emph_f

4.2.4. Единственность и устойчивость решения задачи Дирихле. Докажем единственность регулярного решения начально-краевой задачи для уравнения (2.23) из класса C2(QT ). Для конкретности и простоты вместо общих краевых условий (2.2) будем рассматривать условия Дирихле (2.24).

Теорема 2.1. Задача Дирихле (2.23), (2.24), (2.3) не может иметь более одного регулярного решения из пространства C2(QT ).

Доказательство. Воспользуемся энергетическим методом, сущность которого изложена в § 2.2. Пусть u1 и u2 – два решения рассматриваемой

Докажем, что u(x; t) 0 в QT .

Рассмотрим следующую величину, называемую интегралом энергии:

Покажем, что E не зависит от t. Действительно, дифференцируя E по t, имеем

Дифференцирование под знаком интеграла возможно в силу непрерывности вторых производных решения u в QT . Интегрируя по частям средний член в правой части (2.29), будем иметь

Поскольку функция u удовлетворяет однородному уравнению (2.25) всюду

231

@u = 0, то правая часть последнего соотношения равна нулю. Отсюда

@t x=l

следует, что

когда u(x; t) 0 в QT , т.е. u1 = u2.

Замечание 2.2. По аналогичной схеме доказывается единственность решения смешанной задачи для уравнения (2.23) при условиях 3-го рода:

Здесь h1 и h2 – неотрицательные постоянные.

Докажем теперь устойчивость решения u задачи (2.23), (2.24), (2.3) по начальным данным.

Теорема 2.2. Пусть u1 и u2 – два решения уравнения (2.23), удовлетворяющие одним и тем же граничным условиям (2.24), но разным начальным условиям

Доказательство. В силу линейности задачи (2.23), (2.24), (2.32) доказательство теоремы эквивалентно доказательству следующего предложения. Пусть функция u 2 C2(QT ) удовлетворяет однородному уравнению (2.23), однородным граничным условиям (2.27) и начальным условиям

232

Опять рассмотрим интеграл энергии Eu, определенный соотношением (2.29). Как было выше показано, для функции u 2 C2(QT ), удовлетворяющей уравнению (2.25) в QT и граничным условиям (2.27), выполняется тождество E(t) E(0). Учитывая (2.29) и (2.26), отсюда выводим, что

Неравенство (2.37) означает, что в каждый момент t 2 [0; T ] некоторая “норма” функции u на интервале [0; l] мала при малых . Используя этот факт, теперь нетрудно показать и малость нормы u в C(QT ). Действительно, используя формулу Ньютона–Лейбница, имеем с учетом условия

ujx=0 = 0, что

Z x

Оценим правую часть (2.39). Для этого применим известное неравенство Коши–Буняковского

Используя это неравенство, имеем

233

Учитывая, что p(x) p0 > 0, и используя (2.37), из (2.40) выводим, что

p

Здесь M1 = l 3M=p0. Полагая = "=M1, приходим к (2.41). Замечание 2.3. Теорема устойчивости имеет место и в случае более

общих граничных условий (см. [41, § 19]).

Замечание 2.4. Анализ доказательства теоремы 2.2 показывает, что требование малости начальных функций '; '0 и в норме пространства C[0; l] можно заменить требованием малости интегралов

Это позволяет доказывать устойчивость решения и в других функциональных пространствах. Кроме того, условие u(0; t) = 0, используемое при выводе (2.38), можно заменить условием малости ju(0; t)j. Наконец, отметим, что утверждение о непрерывной зависимости решения задачи (2.23), (2.24), (2.3) справедливо также и по отношению к возмущениям правой части f уравнения (2.23) в норме пространства C(QT ) (см., например, [41, § 19]).

§4.3. Многомерное волновое уравнение

4.3.1.Постановка задачи. Применение метода Фурье. Сведение

кмногомерной спектральной задаче. Пусть – некоторая ограниченная область изменения точек x = (x1; x2; :::; xn) пространства Rn с границей. Полагая QT = (0; T ], рассмотрим в QT линейное дифференциальное

XX

234

Первое неравенство в (3.3), означающее положительность квадратичной

формы

n

X

aij(x) i j;

i;j=1

влечет за собой равномерную эллиптичность оператора L (см. § 2.1) в . Отсюда, в свою очередь, вытекает, что всюду в (3.1) является уравнением гиперболического типа и, следовательно, описывает волновые процессы.

