emph_f

случай n = 2 отвечает так называемому квадрупольному сферическому источнику и т. д. Более подробную информацию о различных сферических источниках и их физическом смысле можно найти, например, в книге [21].

В силу линейности и однородности уравнения (4.1) бесконечная сумма частных решений (4.46), т. е. ряд

при произвольных постоянных amn также является решением уравнения (4.1). Этот вывод, конечно, справедлив при условии, что ряд (4.47) можно дважды почленно дифференцировать по r; и ', причем ряд (4.47) и ряды, полученные его почленным дифференцированием, равномерно сходятся вне S.

Выберем далее постоянные amn так, чтобы функция (4.47) удовлетворяла граничному условию (4.2), где для простоты будем считать, что

С этой целью, предполагая правую часть g в (4.2) достаточно гладкой, разложим ее в ряд (4.39) по сферическим функциям Ynm, коэффициенты cmn которого определяются формулой (4.40). Учитывая, что @u=@n = @u=@r при r = a, где a – радиус сферы S, и что

Сравнивая (4.50) и (4.39), приходим к выводу, что граничное условие (4.2) удовлетворяется, если коэффициенты amn ряда (4.47) связаны с коэффициентами Фурье cmn разложения (4.39) граничной функции g соотношениями

Тем самым решение краевой задачи (4.1)–(4.3) (формально) построено. Оно имеет вид ряда (4.47), коэффициенты amn которого определяются формулами (4.51). Можно показать, что для достаточно гладкой функции g (например, для g 2 C3(S)) ряд (4.47) с коэффициентами (4.51) равномерно

261

сходится во внешности D сферы S, и его можно почленно дважды дифференцировать по всем переменным внутри D. Следовательно, для g 2 C3(S) ряд (4.47) с коэффициентами (4.51) действительно является искомым решением задачи (4.1)–(4.3). О физическом смысле решения (4.47) и его составляющих гармоник более подробно можно прочитать в [21, с. 426].

Задачи к гл. 4

4.1. Доказать, что при выполнении условий (1.49) сумма ряда (1.41) с коэффициентами Tk, определенными в (1.48), принадлежит пространству C2;2(QT ) и является решением задачи (1.35)–(1.37).

4.2. Рассмтреть задачу (3.19)–(3.21), описывающую свободные колебания прямоугольной мембраны. Указать достаточные условия на исходные данные задачи – функции '0 и '1, при которых сумма (двойного) ряда (3.37) принадлежит пространству C2;2(QT ) и является регулярным решением задачи (3.19)–(3.21).

262

ГЛАВА 5. Параболические уравнения и тепловые процессы

В гл.1 было показано, что математическое моделирование процессов переноса тепла, диффузии, распространения электромагнитных полей в сильно проводящих средах и ряда других процессов приводит к необходимости решения начально-краевых задач для уравнений параболического типа. Простейшим представителем параболических уравнений является уравнение теплопроводности

где a2 = const > 0, f – заданная функция, имеющая смысл объемной плотности источников тепла. Ниже мы сформулируем основные начальнокраевые задачи и задачу Коши для уравнения вида (1) в пространстве одного и нескольких измерений, исследуем единственность и устойчивость решений указанных задач, докажем их разрешимость в частных случаях, используя методы Фурье и интегральных преобразований, и изучим свойства их решений, характеризующие именно параболические уравнения. К указанным свойствам относятся принцип максимума, бесконечная дифференцируемость решения внутри рассматриваемой области даже при негладких граничных и начальных данных и бесконечная скорость распространения возмущений. Мы также приведем пример некорректной постановки задачи для уравнения теплопроводности.

§5.1. Принцип максимума

5.1.1.Принцип максимума для однородного уравнения теплопроводности. Пусть – ограниченная область в пространстве R3 с гра-

ницей . Положим QT = (0; T ], T = (0; T ]; 0 = ft = 0g, где 0 < T < 1. Ясно, что с геометрической точки зрения область QT пред-

ставляет собой конечный цилиндр в пространстве R4 = R3x R1t , а T и 0 являются соответственно его боковой поверхностью и нижним основанием. Рассмотрим в цилиндре QT следующую начально-краевую задачу: найти в QT решение трехмерного однородного уравнения теплопроводности

263

и начальному условию

Здесь x = (x; y; z), u – искомая функция, под которой ниже будем понимать температуру в области , константа a2 > 0 имеет смысл коэффициента температуропроводности, g и ' – заданные функции своих аргументов, первая из которых описывает распределение температуры на границе , а вторая описывает начальное распределение температуры в области . Задача (1.1)–(1.3) называется первой начально-краевой задачей (или просто первой краевой задачей, либо задачей Дирихле) для уравнения теплопроводности. В физическом плане она представляет собой задачу определения эволюции теплового состояния тела, занимающего область , по заданному его тепловому состоянию в начальный момент и на границе.

