emph_f

показать, что потенциал u электростатического поля, создаваемого тройкой ( ; ; n), определяется формулой

Интеграл в правой части (1.27) называется потенциалом двойного слоя зарядов, распределенных с поверхностной плотностью по поверхности

. Такое название связано с тем, что рассматриваемое на распределение диполей может быть приближенно получено в виде двух – “внутренней” и “внешней” к – поверхностных зарядных систем монополей, расположенных на малом расстоянии h друг от друга, плотности которых отличаются лишь знаком и растут с уменьшением h.

Наряду с введенными выше объемным потенциалом (1.25) и потенциалами простого и двойного слоя (1.26) и (1.27) мы будем рассматривать также их n-мерные аналоги, определяемые соотношениями

где x 2 Rn. В гл. 7 мы покажем, что каждый из потенциалов в (1.28) является бесконечно дифференцируемой вне замыкания своей области интегрирования функцией, удовлетворяющей уравнению Лапласа и при n 3 условию (1.3) на бесконечности. Таким образом, потенциалы (1.28) представляют собой важные примеры гармонических функций. С учетом этого будем ссылаться на них как на гармонические потенциалы. Отметим также, что при n = 2 потенциалы (1.28), принимающие вид

(1.29) называются соответственно логарифмическим потенциалом, логарифмическим потенциалом простого слоя и логарифмическим потенциалом двойного слоя.

6.1.5. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметров. Приведенные в п. 6.1.4 потенциалы определяются с помощью тройного или поверхностного интегралов, зависящих от параметра, роль которого играет переменная точка x. Особенностью этих интегралов является то, что их подынтегральные функции обращаются в бесконечность в случае, когда значения потенциала рассматриваются в точках, принадлежащих области интегрирования. Хорошо известно, что соответствующие интегралы, называемые несобственными, нельзя определить как пределы

301

интегральных сумм, а требуется еще дополнительный предельный переход по последовательности областей интегрирования. Чтобы глубже понять свойства потенциалов (1.25)–(1.29), приведем в этом пункте некоторые важные факты из теории несобственных кратных интегралов, зависящих от параметров. Ниже они будут широко использоваться при исследовании свойств интегралов типа потенциалов.

Пусть в ограниченном открытом множестве R3 задана функция f, неограниченная в окрестности некоторой точки x0 2 , и пусть для любой области ! , содержащей внутри себя точку x0, функция f ограничена и интегрируема в обычном смысле в области n! . Указанная область ! заштрихована на рис. 1.3,а, где x0 2 , и на рис. 1.3,б, где x0 2 @ . Индексом обозначен диаметр области ! , которая стягивается в точку x0 при! 0. Рассматриваемые ниже области , ! и другие мы всегда предполагаем кубируемыми, т. е. имеющими объем, либо квадрируемыми в случае двух измерений, т. е. имеющими площадь, но не обязательно связными.

Определение 1.3. Несобственным интегралом от функции f по области называется предел

ZZ

!0 n!

Если этот предел существует, конечен и не зависит от выбора областей

R

! , стягивающихся в точку x0, то несобственный интеграл fdx называется сходящимся. В противном случае он называется расходящимся. Если существует хотя бы одна стягивающаяся последовательность областей ! n такая, что существует предел

Z

I = lim f(x)dx;

n!1 n! n

а для других последовательностей областей этот предел имеет другие значения или вообще не существует, то предел I называется условно сходящимся несобственным интегралом.

Ясно, что при расмотрении условно сходящегося несобственного интеграла I нужно указывать ту последовательность областей ! n, по которой определяется этот интеграл. Примером условно сходящегося интеграла является сингулярный интеграл. В применении к тройному несобственному интегралу от функции f, имеющей особенность в точке x0 2 , он определяется как предел

Z Z

f(x)dx = lim f(x)dx: (1.31)

n!1 nB n(x0)

Здесь B n(x0) – стягивающаяся последовательность шаров радиуса n ! 0 с центром в точке x0.

302

вательности шаров B n с центром в точке x0 и не зависит от выбора последовательности n ! 0, то этот предел называется сингулярным интегралом от функции f по либо главным (или прямым) значением расходящегося интеграла.

Замечание 1.2. По аналогичной схеме определяются несобственные либо сингулярные кратные интегралы в пространстве любого числа измерений n, а также несобственные и сингулярные поверхностные интегралы.

Пусть и Q – некоторые области пространства R3, и пусть функция F

Если для любой точки x 2 Q интеграл (1.32) существует в собственном или несобственном смысле, то он называется собственным или несобственным интегралом, зависящим от параметра x.

Хорошо известен следующий результат (см., например, [10, с. 443]).

Теорема 1.1. Пусть Q и – ограниченные области в R3.