Изучим первую начально-краевую задачу для уравнения (3.1): в области QT найти решение уравнения (3.1), удовлетворяющее граничному условию

и начальным условиям

@u

ujt=0 = '0(x); = '1(x) в : (3.5) @t t=0

Следуя методу Фурье, будем искать сначала нетривиальные решения уравнения (3.1), удовлетворяющие граничному условию (3.4), в виде

Подставляя (3.6) в уравнение (3.1), будем иметь

Разделяя переменные, получим

T 00(t) = [Lv](x) = :

T (t) v(x)

Здесь – константа разделения. Отсюда приходим к двум дифференциальным уравнениям: обыкновенному для T , имеющему вид

и следующему уравнению в частных производных для v:

Чтобы получить решения уравнения (3.1) вида (3.6), удовлетворяющие граничному условию (3.4), необходимо, чтобы функция v удовлетворяла граничному условию

235

В результате приходим к многомерной спектральной задаче: найти такие значения , при которых уравнение (3.8) имеет нетривиальные решения, удовлетворяющие граничному условию (3.9). Эти значения называются собственными значениями, а соответствующие решения – собственными функциями спектральной задачи (3.8), (3.9).

В предположении, что коэффициенты aij и a в (3.2) – достаточно гладкие функции, удовлетворяющие (3.3) в области с достаточно гладкой границей, можно доказать, что задача (3.8), (3.9) имеет счетное множество собственных значений и отвечающих им собственных функций (см. [11, § 21]; [28, гл. 2]; [33]; [34, гл. 4]; [48, гл. 2]; [58, гл. 4]). Указанные собственные значения вещественны, неотрицательны, имеют конечную кратность и могут быть занумерованы так, что выполняется условие

0 1 2 ::: k ::: ; lim k = 1: (3.10)

k!1

С учетом однородности уравнения (3.8) и граничного условия (3.9) собственные функции vk определяются с точностью до постоянного множителя. Выберем его из условия

Z

т. е. будем считать их нормированными. Более того, собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны, так что выполняется условие

Z

vk(x)vm(x)dx = 0; k 6= m;

и образуют полную систему функций в подходящем функциональном пространстве. Если собственному значению k отвечает несколько линейно независимых собственных функций, то их можно подвергнуть процессу ортогонализации и считать тем самым эти функции попарно ортогональными. С учетом этого можно считать, что все собственные функции fvkg спектральной задачи (3.8), (3.9) образуют ортонормированную систему.

Ограничимся здесь доказательством свойства неотрицательности собственных значений k. Согласно их определению имеем Lvk = kvk. Умножим обе части этого равенства на vk и проинтегрируем по области. Принимая во внимание (3.11), получим

236

Применяя к первому слагаемому правой части формулу интегрирования по частям в Rn, имеющую вид (см. § 6.2 и [34, с. 104])

где n – единичный вектор внешней нормали к границе , будем иметь:

(Интеграл по границе области равен нулю в силу граничного условия vkj = 0). Из (3.12) выводим с учетом последнего условия в (3.3), что

Из (3.13) следует, что все собственные значения спектральной задачи (3.8), (3.9) на самом деле положительны, так что в дополнение к (3.10) 1 > 0.

Предполагая, что собственные значения k и функции vk спектральной задачи (3.8), (3.9) известны, подставим далее в (3.7) вместо значение k и запишем общее решение полученного уравнения в виде

где ak и bk – произвольные постоянные. Решением уравнения (3.1), удовлетворяющим граничному условию (3.4), является по построению любая функция uk вида

Действуя далее по стандартной схеме метода Фурье, составим (с учетом кратности собственных значений k) ряд

и выберем в нем коэффициенты ak, bk так, чтобы сумма ряда (3.16) удовлетворяла начальным условиям (3.5). В результате приходим к следующим соотношениям:

