emph_f

(v) 2 C ( ), 0 < < 1.

Используя введенные пространства, сформулируем следующий результат.

Лемма 1.3. Пусть выполняются условия (i), (v). Тогда u+ 2 C2; ( ) и для любого открытого подмножества 0 справедлива априорная оценка

Здесь C – константа, зависящая от 0, n и , но не зависящая от . Отметим две особенности оценки (1.29). Во-первых, она носит локаль-

ный характер в том смысле, что в левой части C2; -норма потенциала u вычисляется не по всей области , а лишь по ее строго внутренней подобласти 0. Это связано с тем, что в формулировке леммы 1.3 не вводится каких-либо предположений о гладкости границы , которая в общем случае может быть весьма нерегулярной. Последнее определяет поведение решения u вблизи границы, которое также может быть достаточно нерегулярным. Однако в том случае, когда в дополнение к условию (v) граница обладает определенной регулярностью, потенциал u также будет регулярным в окрестности границы в том смысле, что вторые производные потенциала, существующие как в , так и e, допускают непрерывные

продолжения как на , так и на e. При этом оценка (1.29) переходит в соответствующую глобальную оценку (см. ниже оценку (1.30)).

Более конкретно: будем говорить, что поверхность (кривая при n = 2) принадлежит классу Cl; , l 2 N, 0 < 1, если в некоторой окрестности Br(x0) каждой точки x0 2 она описывается уравнением Fx0 (x) = 0, где Fx0 2 Cl; (Br(x0)) и gradFx0 6= 0 (сравните это определение с определением в § 6.2). Справедлив следующий результат.

Лемма 1.4. Пусть в дополнение к условиям (i), (v) 2 C2; , 0 < < 1.

Тогда u+ 2 C2; ( ), u 2 C2; ( e), а оценка (1.29) справедлива при 0 = , т. е. принимает вид

Из леммы 1.4 вытекает, что в случае гладкой границы потенциал u обладает в точках x 2 односторонними вторыми производными как изнутри, так и извне, но не вытекает, что эти производные совпадают в точках, образуя тем самым непрерывные в Rn функции. Естественно, возникает вопрос о непрерывности вторых производных потенциала u в точках

~

границы . Для исследования этого вопроса рассмотрим область , целиком содержащую внутри себя , и, продолжив плотность нулем вне , запишем потенциал (1.4) в виде

Z

u(x) = En(x; y)~(y)dy: (1.31)

~

361

~

Предположим, что пара ( ; ~) удовлетворяют условиям (i), (iii) или (i), (v). Тогда, применяя к потенциалу (1.31) теорему 1.1 либо лемму 1.4, приходим

обладает в этом случае свойством глобальной двухкратной непрерывной дифференцируемости.

Чтобы сформулировать соответствующий результат, введем в рассмотрение следующее подпространство пространства Cl; ( ):

По определению пространство C_ l; ( ) состоит из тех и только тех функций2 Cl; ( ), которые, будучи продолженными нулем вне , принадлежат пространству Cl; (Rn). Из предыдущих рассуждений вытекает следующая

Лемма 1.5. Пусть при выполнении условия (i) 2 C_ ( ). Тогда объемный потенциал u принадлежит пространству C2; (Rn) и для любого ограниченного открытого множества 0 Rn справедлива оценка

Здесь C – константа, зависящая только от диаметра множества 0; n и . Ясно, что выполнение условия (iii) либо (v) для функции ~ диктует определенные ограничения на поведение (x) при x ! x0 2 . В частности, функция (x) необходимо должна стремиться к нулю при x ! x0 2 . Последнее условие является жестким и в общем случае не выполняется. Отсюда вытекает, что в общем случае вторые производные от объемного потенциала в точках границы не существуют, хотя могут существовать

односторонние производные при выполнении условий леммы 1.4.

