emph_f

ГЛАВА 6. Элементы теории эллиптических уравнений и гармонических функций

Математическое моделирование стационарных процессов различной физической природы приводит к необходимости решения уравнений эллиптического типа. Наиболее простейшим и в то же время важнейшим представителем уравнений этого типа является уравнение Лапласа u = 0. Здесь– оператор Лапласа (его определение см. в x 1:3). В этой главе будут изучены основные свойства решений уравнения Лапласа, называемых гармоническими функциями.

§ 6.1. Уравнение Лапласа. Сингулярные решения и гармонические потенциалы

6.1.1. Определение гармонической функции. В этом и следующих параграфах будем рассматривать (неоднородное) уравнение Лапласа

где – оператор Лапласа. Хорошо известно (см. гл. 1), что уравнение (1.1) моделирует стационарное распределение температуры в области , заполненной однородной средой, при условии, что f описывает объемную плотность источников тепла. Потенциал гравитационного поля (либо кулонов потенциал) также удовлетворяет уравнению (1.1), где f описывает объемную плотность масс (либо электрических зарядов). Особенно важную роль играет однородное уравнение Лапласа

описывающее соответствующие стационарные физические процессы в отсутствие объемных источников. В дальнейшем, следуя устоявшейся терминологии, под уравнением Лапласа будем понимать именно уравнение (1.2), тогда как на (1.1) будем ссылаться как на уравнение Пуассона.

Пусть – произвольное ограниченное открытое множество в пространстве Rn произвольного числа n 2 измерений. Физический интерес, конечно, представляют случаи n = 3 (трехмерное пространство) и n = 2 (плоскость). Положим e = Rn n .

Определение 1.1. Функция u : ! R называется гармонической в области , если она дважды непрерывно дифференцируема в и удовлетворяет в каждой точке x 2 уравнению Лапласа (1.2).

Определение 1.2. Функция u : e ! R называется гармонической во внешности e ограниченного открытого множества , если она дважды непрерывно дифференцируема в e, удовлетворяет всюду в e уравнению

291

Здесь С – некоторая постоянная, зависящая от функции u, но не зависящая от x.

При n = 2 условие (1.3) означает, что гармоническая в неограниченной области функция u является ограниченной на бесконечности.

Подчеркнем, что определение гармонической функции относится к случаю открытого множества; если говорят о функции, гармонической в замкнутом множестве , то под этим понимают, что данная функция гармонична в более широком открытом множестве Q . Заметим также, что определение гармонической функции не накладывает никаких ограничений на поведение функции на границе области .

Наконец, отметим, что на практике часто возникает необходимость нахождения решений эллиптических уравнений, и в частности уравнения Лапласа в неограниченной области с неограниченной границей, или, как говорят, с границей, простирающейся в бесконечность. Для таких областей условие (1.3) на бесконечности, входящее в определение гармонической функции, может изменяться. Однако в этой главе мы не будем рассматривать такие области.

6.1.2. Сингулярные решения оператора Лапласа. Ниже будем заниматься в основном изучением свойств решений уравнения Лапласа в трехмерном пространстве R3 и на плоскости R2. Известно, что в пространстве R3 можно ввести бесконечно много ортогональных систем координат. Наиболее важными из них являются декартова, сферическая и цилиндрическая системы координат (см. подробнее о них в прил. 2). Пусть x, y, z; r; , ' и , '; z обозначают соответственно декартовы, сферические и цилиндрические координаты точки x 2 R3. Напомним, что оператор Лапласаопределяется формулой

292

вцилиндрической системе координат.