237

Эти равенства представляют собой разложения начальных функций '0 и '1 в ряд Фурье по системе функций fvkg. Если система fvkg является полной, то коэффициенты ak и bk определяются стандартным образом и имеют с учетом ортонормированности системы fvkg и условия k > 0 вид

Подставляя найденные значения ak и bk в ряд (3.16), получим функцию u, являющуюся по построению искомым решением начально-краевой задачи (3.1), (3.4), (3.5) при условии, конечно, что ряд (3.16) и ряды, полученные из него двухкратным почленным дифференцированием по xi и t, равномерно сходятся в соответствующих областях. Последнее обеспечивается соответствующим многомерным аналогом теоремы 1.1, справедливым при выполнении определенных условий на начальные функции '0 и '1 и определенных свойствах собственных значений и собственных функций.

Что касается утверждений о единственности и устойчивости решения многомерной начально-краевой задачи, то по своим формулировкам они близки к формулировкам теорем 2.1 и 2.2 из § 4.2. В случае краевой задачи

@2u

@t2 = div(pgradu) qu + f;

соответствующие формулировки теорем и их доказательства можно найти в [11, § 33]. Изложенная выше схема будет применена ниже для нахождения решения волнового уравнения с постоянными коэффициентами в частных случаях, когда является прямоугольником либо кругом на плоскости R2.

4.3.2. Двумерное волновое уравнение в прямоугольной области. Свободные колебания прямоугольной мембраны. Пусть область – прямоугольник (0 < x < l; 0 < y < h) в плоскости x; y со сторонами l и h. Рассмотрим задачу нахождения решения двумерного уравнения

и начальным условиям

@u

ujt=0 = '0(x; y); = '1(x; y) в : (3.21) @t t=0

238

Задача (3.19)–(3.21) описывает, например, свободные колебания прямоугольной мембраны со сторонами l и h, закрепленной на краях, под действием ее начального отклонения, описываемого функцией '0, и начального импульса, описываемого функцией '1.

Следуя методу Фурье, будем искать частные решения уравнения (3.19), удовлетворяющие граничным условиям (3.20), в виде произведения

Подставляя (3.22) в (3.19) и разделяя переменные, будем иметь

T 00(t) = vxx + vyy = 2; a2T (t) v

где 2 – константа разделения. Отсюда, учитывая условия (3.20), приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению

для функции T и двумерной спектральной задаче

(со спектральным параметром 2) для функции v.

Нашей ближайшей целью является нахождение решения спектральной задачи (3.24), (3.25), т.е. нахождение всех ее собственных значений и собственных функций. Поскольку область является прямоугольной, а краевые условия (3.25) – однородными, то для этого опять можно применить метод Фурье. Следуя ему, будем искать решения (т. е. собственные функции) спектральной задачи (3.24), (3.25) в виде

Подставляя (3.26) в (3.24) и разделяя переменные, будем иметь

где 21 – соответствующая константа разделения. Отсюда получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:

239

для функций X и Y . В уравнениях (3.27) 21 и 22 – спектральные параметры, связанные со спектральным параметром 2 задачи (3.24), (3.25) соотношением

Из граничных условий (3.25) получаем следующие граничные условия для

X и Y :

В результате приходим к двум одномерным спектральным задачам:

Из результатов § 4.1 следует, что каждая из задач (3.30), (3.31) имеет счетное множество решений – собственных значений и отвечающих им собственных функций. Указанные решения определяются формулами:

двумерной спектральной задачи (3.24), (3.25), а из (3.26) вытекает, что отвечающая собственному значению (3.34) собственная функция vmn двумерной задачи (3.24), (3.25) определяется формулой

Важно отметить, что совокупность ( 2mn; vmn), m 2 N+, n 2 N+ исчерпывает множество всех собственных значений и функций двумерной спектральной задачи (3.24), (3.25). Это вытекает из построения системы (3.35) и из свойств решений одномерных задач (3.30) и (3.31).

Используя собственные значения и функции спектральной задачи (3.24), (3.25), далее стандартным образом можно определить решение u начальнокраевой задачи (3.19)–(3.21). Прежде всего подставим в (3.23) вместо 2 значение 2mn. Общее решение полученного уравнения, очевидно, имеет вид

240