1)Если функция F непрерывна в Q как функция двух аргументов x и y, то J является непрерывной функцией точки x в Q.

2)Если, кроме того, производные @F=@xi непрерывны в Q , то функ-

ция J имеет производную по xi, непрерывную в Q, причем

3) В условиях утверждения 1 функция J интегрируема по параметру x, причем

Z Z Z Z Z

J(x)dx = dx F (x; y)dy = dy F (x; y)dx:

Q Q Q

Замечание 1.3. Приведенные в теореме 1.1 утверждения легко рас-

Здесь функция F удовлетворяет тем же условиям, что и в теореме 1.1, а функция абсолютно интегрируема в собственном или несобственном

303

Более того, если функция F имеет непрерывные в Q производные по xi, i = 1; 2; :::; n до порядка m 1, то J 2 Cm(Q), причем соответствующие производные функции J получаются путем дифференцирования под знаком интеграла.

Рассмотрим в качестве примера потенциал (1.25) гравитационного поля, создаваемого парой ( ; ). Предположим, что абсолютно интегрируема ви что точка x изменяется в некоторой ограниченной области Q, отстоящей от на положительном расстоянии. Тогда функция F аргументов x 2 Q и y 2 , определяемая формулой

является бесконечно дифференцируемой функцией от (x; y) 2 Q . В таком случае из замечания 1.3 следует, что потенциал u является бесконечно дифференцируемой функцией декартовых координат xi точки x 2 Q, причем производные от u по xi получаются путем дифференцирования интеграла в (1.25) по xi. Учитывая (1.16), легко выводим, что

(1.36) Если же параметр x изменяется в , то функция (1.35) обращается в бесконечность в случае, когда y=x. Это означает, что каждая точка x2 является особой точкой подынтегральных функций интегралов (1.25) и (1.36), а сами интегралы являются несобственными, даже если функция является сколь угодно гладкой. Естественно, возникает вопрос о свойствах непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости по xi указанных

несобственных интегралов, рассматриваемых в точках x 2 . Ограничимся ниже исследованием несобственных кратных интегралов

вида (1.34), зависящих от параметра x 2 , при следующих условиях:

(i)– ограниченное (кубируемое) открытое множество в R3;

(ii)– ограниченная интегрируемая в функция: j (y)j M 8y 2 ;

(iii)функция F двух аргументов x 2 и y 2 непрерывна при x 6= y

и неограничена при y ! x 2 .

Ясно, что интегралы (1.25) и (1.36) являются частными случаями несобственного интеграла (1.34). Основную роль при исследовании свойств несобственных интегралов (1.34) играет понятие равномерной сходимости интеграла в точке. Пусть B 0 (x0) – шар радиуса 0 с центром в x0.

Определение 1.5. Интеграл (1.34) называется равномерно сходящимся в точке x0 2 , если для любого числа " > 0 существует такое число 0 = 0("), что:

1) интеграл J(x) сходится в каждой точке x 2 B 0 (x0) \ ;

304

2) неравенство

выполняется для любой области ! диаметра 0, содержащей в себе точку x0, и для любой точки x, расстояние от которой до x0 меньше .

Лемма 1.4. (Достаточный признак равномерной сходимости). Пусть при выполнении условий (i)–(iii) существует такая окрестность U(x0) точки x0 и такие константы C>0 и <3, что выполняется соотношение

Тогда интеграл (1.34) сходится равномерно в точке x0.

Доказательство. Рассмотрим шар B 0 (x0), лежащий в упомянутой окрестности точки x0. Тогда для любой области ! диаметра 0, содержащей в себе x0, и любой точки x 2 B 0 (x0) имеем с учетом (ii), что

Здесь B B2 0 (x) – шар радиуса 2 0 с центром в точке x.

Для вычисления интеграла в правой части (1.39) перейдем к сферическим координатам r; ; ' с центром в x. Учитывая, что r = jx yj, будем иметь

Так как < 3, то правая часть в (1.41) может быть сделана меньше любого " путем выбора достаточно малого 0 > 0.

Замечание 1.4. Отметим, что в случае двух измерений условие равномерной сходимости двойного несобственного интеграла вида (1.34) при x; y 2 R2 имеет также вид (1.38), но при < 2. Это же условие является условием равномерной сходимости несобственного поверхностного интеграла в R3 вида

Z

305

если обладает определенной регулярностью, например, является поверхностью Ляпунова (см. подробнее о поверхностях Ляпунова в § 7.2).

