emph_f

Z

= '(y)d d d I(x; t); (3.12)

Bat(x)

где точка y во втором и третьем интегралах пробегает весь шар Bat(x), перепишем (3.11) в виде

Дифференцируя это выражение по t, получим

В самом деле, переходя в интеграле I по шару Bat(x) к сферическим координатам ( ; ; ) с центром в x, полагая y = x + n, где 0 < at, имеем

Z at Z 2 Z

I(x; t) = '(y) 2 sin d d d ; y = x + n 2 Bat(x):

0 0 0

Дифференцируя по времени t, входящему в переменный верхний предел внешнего интеграла, и переходя последовательно к интегралам по единичной сфере S1 и сфере Sat(x), получаем соотношение

где y = x + atn. Тем самым (3.15) доказано. Из (3.14) и (3.15) вытекает, в свою очередь, что

Подставляя (3.9) и (3.16) в (3.1), приходим к выводу, что функция u, определяемая формулой (3.4), удовлетворяет волновому уравнению (3.1) для любой функции ' 2 C2(R3). Из (3.7) и (3.10), кроме того, следует, что функция u удовлетворяет начальным условиям

@u

ujt=0 = 0; @t t=0 = '(x) в R3: (3.17)

191

Если, далее, u есть решение уравнения (3.1) с начальными данными (3.17), то в силу однородности (3.1) функция v = @u=@t также является решением уравнения (3.1), но удовлетворяет с учетом (3.8) начальным условиям

Взяв теперь за ' в случае начальных условий (3.17) функцию '1, а в случае начальных условий (3.18) – функцию '0 и сложив соответствующие решения, получим искомое решение уравнения (3.1), удовлетворяющее начальным условиям (3.2). Согласно построению оно определяется формулой

Формула (3.19) называется формулой Кирхгофа в честь известного немецкого физика G.R. Kirchgo (1824–1887). Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема 3.1. Пусть выполняются условия (3.3). Тогда классическое

решение u 2 C2(R4+) \ C1(R4+) задачи Коши (3.1), (3.2) существует и определяется формулой Кирхгофа (3.19).

Замечание 3.1. В основе доказательства теоремы 3.1 лежит тот факт, что функция (3.4) является решением однородного волнового уравнения (3.1) для любой гладкой функции '. Альтернативный метод доказательства теоремы 3.1, называемый методом сферических средних, основан на использовании свойств так называемых сферических средних от решения u, определяемых формулой

1 Z

u(r; x; t) = 4 r2 Sr(x) u d r:

Здесь Sr(x) – сфера с центром в точке x радиуса r. Более подробно об этом методе можно прочитать в [6, с.66], [56, с.429].

Замечание 3.2. Простой анализ формулы (3.19) показывает, что при выполнении условий (3.3) вторые производные от решения u, входящие

в (3.1), существуют и непрерывны в замкнутом полупространстве R4+ = f(x; t) : x 2 R3; 0 t < 1g. Поэтому при выполнении (3.3) формула Кирхгофа описывает (с учетом терминологии замечания 1.3) регулярное решение задачи Коши (3.1), (3.2). Наоборот, если вместо (3.3) выполняются более общие условия, а именно:

то функция u, определяемая по '0 и '1 формулой (3.19), по-прежнему удовлетворяет начальным условиям (3.2), но уже не удовлетворяет уравнению

192

(3.1). (Последнее объясняется тем, что при выполнении (3.20) правая часть в (3.19) не обладает вторыми производными, входящими в (3.1)). Однако можно показать (см. [11, §13]), что при выполнении условий вида (3.20) и даже гораздо более общих условий на '0 и '1 функция (3.19) является решением уравнения (3.1) в некотором обобщенном смысле. С учетом этого можно считать, что формула (3.19) описывает регулярное решение при выполнении условий (3.3) и обобщенное решение, если выполняются более общие условия, например (3.20).

3.3.2. Волновое уравнение в R2. Решение задачи Коши для волнового уравнения методом спуска. Формула Пуассона. Предположим, что функции '0 и '1 в (3.2) не зависят от z. Тогда решение задачи (3.1), (3.2), определяемое формулой (3.19), также не будет зависеть от z. В этом легко убедиться, записав интегралы в (3.19) в сферических координатах. Это означает, что формула Кирхгофа (3.19) при x = x0 (x; y; 0) будет давать решение двумерной задачи Коши:

задачи (3.21), (3.22), поскольку (3.19) носит пространственный характер за счет наличия сфер Sat(x). Однако в силу независимости '0 и '1 от z ее можно преобразовать в чисто “плоскую” формулу. Действительно, поскольку правая часть в (3.19) не зависит от z, то центр x сферы Sat(x) можно взять в точке x0 = (x; y; 0), лежащей на плоскости R2. В таком случае обе части этой сферы, лежащие над и под плоскостью R2, можно спроектировать на эту плоскость в виде круга at = at(x0) с центром в точке x0 радиуса at и заменить интегрирование по сфере Sat(x0) интегрированием

по кругу at(x0).