Вприложениях важную роль играют решения уравнения Лапласа, обладающие сферической или цилиндрической симметрией, т. е. зависящие только от одной переменной: r или . Найдем сначала решения уравнения Лапласа, зависящие только от r. Для этого запишем уравнение Лапласа в сферических координатах и воспользуемся тем фактом, что решение u не зависит от и '. Учитывая (1.5), получим уравнение

Умножая на r2 и интегрируя дважды полученное уравнение, выводим, что u(x) = U(r) C1=r +C2, где C1 и C2 – произвольные постоянные. Полагая здесь C1 = 1=4 , C2 = 0, получим функцию

Функция (1.8) является бесконечно дифференцируемой и, более того, аналитической всюду в R3, кроме точки x = 0, где она имеет особенность 1-го порядка. Кроме того, по построению она удовлетворяет уравнению Лапласа (1.2) в каждой точке x 6= 0 и убывает на бесконечности с первым порядком по jxj 1. Следовательно, она является гармонической в R3 n f0g. Функцию (1.8) называют сингулярным решением оператора Лапласа в пространстве R3. В свою очередь, сумму сингулярного решения и любой гармонической функции называют фундаментальным решением оператора Лапласа. Вместо термина “сингулярное” используют также термины “элементарное” либо “главное фундаментальное” решение. Подчеркнем, что название “сингулярное решение” относится именно к функции (1.8), отличающейся от функции 1=jxj множителем 1=4 . Причина появления этого множителя выяснится позже.

Изложенные выше свойства функции (1.8) остаются справедливыми, если в качестве r в (1.8) взять расстояние от переменной точки x = (x1; x2; x3) до произвольной фиксированной точки y = (y1; y2; y3) 2 R3. Другими словами, справедлива следующая лемма.

Лемма 1.1. Функция E3( ; y) : R3 ! R, определяемая формулой

(1.9)

является гармонической в любой области пространства R3, не содержащей точки y.

Доказательство. При y = 0 лемма уже доказана. При y 6= 0 следует ввести сферическую систему координат с центром в точке y и повторить предыдущие рассуждения.

293

Функцию (1.9) будем называть сингулярным решением оператора Лапласа в R3 с центром в точке y.

Аналогичные рассуждения показывают, что общее решение уравнения Лапласа в пространстве R3, зависящее только от координаты , имеет вид

Напомним, что связана с декартовыми координатами x и y формулой

p

= x2 + y2: (1.11)

Поскольку в силу (1.11) функция (1.10) не зависит от декартовой координаты z, то ее достаточно рассматривать при z = 0, т. е. на плоскости R2. При C1 = 1=2 , C2 = 0 получим функцию

называемую сингулярным решением оператора Лапласа в R2. Соответствующая функция E2( ; y) : R2 ! R, где y = (y1; y2), определяемая формулой

называется сингулярным решением оператора Лапласа в R2 с центром в точке y 2 R2 или просто сингулярным решением в R2, если y = 0. По построению функция (1.12) удовлетворяет двумерному уравнению Лапласа

в каждой точке x 6= y. Однако в отличие от функции (1.9), убывающей на бесконечности, функция (1.12) является неограниченной при jxj ! 1. Поэтому она не является гармонической в неограниченной области. Однако она является гармонической в любой ограниченной области плоскости R2, не содержащей y. Сформулируем полученный результат в виде леммы.

Лемма 1.2. Функция (1.12) удовлетворяет уравнению Лапласа (1.13) всюду в R2, кроме точки x = y, и является гармонической в любом открытом ограниченном множестве R2, не содержащем точки y.

Рассмотрим теперь пространство Rn произвольного числа n 3 измерений. Обозначим через !n площадь единичной сферы в Rn. Известно [9, c. 43], что !n = 2 n=2= (n=2), где – гамма-функция Эйлера. Непосредственной проверкой можно убедиться в справедливости следующей леммы.

294

Лемма 1.3. Функция En( ; y) : Rn ! R, определяемая формулой

ной точки y = (y1; y2; :::; yn), является гармонической в любом открытом множестве пространства Rn, не содержащем точки y.

Функцию (1.14) будем называть сингулярным решением оператора Лапласа в Rn с центром в точке y или просто сингулярным решением в Rn, если y = 0.