Ясно, что для интеграла (1.25) условие (1.38) выполняется при = 1. Далее, поскольку в силу (1.16) имеем

все интегралы в (1.25) и (1.36) являются равномерно сходящимися в любой точке x 2 . Аналогичный факт о равномерной сходимости справедлив с учетом замечания 1.4 и для потенциала простого слоя (1.26), имеющего вид (1.42), где функция F определяется формулой (1.35), поскольку для него достаточное условие равномерной сходимости (1.38) выполняется при= 1. Что касается потенциала двойного слоя (1.27), то с учетом соотношений (1.16) и (1.19) при e1 = ny имеем

(1.44) Поэтому для него условие (1.38) выполняется лишь при = 2, чего недостаточно для равномерной сходимости несобственного поверхностного интеграла. Это не случайно, а связано с тем, что несобственный интеграл, определяющий потенциал двойного слоя (1.27) при x 2 , не является сходящимся в соответствии с определением 1.3, хотя сходится как сингулярный интеграл в смысле определения 1.4 (см. подробнее об этом в § 7.2).

Замечание 1.5. Аналогичным образом вводятся понятия несобственного и сингулярного интегралов в пространстве любого числа n измерений, а также понятие равномерной сходимости в точке n-мерного несобственного интеграла, зависящего от параметра x. При этом достаточное условие равномерной сходимости имеет вид (1.38) при <n для n-мерного аналога объемного интеграла вида (1.34) и вид (1.38) при <n 1 для n-мерного аналога поверхностного интеграла (1.42). Отсюда, в частности, вытекает с учетом свойств сингулярного решения En равномерная сходимость n- мерных объемного потенциала и потенциала простого слоя в (1.28). Последнее имеет место при указанном выше условии определенной регулярности поверхности . Наконец, отметим, что при n = 2 достаточное условие равномерной сходимости имеет вид (1.38) при <2 для двойного интеграла вида (1.34) и вид (1.38) при <1 для криволинейного несобственного интеграла вида (1.42). Отсюда, с учетом очевидного неравенства

j ln jx yjj Cjx yj 8x; y 2 Q; x 6= y;

где Q – произвольное ограниченное множество в R2, справедливого для любого числа 2 (0; 1) с некоторой константой C = C(Q), вытекает рав-

306

номерная сходимость логарифмического потенциала и логарифмического потенциала простого слоя, определенных в (1.29).

Использование понятия равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра, позволяет установить ряд их свойств. В частности, справедлива

Теорема 1.2. Пусть в условиях леммы 1.4 интеграл (1.34) сходится равномерно в точке x0 2 . Тогда интеграл (1.34) является непрерывной функцией в точке x0.

Доказательство. Достаточно доказать, что для любого числа " > 0 найдется такое число = ("), что для каждой точки x 2 , удовлетворяющей условию jx x0j < , выполняется неравенство

Для доказательства этого факта возьмем шар B B (x0) и разобьем каждый из интегралов J(x) и J(x0) на два слагаемых: по области \B (x0) и по области nB (x0). С учетом этого будем иметь

При достаточно малом > 0 первое и третье слагаемые в правой части (1.46) будут меньше "=3 в силу равномерной сходимости интеграла в точке x0, если jx x0j < . Выберем далее число 0 < ( =2) и предположим, что jx x0j < 0. При выполнении этого условия второй интеграл в (1.46) явля-

ется собственным. Поскольку F непрерывна при y 2 nB , то по свойству непрерывности собственного интеграла по параметру (см. теорему 1.1) этот интеграл будет меньше "=3, если x выбрать достаточно близким к x0.

Исследование дифференцируемости по параметру несобственного интеграла вида (1.34) требует проведения несколько более тонких рассуждений, на чем мы не будем здесь останавливаться. Интересующийся читатель может найти детальное исследование дифференцируемости и других свойств кратных несобственных интегралов, зависящих от параметра, в [50, лекция 7, §2], [16, гл.17].

§6.2. Формулы Грина

6.2.1.Формулы Гаусса–Остроградского, Грина и Стокса. Важную роль при исследовании свойств решений эллиптических уравнений играют интегральные формулы Гаусса–Остроградского, Грина и Стокса.

307

Поскольку доказательство указанных формул приводится в курсе математического анализа, то ограничимся здесь приведением их формулировок, следуя [19]. Напомним некоторые определения, связанные с областями и их границами. Пусть – произвольное открытое множество в Rn. Множество называется областью, если оно связно, т.е. любые две его точки можно соединить кривой, целиком лежащей в . Если к тому же любую лежащую в замкнутую кривую можно непрерывным образом “стянуть” в некоторую точку этой области, то такая область называется односвязной.