Еще одна особенность оценки (1.29), как и (1.33), заключается в том, что порядок гладкости потенциала u на две единицы превосходит порядок гладкости правой части . Это не случайно, а является следствием проявления фундаментальной закономерности для эллиптических уравнений, получившей название свойства эллиптической регулярности. Согласно этому свойству порядок гладкости решения эллиптического уравнения порядка 2m внутри области на 2m единиц превосходит порядок гладкости правой части и коэффициентов рассматриваемого уравнения. Поскольку потенциал u является решением уравнения Пуассона (1.20), т. е. уравнения второго порядка, то в силу этого свойства гладкость потенциала u превосходит на две единицы гладкость правой части, а увеличение порядка гладкости правой части уравнения (1.20) приводит к соответствующему увеличению

362

гладкости потенциала u внутри . В частности, при 2 C1; ( ) потенциал u принадлежит C3; ( ), если же 2 C_ 1; ( ), то u 2 C3; (Rn). Теперь мы в состоянии сформулировать следующую фундаментальную теорему.

Теорема 1.2. Пусть выполняются условия (i), (v). Тогда:

1)внутренний потенциал u+ принадлежит пространству C2; ( ); внешний потенциал u является аналитической функцией в e, удовлетворяющей при n 3 условию (1.6) при jxj ! 1. Если к тому же

2 C2; , то u+ 2 C2; ( ), u 2 C2; ( e) и справедлива оценка (1.30);

2)если 2 C_ ( ), то u 2 C2; (Rn) и справедлива оценка (1.33). Если 2 C_ l; ( ), то u 2 Cl+2; (Rn) и справедлива оценка kukCl+2; ( 0)

Ck kCl; ( ), где константа C зависит от диаметра 0, n, l и ;

3) если 2 Cl; ( ), то u+ 2 Cl+2; ( ) и справедлива локальная оценка

ku+kCl+2; ( 0) Ck kCl; ( ) 8 0 ; C = C( 0; n; l; ):

Доказательства приведенных выше утверждений см. в [3,35,50,64,67,68]. Отметим, что условие 2 (0; 1) является существенным в том смысле, что утверждения теоремы в общем случае не верны при = 0 и = 1.

§ 7.2. Элементы теории потенциалов простого и двойного слоя

7.2.1. Определение потенциала двойного слоя. Пусть – ограниченная область пространства Rn с границей , e Rn n , ny – единичная внешняя нормаль к поверхности в точке y, – заданная на непрерывная вещественная функция, En( ; y) – сингулярное решение оператора Лапласа в Rn, определяемое формулами (1.1) и (1.2).

Определение 2.1. Потенциалом двойного слоя зарядов, распределенных по поверхности с плотностью , называется функция u : Rn n ! R (поверхностный интеграл, зависящий от параметра x), определяемая формулой

Здесь d y – элемент площади поверхности (элемент длины дуги при n = 2), относящийся к точке y.

Так как y 2 , а функция En(x; y) при всех x 6= y является гармонической по x функцией, причем производная по нормали, определяемая формулой

363

при n = 2, стремится к нулю при jxj ! 1 с порядком O(jxj1 n), то потенциал двойного слоя всюду в Rn n при n 2 является гармонической (а следовательно, аналитической) функцией, стремящейся к нулю при jxj ! 1 с порядком O(jxj1 n). Напомним также (см. § 6.1), что при n = 3 потенциал двойного слоя описывает по своему физическому смыслу кулонов потенциал, создаваемый в каждой точке x 2 R3 n распределением диполей, сосредоточенных с плотностью и осью ny на .

Выясним характер поведения функции u(x) при переходе точки x из в e = Rn n . Рассмотрим сначала случай двух независимых переменных, когда формула (2.1) принимает вид

Для упрощения выкладок будем предполагать, как в [9, с. 66], что:

(i) является простой замкнутой кривой в R2 без точек самопересечения

(кривой Жордана) из класса C2; (ii) 2 C2( ).

Покажем прежде всего, что при выполнении условий (i), (ii) потенциал (2.4) имеет смысл и в точках , т. е. что в любой точке x0 2 существует прямое значение потенциала u, определяемое как сингулярный интеграл

Здесь 00" (x0) = n 0"(x0), где 0"(x0) – часть границы , отсекаемая от окрестностью радиуса " с центром в точке x0 (см. рис. 2.1,a).