Фундаментальным свойством решений уравнения теплопроводности (1.1), качественно отличающим его от волнового уравнения, является принцип максимума. Обозначим через C2;1(QT ) подпространство пространства C(QT ), состоящее из функций, непрерывных в QT вместе с производными первого и второго порядков по пространственным переменным и производной первого порядка по t, через C(QT ) обозначим подпространство пространства

C(QT ), состоящее из функций, непрерывных в замыкании QT = [0; T ] множества QT . Сформулируем принцип максимума в виде теоремы.

Теорема 1.1 (Принцип максимума). Функция u 2 C2;1(QT ) \ C(QT ), удовлетворяющая однородному уравнению теплопроводности (1.1) в цилиндре QT , принимает максимальное и минимальное значения либо на боковой поверхности T = (0; T ] цилиндра QT , либо на его нижнем

основании ft = 0g.

Доказательство. Достаточно провести доказательство для случая максимума. Действительно, если функция u, указанная в условии теоремы, достигает минимума в некоторой точке (x; t) 2 QT , то в той же точке (x; t) достигает максимума функция u, также удовлетворяющая условиям теоремы. Применим для доказательства принципа максимума метод барьеров, суть которого излагается ниже.

Положим

M = max u(x; t); m = max u(x; t):

(x;t)2QT (x;t)2 T [ 0

Ясно, что M m. Теорема будет доказана, если мы покажем, что M = m для любого решения u 2 C2;1(QT ) \ C(QT ) уравнения (1.1). Предположим противное, т. е. что существует такое решение u уравнения (1.1), для которого M > m. В силу непрерывности на QT функции u существует по крайней мере одна точка (x0; t0) = (x0; y0; z0; t0) 2 (0; T ] такая, что

264

называемую барьером для функции u, где d – диаметр области . На боковой поверхности T цилиндра QT и на его нижнем основании 0 имеем

v(x; t) m + M m = M + 5m < M:

6 6 6

Кроме того, v(x0; t0) = u(x0; t0) = M. Последнее означает, что функция v так же, как и u, не принимает максимума ни на боковой поверхности T цилиндра QT , ни на его нижнем основании, т. е. при t = 0.

В таком случае максимум функции v достигается в некоторой точке

(x1; t1) = (x1; y1; z1; t1) 2 QT = (0; T ], где x1 является строго внутренней точкой области и 0 < t1 T . Поскольку точка (x1; t1) является

точкой максимума функции v, то в этой точке необходимо выполняются неравенства [18]:

(Более того, если t1 < T , то @v=@t = 0 согласно необходимому условию экстремума дифференцируемой функции). Из (1.5) вытекает, что в точке (x1; t1) выполняется неравенство

С другой стороны, в любой точке (x; t) 2 (0; T ] в силу (1.4) имеем

Поскольку (1.7) противоречит (1.6), то теорема доказана.

Определение 1.1. Классическим решением первой краевой задачи (1.1)–(1.3) назовем функцию u 2 C2;1(QT ) \ C(QT ), удовлетворяющую уравнению (1.1) в каждой точке (x; t) 2 QT , граничному условию (1.2) в каждой точке (x; t) 2 (0; T ] и начальному условию (1.3) в каждой точке x 2 .

Из теоремы 1.1 вытекают три важных следствия для классического решения u первой краевой задачи (1.1)–(1.3).

Следствие 1.1. Классическое решение u задачи (1.1)–(1.3), отвечающее нулевым данным g = 0 и ' = 0, тождественно равно нулю в QT .

265

Действительно, поскольку максимальное и минимальное значения u наT и 0 равны нулю, то u 0 в силу принципа максимума.

Следствие 1.2. Классическое решение задачи (1.1)–(1.3) единственно.

Доказательство. Действительно, предположим противное, что существуют два классических решения u1 и u2 задачи (1.1)–(1.3). Тогда их разность u = u1 u2 удовлетворяет однородному уравнению (1.1) и обращается в нуль как при t = 0, так и на (0; T ]. Но тогда из следствия 1.1 вытекает, что u 0 в QT , т.е. что u1 = u2.

Следствие 1.3. Классическое решение задачи (1.1)–(1.3) непрерывно в норме C(QT ) зависит от граничной функции g в (1.2) и начальной функции ' в (1.3).