Говорят, что поверхность (кривая при n = 2) принадлежит классу Cl, l 2 N0, если в некоторой окрестности Br(x0) каждой точки x0 2 она описывается уравнением Fx0 (x) = 0, где Fx0 2 Cl(Br(x0)), и при l 1 gradFx00 6= 0. При l 1 поверхность называется гладкой. Граница трехмерной области называется кусочно-гладкой, если она составлена из конечного числа гладких поверхностей, примыкающих друг к другу по гладким кривым–ребрам поверхности. Если граница состоит из конечного числа замкнутых кусочно-гладких поверхностей i, то i называют связными компонентами . Ниже будем иметь дело с кратными, криволинейными, поверхностными интегралами как собственными, так и несобственными либо сингулярными. Свойства указанных интегралов достаточно освещены в таких книгах, как [16], [18], [19], [47], а также в § 6.1.

Пусть – некоторое множество в пространстве R3 и P; Q; R : ! R

– заданные в функции. Предположим, что выполняются условия (2а) – ограниченное открытое множество с кусочно-гладкой границей

; (2б) P; Q; R 2 C1( ) \ C( ).

В [19, c. 188] доказана следующая теорема.

Теорема 2.1. Пусть выполняются условия (2а), (2б), и пусть существуют несобственные интегралы по от каждой из частных производных функций P; Q и R. Тогда справедлива формула

называемая формулой Гаусса–Остроградского.

Здесь dx =dxdydz – элемент объема, d – элемент площади поверхности, ; и – углы единичной внешней нормали n к поверхности с единичными ортами i; j и k декартовой системы координат, соответственно. В векторной записи формула (2.1) имеет вид

Z Z Z

divvdx = vnd v nd ; vn v n: (2.2)

Здесь v (либо divv) – векторное (либо скалярное) поле, определяемое в

308

Полагая в (2.1) P = uv; Q = 0; R = 0, будем иметь

Заменив здесь переменную x на произвольную декартову координату xi, приходим к формуле

Положим теперь в (2.1) P = u@v=@x, Q = u@v=@y, R = u@v=@z. В

называемой первой формулой Грина. Здесь

ru rv = @u@x @x@v + @u@y @y@v + @u@z @v@z ;

а @v=@n – производная по внешней нормали, определяемая формулой

Из вывода формулы (2.4) и теоремы 2.1 следует, что формула интегрирования по частям (2.4) справедлива при выполнении условия (2а) на и выполнении следующих условий на u и v: u; v 2 C1( )\C( ). Точно так же формула Грина (2.5) (либо (2.6)) справедлива при выполнении условия (2a)

309

на и следующих условий на u и v: u 2 C1( ) \ C( ), v 2 C2( ) \ C1( ), (либо u 2 C2( ) \ C1( ), v 2 C1( ) \ C( )). Наконец, формула (2.7) справедлива при выполнении условия (2a) и условий u; v 2 C2( )\C1( ). Разумеется, еще одним дополнительным условием справедливости всех формул (2.4)–(2.7) является существование всех несобственных интегралов по области , стоящих в этих формулах. Однако если вместо приведенных условий выполняются следующие более жесткие условия: u; v 2 C1( ) для формулы (2.4), либо u 2 C1( ), v 2 C2( ) для формулы (2.5), или u 2 C2( ), v 2 C1( ) для формулы (2.6), либо u; v 2 C2( ) для формулы (2.7), то тогда все несобственные интегралы, стоящие в формулах (2.4)–(2.7), переходят в собственные, так что указанное условие существования несобственных интегралов, естественно, снимается.

Замечание 2.1. Отметим, что согласно условию (2а) формулы Грина, а также формула (2.4) справедливы как для односвязных либо многосвязных областей, так и для несвязных множеств, состоящих из нескольких областей, т. е. связных открытых множеств. Точно так же граница множестваможет быть как связной, так и несвязной, т. е. состоящей из нескольких связных компонент. В последнем случае поверхностные интегралы следует брать по всем поверхностям, ограничивающим . Аналогичные формулы Грина имеют место как на плоскости R2, так и в пространстве Rn, n > 3.

Пусть S – поверхность в R3. Назовем ее окрестностью любое открытое множество, содержащее S. Предположим, что выполняются условия

(2в) S – ограниченная кусочно-гладкая двусторонняя поверхность с кусочно-гладкой границей ;

(2г) функции P; Q; R непрерывны и непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности поверхности S.

Тогда справедлива следующая теорема (см. [19, с. 182]).

Теорема 2.2 При выполнении условий (2в); (2г) справедлива формула

называемая формулой Стокса. При этом стоящий в правой части (2.8) интеграл представляет собой сумму интегралов по связным компонентам границы , на которых указано положительное направление обхода (при котором с учетом выбора стороны поверхности поверхность S остается слева).

В векторной записи формула (2.8) имеет с учетом обозначений (2.3) вид

ZI

310