6.1.3. Физический смысл сингулярного решения. Потенциалы монополей, диполей и мультиполей. Изучим физический смысл сингулярного решения En( ; y) оператора Лапласа при n = 3 или 2. С этой целью введем в рассмотрение электрический заряд величины q, сосредоточенный в точке y 2 R3. На соответствующую пару (y; q) будем ссылаться как на точечный заряд (или монополь, либо мультиполь нулевого порядка) с центром в точке y интенсивности q. Из результатов гл. 1 (см. также [38, c. 64]) следует, что потенциал u электростатического поля, создаваемого монополем (y; q) в произвольной точке x пространства R3,

На основании (1.15) выводим, что по своему физическому смыслу E3(x; y) представляет собой значение в точке x 2 R3 потенциала электростатического поля, создаваемого единичным точечным источником, сосредоточенным в точке y. Впрочем, непосредственный физический смысл имеет не сам потенциал u в (1.15), а его градиент, точнее, векторное поле напряженности электрического поля E(x; y) = kqrxE3(x; y). Здесь индекс “x” у оператора r означает, что он применяется к E3 как функции от x, k – некоторая константа, величина и размерность которой зависят от выбранной системы единиц. В частности, k = 1 в системе СИ. Именно вектор E(x; y) в каждой точке x 2 R3 равен силе, с которой точечный заряд (y; q) действует на единичный точечный заряд, помещенный в точку x [38, c. 15].

p

Полагая r = jx yj = (x1 y1)2 + (x2 y2)2 + (x3 y3)2, выводим, что

(1.16)

295

Если же в точке y сосредоточена масса величины q, то функция (1.15) описывает с точностью до мультипликативной размерной константы гравитационный потенциал, создаваемый в точке x 2 R3 точечным источником масс (y; q).

Обратимся теперь к функции E2( ; y), которую, как уже указывалось выше, можно рассматривать как на плоскости R2, так и в пространстве R3. Аналогичные вышеприведенным рассуждения показывают, что E2(x; y) при первой (“плоской”) интерпретации представляет собой значение в произвольной точке x 2 R2 потенциала точечного (на плоскости) источника, сосредоточенного в точке y 2 R2. При трехмерной интерпретации E2(x; y) представляет собой значение в произвольной точке x 2 R3 потенциала, создаваемого зарядами (или массами), распределенными с постоянной плот-

ностью вдоль прямой x1 = y1, x2 = y2, проходящей параллельно оси x3 через точку y0 = (y1; y2) 2 R2.

Для того чтобы выявить физический смысл сингулярного решения, мы ввели специальный точечный объект, называемый монополем, и показали, что его потенциал совпадает (с точностью до мультипликативной константы) с сингулярным решением E3( ; y). Наряду с монополем важную роль в физических приложениях играет еще один точечный объект, называемый диполем или мультиполем первого порядка. Чтобы сконструировать диполь, выберем произвольную точку y и проведем через нее в направлении некоторого единичного вектора e1 ось l1. Пусть точки y0 и y00 расположены на оси l1 симметрично относительно y на расстоянии h друг от друга, и пусть в них сосредоточены заряды q и q (см. рис. 1.1,а), причем q > 0.

Из курса физики известно, что для электромагнитного поля так же, как и гравитационного поля, справедлив принцип суперпозиции. Согласно

этому принципу потенциал электростатического поля, создаваемого монополями (y0; q) и (y00; q) в точке x 6= y0; y00, определяется формулой

Из (1.17) видно, что при h = jy0 y00j ! 0 потенциал u(x; y0; y00) стремится к нулю как разность двух равных в пределе при h ! 0 функций. Пусть теперь в процессе стремления h к нулю заряд q меняется так, что выполняется условие qh = qjy0 y00j = q1, где q1 – фиксированное число. Предельное положение зарядов (y0; q) и (y00; q) при h ! 0 носит название диполя с центром в точке y, а число q1 и ось l1 называются моментом и осью диполя соответственно. Сам диполь представляет собой тройку (y; q1; l1). По

296

По построению, (1.18) описывает потенциал электростатического поля, создаваемого в произвольной точке x 2 R3 диполем (y; q1; l1). Так как