Доказательство. Действительно, пусть разность g1 g2 граничных функций g1 и g2 в (1.2) и '1 '2 начальных функций '1 и '2 в (1.3) не превосходит по модулю числа " > 0: jg1 g2j " на [0; T ], j'1 '2j " в (при t = 0). Обозначим через u1 (либо u2) решение задачи (1.1)–(1.3), отвечающее паре (g1; '1) (либо (g2; '2)). Тогда разность u = u1 u2 обоих решений как решение однородного уравнения (1.1) с граничной функцией g1 g2 и начальной функцией '1 '2 удовлетворяет согласно теореме 1.1 условию juj ".

Замечание 1.1. Приведенные результаты с небольшими изменениями распространяются на случай, когда T = 1, т. е. когда задача (1.1)–(1.3) рассматривается на бесконечном временном интервале (см. п. 5.1.2).

Замечание 1.2. Принцип максимума в форме теоремы 1.1 справедлив для уравнения теплопроводности (1.1), рассматриваемого в пространстве Rn любого числа измерений. Подчеркнем, что в указанной форме он справедлив именно для однородного уравнения теплопроводности. В следующем пункте мы распространим принцип максимума на общее неоднородное уравнение параболического типа с переменными коэффициентами, рассматриваемое в ограниченной области пространства Rn.

Естественно, возникает вопрос о существовании классического решения u задачи (1.1)–(1.3). В этой связи отметим, что разрешимость задачи (1.1)–(1.3) можно доказать лишь при выполнении определенных условий гладкости и согласования исходных данных. Действительно, условие непрерывности u 2 C(QT ) классического решения u необходимо требует, чтобы выполнялись следующие условия гладкости и согласования исходных данных:

(i) ' 2 C( ), g 2 C( [0; T ]), '(x) = g(x; 0) 8x 2 .

Но даже при выполнении условий (i) доказать существование классического решения u задачи (1.1)–(1.3) непросто. Ниже мы ограничимся доказательством разрешимости задачи (1.1)–(1.3) лишь в частном случае n = 1 с использованием метода Фурье. Что касается общих краевых задач для

266

уравнений параболического типа в произвольных областях Rn, то исследование их разрешимости можно найти в [11, § 34], [28, гл. 3], [34, гл. 6].

5.1.2. Принцип максимума для неоднородного параболического уравнения с переменными коэффициентами в Rn. Пусть –

ограниченная область в пространстве Rn с границей . Положим Q1 =

(0; 1), Q1 = [0; 1), 1 = (0; 1), 1 = [0; 1), QT = (0; T ]

при любом T < 1. Рассмотрим в бесконечном цилиндре Q1 неоднородное уравнение параболического типа с переменными коэффициентами вида

Здесь , p, q и f – заданные функции, удовлетворяющие условиям

(ii) 2 C( ), p 2 C1( ), q 2 C( ), > 0, p > 0, q 0 в , f 2 C(Q1). Из результатов § 1.4 следует, что уравнение (1.8) описывает распростра-

нение тепла (при q = 0) в неоднородной среде с переменным коэффициентом теплопроводности p либо распространение вещества (при = 1) в неоднородной среде с переменным коэффициентом диффузии p с учетом эффекта поглощения вещества в среде, описываемого коэффициентом q.

Теорема 1.2 (Принцип максимума). Пусть при выполнении условий (ii) функция u 2 C2;1(Q1) \ C(Q1) удовлетворяет уравнению (1.8) в Q1

иT > 0 – любое число. Тогда:

1)если f(x; t) 0 в цилиндре QT , то либо u 0 в QT , либо функция u принимает свой (положительный) максимум в цилиндре QT на нижнем

основании 0 цилиндра QT или на его боковой поверхности (0; T ], т. е. справедливо неравенство, называемое принципом максимума:

называемое принципом минимума для решения уравнения (1.8).