Пусть x0 = (x01; x02) – фиксированная, а y = (y1; y2) – переменная точки на . Их дуговые абсциссы (т. е. длины дуг на , отсчитываемые от фиксированной точки y0 против часовой стрелки до точек x0 и y), обозначим через и s соответственно. Наряду с единичным вектором внешней

364

нормали ny = n(y) = (n1(y); n2(y)) к границе в точке y, где n1 и n2

– декартовы компоненты вектора n, введем также единичный вектор касательной ty = t(y) = (t1(y); t2(y)), определяемый в произвольной точке y 2 формулой

С учетом выбранного направления возрастания s справедливы следующие соотношения между компонентами векторов ny и ty [19, c. 418]:

Обозначим далее через ' = '(x0; y) '( ; s) угол между векторами y x0 и ny в точке y (см. рис. 2.1б). Поскольку jnyj = 1, то имеем

Учитывая (2.8) и производя в интеграле (2.6) замену переменной 3 y ! s 2 [0; l], d y = jy0(s)jds = ds, где l – длина , перепишем (2.6) в виде

Из (2.10) вытекает, что для доказательства сходимости интеграла (2.6) и непрерывности его на достаточно доказать непрерывность функции K : = [0; l] [0; l] ! R (ядра интегрального оператора в (2.10)), определяемой формулой

Точнее говоря, так как K( ; s) не определена на диагонали = s прямоугольника , то нам следует доказать, что ядро K так можно доопределить при = s, что доопределенная функция K : ! R становится непрерывной всюду в . Введем функцию

y2(s) x0( )

( ; s) = arctg 2 (2.12) y1(s) x01( )

иотметим, что поскольку с учетом (2.8)

@y2(s) x02( ) =

@s y1(s) x01( )

365

Используя (2.13), покажем теперь, что функция K непрерывна по совокупности переменных ; s на . Действительно, используя обозначения

Предположим, что кривая задана следующими параметрическими урав-

нениями y1 = 1(s), y2 = 2(s), 0 s l, где l – длина ее дуги. В таком случае имеем

Здесь ( ) – значение кривизны кривой в точке 2 , причем мы воспользовались известной формулой (см. [19])

для кривизны кривой , заданной параметрическими уравнениями вида (2.16), (2.17). Доопределим K( ; s) при s = следующим образом: K( ; ) =( )=2 . Поскольку в силу условия (i) функции , , s0 , s0 непрерывны по совокупности переменных и s, причем 2 + 2 6= 0 для всех ; s,

366

то убеждаемся в справедливости вывода о непрерывности функции K по совокупности переменных s, на . Из непрерывности функции K на следует, что прямое значение (2.6) (либо (2.10)) потенциала двойного слоя

представляет собой непрерывную функцию от x0 (либо от ) на . Сформулируем полученный результат в виде леммы.

Лемма 2.1. При выполнении условий (i), (ii) прямое значение (2.6) потенциала двойного слоя (2.4) является непрерывной на функцией.

Замечание 2.1. При доказательстве леммы 2.1 условие 2 C2( ) не использовалось. Фактически для ее справедливости достаточно условия

2 C( ) или даже условия, что интегрируема (по Лебегу) на .

7.2.2.Теорема о скачке для потенциала двойного слоя. Пусть

B"(x0) – круг достаточно малого радиуса " с центром в точке x0 2 ,

0" – часть границы области , лежащая внутри B"; B"0 = B"(x0) \ , B"00 = B" n B"0 . Обозначим через v функцию класса C2(B") такую, что

Поскольку 2 C2( ), то существование такой функции доказывается без труда (см. [9, c. 67]). Пусть S"0 – часть окружности S" S"(x0) = fx 2 R2 : jx x0j = "g, лежащая в области (см. рис. 2.1,а).

Предположим, что x 62B"0 , и проинтегрируем тождество

к левой части (2.21) “двумерную” формулу интегрирования по частям (2.4

367

Пусть теперь x 2 B"0 [ 0". В этом случае предварительно выделим из B"0 [ 0" эту точку x вместе с замкнутым кругом B (x) достаточно малого радиуса с центром в точке x и проинтегрируем тождество (2.21) по оставшейся области. Устремляя далее к нулю и рассуждая так же, как при выводе интегрального представления Грина функции класса C2 в R2 (см. §6.2), приходим к формуле

Здесь q(x) = 2 , если x 2 B"0 (x0) и q(x) = при x 2 0". Обе формулы (2.23) и (2.24) можно записать в виде одной формулы (2.24), считая, что в

ней x изменяется в круге B", выбрав функцию q в (2.24) в виде

Положим 00" = n 0". Рассматривая значения потенциала (2.4) в окрестности точки x0, например, в круге B"=2(x0), запишем (2.4) в виде