то потенциал u(1)(x; y) диполя (y; q1; l1) убывает как O(jxj 2) при jxj ! 1. Итак, мы ввели два точечных объекта – монополь и диполь – и вычислили потенциалы полей, создаваемых этими объектами. При этом диполь был получен сближением двух монополей разноименных зарядов с одновременным увеличением их зарядов по модулю. Используя, в свою очередь, два диполя, мы можем сконструировать еще один точечный объект, называемый квадруполем, или мультиполем второго порядка. Для этого нужно рассмотреть на прямой l2 с направлением e2, проходящей через точку y, два диполя с одним и тем же моментом q1, один из которых ориентирован в направлениии e1 (см. рис. 1.1,б), а другой – в направлении e1. Сближая оба диполя в точку y с одновременным увеличением величины момента q1 так, чтобы выполнялось условие 2!q1h q2 = const, и рассуждая, как и выше, получим в пределе еще один точечный объект, потенциал которого

определяется формулой

Указанный точечный объект называется квадруполем с моментом q2, а направления l1 и l2 называются его осями. Простой анализ показывает, что потенциал квадруполя убывает как O(jxj 3) при jxj ! 1.

Сближая в точку y по введенной схеме два квадруполя, можно построить еще один точечный источник, называемый октаполем, потенциал которого, определяемый формулой

убывает как O(jxj 4) при jxj ! 1. Продолжая этот процесс и далее, можно сконструировать точечный источник, называемый мультиполем произвольного порядка k, с потенциалом u(k)(x; y), определяемым формулой

297

Направления li называются осями мультиполя, а величина qk – его моментом. Подчеркнем, что потенциал мультиполя k-го порядка совпадает с точностью до мультипликативной константы с частной производной k-го порядка сингулярного решения E3( ; y) вдоль его осей и убывает как O(jxj k 1) при jxj ! 1. Более подробно о процедуре построения мультиполей разных порядков и о свойствах их потенциалов можно прочитать

в[21, гл. 20].

Взаключение приведем сводку основных свойств сингулярного решения

En( ; y), считая во всех приводимых ниже свойствах, кроме последнего, что y является фиксированной, хотя и произвольной точкой из Rn:

1. Всюду в Rnnfyg функция En( ; y) является бесконечно дифференцируемой и, более того, аналитической функцией декартовых координат

точки x, удовлетворяющей уравнению Лапласа (1.2); En(x; y) имеет при x ! y характеристическую для каждого n особенность.

2. При n 3 функция En( ; y) удовлетворяет условию на бесконечности (1.3) и является гармонической функцией в Rnnfyg.

3. При n = 3 или 2 функция En( ; y) описывает по своему физическому смыслу (с точностью до мультипликативной постоянной) потенциал поля, создаваемого в произвольной точке x 2 Rn единичным точечным источником, сосредоточенным в точке y 2 Rn.

4. Функция En зависит лишь от одной скалярной переменной r=jx yj, причем любое другое решение уравнения (1.2), зависящее от r, может от-

личаться от En лишь мультипликативной и аддитивной постоянными.

5. Функция En : Rn Rn ! R является симметричной функцией точек x и y; поэтому En(x; ), рассматриваемая как функция точки y (при фиксированном x), обладает всеми перечисленными выше свойствами.

Замечание 1.1. Еще одно свойство сингулярного решения En( ; y) заключается в том, что En( ; y) является решением в смысле обобщенных функций неоднородного уравнения Лапласа

Здесь индекс “x” у оператора означает, что он применяется к En как функции от x, ( ; y) – n-мерная -функция Дирака с центром в точке y 2 . Касаясь -функции, отметим, что впервые она была введена в

1923 г. английским физиком P.A.M. Dirac (1902–1984), который в одномерном случае определил (x; y) как функцию, равную нулю всюду, кроме

R 1

одной точки y, где она равна бесконечности и имеет интеграл 1 (x; y)dx, равный единице. Простой анализ показывает, что введенные условия для(x; y) не совместны с точки зрения определения функции и интеграла. Поэтому (x; y) не является функцией в классическом смысле этого слова. Более того, исследования российского математика С.Л. Соболева (1908–1989), французского математика Л.Шварца (L. Schwartz, 1915–2002) и других ма-