Доказательство. Как и в п. 5.1.1, применим для доказательства принципа максимума метод барьеров. Докажем справедливость неравенства (1.9). Предположим противное, т. е. что функция u принимает в некоторых точках цилиндра QT положительные значения, но не достигает своего (положительного) максимума ни на его нижнем основании 0, ни на его боковой границе T . В таком случае найдется такая точка (x0; t0), x0 2 , 0 < t0 T , что

267

Ясно, что v(x; t) u(x; t) + " для всех (x; t) 2 QT . С учетом этого и (1.12) при всех (x; t) 2 T либо при t = 0 имеем

v(x0; t0) u(x0; t0) = " + M " + u(x; t) " + v(x; t) " = v(x; t):

Отсюда следует, что функция v также принимает свой положительный в QT максимум в некоторой внутренней точке (x1; t1) 2 (0; T ], причем

В силу необходимых условий максимума функции v в точке (x1; t1) имеем

Из (1.14), (1.13) и условия f 0 в QT вытекает, что в точке (x1; t1)

@u@t div(pgradu) + qu f(x; t) = @v@t p v (gradp; gradv) + qv f+

Последнее противоречит уравнению (1.8). Таким образом, неравенство (1.10) неверно, а поэтому справедливо противоположное неравенство (1.9). По аналогичной схеме доказывается справедливость принципа минимума.

Основываясь на принципе максимума, докажем теперь единственность и непрерывную зависимость от исходных данных классического решения первой начально-краевой задачи для уравнения (1.8). Указанная задача заключается в нахождении решения u 2 C2;1(Q1) \ C(Q1) уравнения (1.8) в области Q1, удовлетворяющего условию Дирихле (1.2) и начальному условию (1.3). Для краткости на указанную задачу будем ссылаться как на задачу 1. Предполагая, что выполняются условия (i) и (ii) гладкости и согласования исходных данных, положим для фиксированного T > 0

Пусть функция u : Q1 ! R является классическим решением задачи 1. Введем функцию v : Q1 ! R по формуле

268

Легко видеть, что функция v является классическим решением задачи (1.8), (1.2), (1.3), в которой функции f и g следует заменить на функции

В силу первого условия в (1.18) для функции v справедлив принцип максимума (1.9), согласно которому выполняется оценка

Из (1.16) и (1.19) приходим к следующей оценке сверху для решения u:

Точно так же, рассматривая функцию w(x; t) = u(x; t) + (M= 0)t и применяя к ней принцип минимума (1.10), приходим к оценке снизу для u:

Из (1.20) и (1.21) приходим к следующей оценке для u:

Из оценки (1.22) вытекает, в частности, что однородная задача 1 (при ' = 0, g = 0, f = 0) имеет лишь тривиальное решение. В таком случае сама оценка (1.22) означает устойчивость нулевого решения задачи 1 в норме C(Q). Отсюда с учетом линейности задачи 1 и результатов § 2.2 вытекает устойчивость в норме C(QT ) по исходным данным ', g и f любого классического решения задачи 1. Последнее означает, что если u – решение задачи 1, отвечающее исходным данным ('; g; f), а u~ – решение задачи 1, отвечающее исходным данным (';~ g;~ f~), то в силу (1.22) для разности u~ u справедлива оценка

Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема 1.3. Пусть выполняются условия (i), (ii). Тогда для классического решения и задачи (1.8), (1.2), (1.3) справедлива оценка (1.22),

269

означающая единственность и непрерывную зависимость решения и в норме C(QT ) от исходных данных: начальной функции ' в норме C( ),

граничной функции g в норме C( T ) и правой части f в норме C(QT ).

К сожалению, с помощью принципа максимума не удается доказать единственность и устойчивость решения уравнения (1.8), рассматриваемо-

Здесь и – некоторые непрерывные на функции. Это связано с тем, что из условия (1.23) нельзя в общем случае получить оценку на само решение u в точках границы . Однако в случае общих краевых условий вида (1.23) единственность и непрерывную зависимость решения от исходных данных можно доказать, используя метод энергетических неравенств, причем по той же схеме, что и для гиперболического уравнения (см. §4.2).

Замечание 1.3. Оценка (1.22) похожа по своей структуре на оценку (2.39) из гл. 2, полученную для одномерного уравнения переноса (2.20) из гл. 2. Это наводит на мысль о справедливости оценки (1.22) и для более общего уравнения диффузии-конвекции-реакции, имеющего вид

Здесь a 2 C1( ) – произвольная вектор-функция, удовлетворяющая условию div a = 0. Действительно, нетрудно убедиться в том, что теоремы 1.2 и 1.3 остаются справедливыми и для уравнения (1.24). Для этого достаточно дословно повторить рассуждения, используемые при доказательстве этих теорем, что предоставляется читателю.

§ 5.2. Решение первой краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности методом Фурье

Рассмотрим в этом параграфе первую краевую задачу для одномерного уравнения теплопроводности. Она заключается в нахождении функции

u 2 C2;1(QT ) \C(QT ), где QT = (0; l) (0; T ], удовлетворяющей уравнению

в области QT , граничным условиям

270