
j 0j M; j kj M и j kj < M = const 8k = 1; 2; ::: : |
(4.26) |
Учитывая (4.26) и неравенства jcosk'j 1, jsink'j 1, выводим, что ряды (4.23) и (4.25) мажорируются в круге 0 соответственно числовыми рядами:
2 + 2M |
k |
a0 |
; |
2a |
k |
k |
a0 |
|
|
; |
2a2 |
|
k |
|
k(k 1) |
a0 |
|
; |
M |
X |
|
k |
M |
X |
|
|
|
(k |
1) |
M |
X |
|
|
(k |
2) |
|
|
|
2M |
k |
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
k a0 |
|
; 2M |
k2 a0 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
Сходимость их легко следует из признака Даламбера. Отсюда вытекает, что ряд (4.23) имеет непрерывные производные первого и второго порядков по и ' и удовлетворяет уравнению (4.1) при < a, т. е. является гармонической в функцией. Осталось доказать равномерную сходимость ряда (4.23) в замкнутом круге . Для этого достаточно доказать сходимость числового ряда
1 |
|
Xk |
(4.27) |
j 0j + (j kj + j kj); |
=1 |
|
который является мажорирующим в замкнутом круге для ряда (4.23),
поскольку juk( ; ')j j kj + j kj в , k = 1; 2; ::: . Предположим, что в дополнение к условиям (i) выполняется условие:
(ii) функция g имеет на [0; 2 ] кусочно-непрерывную производную g0. Легко проверить, интегрируя по частям, что коэффициенты Фурье ~k
~0
иk функции g связаны с коэффициентами Фурье k и k функции g формулами
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
~k Z0 |
g0(')cosk'd' = k Z0 |
|
g(')sink'd' = k k; k = 1; 2; :::; |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~k Z0 |
2 |
(')sink'd' = k Z0 |
2 |
g(') cos k'd' = k k; k = 1; 2; ::: : |
g0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
Отсюда следует, что j kj + j kj = (j~kj + j kj)=k и для доказательства |
сходимости ряда (4.27) достаточно доказать сходимость ряда |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(j kkj |
~ |
: |
|
(4.28) |
|
|
|
|
|
|
|
Xk |
+ j kkj) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но сходимость ряда (4.28) следует из элементарных неравенств |
|
|
|
|
|
j k j |
2 |
~k2 + k2 |
; |
|
~ |
2 ~k2 |
+ k2 |
|
|
|
|
|
|
|
j k j |
|
|
|
|
|
~k |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
k |
1 |
1 |
|
и из сходимости рядов
11
X |
~2 |
Xk |
|
2 |
2 |
): |
(~k |
+ k); |
(1=k |
k=1 |
|
=1 |
|
Первый из них сходится в силу равенства Парсеваля для кусочно-непре- рывной функции g0, а второй – в силу признака Коши–Маклорена (см. [18]). Сформулируем полученный результат.
Теорема 4.1. При выполнении условий (i) ряд (4.23) является гармонической в круге функцией. Если, более того, выполняется условие (ii), то ряд (4.23) является непрерывной в замкнутом круге функцией, удовлетворяющей граничному условию (4.2) и, следовательно, является классическим решением задачи 1.
Аналогичный результат справедлив и для внешней задачи.
Теорема 4.2. При выполнении условий (i) ряд (4.24) является гармонической во внешности e круга функцией. Если, более того, выполняется условие (ii), то ряд (4.24) является непрерывной в замкнутой области e функцией, удовлетворяющей граничному условию (4.2) и