298

тематиков показали, что -функция является обобщенной функцией, т. е. функционалом, определенным на множестве D(Rn) бесконечно дифферен-

цируемых финитных в Rn функций. Указанный функционал действует по формуле h (x; y); 'i = '(y) 8' 2 D(Rn): Здесь < ; ' > – значение соот-

ветствующего функционала на элементе ' 2 D(Rn). Тот факт, что En( ; y) является решением уравнения (1.22) в смысле обобщенных функций, означает, что En( ; y) удовлетворяет следующему интегральному тождеству:

Z

Rn

Более подробно написано об этом в гл. 8.

6.1.4. Объемные потенциалы. Потенциалы простого и двойного слоя. Выше при изучении физического смысла сингулярного решения была рассмотрена идеальная в определенном смысле ситуация, когда электрическое или гравитационное поле создается точечным источником. В реальности заряды либо массы распределены по объемам, поверхностям или линиям. Представляет интерес вычислить потенциалы полей, создаваемых указанными более сложными распределениями зарядов. Применим для решения этой задачи принцип суперпозиции и стандартную схему метода математического моделирования. Рассмотрим сначала случай, когда в пространстве имеется N точечных зарядов – монополей (y1; q1), (y2; q2), ..., (yN ; qN ), сосредоточенных в точках y1; y2; :::; yN . Чтобы найти потенциал создаваемого ими поля, воспользуемся принципом суперпозиции, в соответствии с которым потенциал суммы зарядов равняется сумме потенциалов данных зарядов. С учетом этого имеем

Пусть далее заряды распределены по некоторой области R3 с объемной плотностью , определенной в . На соответствующую пару ( ; ) будем ссылаться как на объемный заряд. Для нахождения потенциала электростатического поля, создаваемого парой ( ; ), разобьем, следуя схеме метода математического моделирования, область на N элементарных подобластей j, вычислим приближенно потенциалы полей, создаваемых зарядами, распределенными в j, и перейдем к пределу при diam j ! 0 и N ! 1. Используя формулу (1.24) и рассуждая, как в § 1.3, можно показать, что потенциал поля, создаваемого указанными источниками, т. е. парой ( ; ), определяется формулой

299

Здесь dy – элемент объема в области . Правая часть в (1.25) представляет собой объемный интеграл, зависящий от x как от параметра: собственный при x 2= и несобственный при x 2 (поскольку подынтегральная функция неограниченно возрастает при y ! x 2 ). Указанный объемный интеграл принято называть объемным потенциалом. В рассматриваемом нами случае, когда описывает плотность зарядов, распределенных в области , так что пара (; ) имеет смысл объемного заряда, интеграл в (1.25) имеет смысл объемного потенциала электростатического поля. Ниже на него будем ссылаться как на кулонов (объемный) потенциал пары (; ). В случае же, если описывает плотность масс, распределенных в области , так что пара (; ) имеет смысл объемной системы масс, правая часть в (1.25) имеет смысл объемного потенциала гравитационного поля, создаваемого парой (; ). Для краткости на него будем ссылаться как на

ньютонов (объемный) потенциал пары (; ).

Рассмотрим далее случай, когда заряды либо массы распределены на некоторой поверхности с поверхностной плотностью . Аналогичные вышеприведенным соображения показывают, что потенциал поля, создаваемого поверхностным зарядом (; ), определяется формулой

где dy – элемент площади поверхности , относящийся к точке y 2 . Поверхностный интеграл в правой части (1.26) – собственный при x 2= и несобственный (в указанном выше смысле) при x 2 – называется потенциалом простого слоя зарядов, распределенных с поверхностной плотностью по поверхности . Для краткости на него будем ссылаться как на

кулонов потенциал простого слоя пары (; ). В случае, если функция описывает плотность масс, распределенных по , интеграл в правой части (1.26) принято называть ньютоновым потенциалом простого слоя масс, распределенных с плотностью по поверхности . Для краткости на него будем ссылаться как на ньютонов потенциал простого слоя пары (; ).

Рис. 1.2