Замечаем, что во всех точках x 2 B"(x0), лежащих в том числе и на участке границы , второе слагаемое в (2.26) совпадает с первым слагаемым левой части (2.24), поделенным на 2 . Это позволяет переписать (2.26) в виде

Анализ формулы (2.27) позволяет сделать несколько важных выводов относительно поведения потенциала двойного слоя (2.4) в окрестности точки x0. Прежде всего отметим, что первые два слагаемых в правой части (2.27) являются бесконечно дифференцируемыми и, более того, гармоническими функциями в малой окрестности точки x0, например, в круге

368

B"=2(x0) радиуса "=2. Третье слагаемое, будучи “плоским” потенциалом пары (B"0 ; v), является в силу свойств функции v и теоремы 1.1 непрерывно дифференцируемой функцией всюду в R2. Поэтому поведение потенциала двойного слоя при переходе точки x через точку x0 целиком и полностью определяется поведением последнего слагаемого, а фактически, с учетом условия v 2 C2(B") – поведением функции q.

Поскольку функция q принимает постоянные значения на каждой из трех частей B"0 , 0" и B"00 круга B", то функция qv является дважды непрерывно дифференцируемой функцией на каждой из этих частей. Отсюда, в частности, следует, что сужение потенциала u на границу , т. е. прямое значение потенциала двойного слоя, является непрерывно дифференцируемой функцией в указанной окрестности точки x0. Поскольку x0 – произвольная точка границы , то отсюда приходим к следующему результату.

Лемма 2.2. При выполнении условий (i); (ii) прямое значение потенциала двойного слоя u(x0) : ! R является непрерывно дифференцируемой функцией в каждой точке x0 2 , т.е. принадлежит классу C1( ).

В то же время последнее слагаемое qv не является даже непрерывной функцией при переходе через границу . Поэтому, когда точка x переходит из области в область e через x0, последнее слагаемое в (2.27) претерпевает согласно (2.25) разрыв 1-го рода, тогда как все интегральные члены в правой части (2.27) остаются непрерывно дифференцируемыми. С учетом этого обстоятельства и формулы (2.25) легко получаем, что величины

Более того, поскольку интегральные члены в правой части (2.27) непрерывно дифференцируемы при переходе точки x из в e через x0, функция q постоянна в и e, а v удовлетворяет условиям (2.20), то из (2.27) и (2.25) следует с учетом второго условия в (2.20), что существуют пределы

Сформулируем полученные результаты в виде теоремы

369

Теорема 2.1. При выполнении условий (i), (ii) потенциал двойного слоя (2.4) при переходе точки x через претерпевает разрыв со скачками, определяемыми формулами (2.29) и (2.30). Более того, в каждой точке x0 2 существуют пределы (2.31) и выполняется условие (2.32).

7.2.3. Потенциал простого слоя. Теорема о скачке производных от потенциала простого слоя. Пусть сначала 2 C( ) – заданная на

непрерывная вещественная функция .

Определение 2.2. Потенциалом простого слоя масс (либо зарядов), распределенных по поверхности с плотностью , называется функция u : Rn n ! R, определяемая формулой

Z

u(x) = En(x; y) (y)d y; x 2 Rn n : (2.33)

Из (2.33) и свойств сингулярного решения En (см. § 6.1) вытекает, что потенциал простого слоя u всюду в Rn n является гармонической функцией, причем при n 3 потенциал u стремится к нулю при jxj ! 1 с порядком O(jxj2 n). В случае же n = 2 формула (2.33) принимает вид

Из (2.35) следует в силу (1.8), что потенциал простого слоя в R2 имеет логарифмическую особенность при jxj ! 1, исключая случай, когда его плотность удовлетворяет условию

Z

При выполнении условия (2.36) потенциал простого слоя в R2 равномерно стремится к нулю на бесконечности.

Так же, как и в п. 7.2.1, 7.2.2, ограничимся рассмотрением случая n = 2 при выполнении тех же условий (i), (ii) на и . Повторяя рассуждения, используемые выше при выводе формулы (2.27) для потенциала двойного слоя, с той лишь разницей, что в данном случае вместо формулы (2.4) берется формула (2.34), а в качестве v выбирается функция класса C2(B"), удовлетворяющая условиям

370