Пусть y = ( ; ; ) – переменная точка сферы Sat(x0), y0 = ( ; ; 0) – проекция точки y на плоскость R2. Элемент d r площади поверхности сферы

Sat(x0) с центром в y и отвечающий ему элемент площади d d плоскости

Здесь – угол между радиус-вектором y и осью (см. рис. 3.2). Ясно, что

193

Аналогичные соотношения справедливы и для нижней полусферы. Подставляя (3.23), (3.24) в (3.19) и учитывая, что на круг at(x0) проек-

тируются две полусферы сферы Sat(x0), приходим к следующей формуле, решающей плоскую задачу (3.21), (3.22):

Формула (3.25) называется формулой Пуассона. Отметим, что формула (3.25) является “плоской” в том смысле, что интегрирование в (3.25) производится по кругу at(x0) радиуса at с центром в точке x0 = (x; y). Сформулируем полученный результат (с учетом замечания 3.2) в виде теоремы.

Теорема 3.2. Пусть '0 2 C3(R2), '1 2 C2(R2). Тогда регулярное ре-

шение u 2 C2(R3+) задачи Коши (3.21), (3.22) существует и определяется формулой Пуассона (3.25).

Замечание 3.3. Если функции '0 и '1 в (3.2) не зависят не только от z, но и от y, то аналогичные предыдущему рассуждения приводят к формуле

решающей задачу Коши в R (эта формула была получена в §3.1 другим способом).

Замечание 3.4. Для задачи Коши в R4+ и R3+ справедливы теоремы единственности и устойчивости по начальным данным. Они могут быть доказаны методами, аналогичными тем, которые были применены для одномерного волнового уравнения. К вопросу о единственности задачи Коши мы вернемся в §3.5. Что касается устойчивости, то отметим, что для устойчивости решений обеих задач недостаточно условий вида (см. §3.1)

j'~0(x) '0(x)j < ; j'~1(x) '1(x)j < 8x 2 R3 ( либо 8x 2 R2);

где '~0 и '~1 – возмущенные начальные функции. Нужно еще потребовать дополнительно, чтобы выполнялось условие jr'~0(x) r'0(x)j < . Последнее связано с тем, что согласно (3.19), (3.25) решение u зависит не только от функций '0 и '1, но и от производных функции '0.

Изложенный выше метод решения плоской (и одномерной) задачи Коши носит название метода спуска. Такое название связано с тем, что при решении волновых уравнений на плоскости и прямой мы исходим из решения трехмерной задачи, как бы спускаясь к меньшему числу переменных.

194

В соответствии с этим разбиением рассмотрим три случая.

1. 0 t < t1. Для этих значений t сфера Sat(x) еще не имеет общих точек с . Следовательно, '0jSat =

'1jSat = 0. Поэтому из формулы (3.19) следует, что u(x; t) 0. (Ни-

же этот факт физически будет проинтерпретирован так, что финитное

возмущение ( ; '0; '1), возникшее в начальный момент времени t = 0,

еще не дошло до точки x).

2. t1 t t2. Для указанных

значений времени t, т.е. начиная с момента t1 = d1=a и до момента t2 = d2=a сфера Sat(x) будет пересекать область либо касаться ее, например, при

t= t1. С учетом этого из формулы (3.19) следует, что u(x; t) 6 0 для

t2 (t1; t2), т.е. что в точке x имеется возмущение.

3.t2 < t < 1. Для этих значений t радиус at сферы Sat(x) больше d2, и, следовательно, сфера Sat уже не будет иметь общих точек с областью (вся область лежит внутри Sat(x)). Ввиду этого мы снова получим, как в случае 1, что u(x; t) 0. Однако этот факт следует интерпретировать так, что начальное возмущение уже прошло через точку x.

На основании приведенного анализа можно сделать важный физиче-

ский вывод о том, что акустическое возмущение ( ; '0; '1) среды, возникшее в начальный момент времени в некоторой области пространства R3, распространяется по всем направлениям пространства с одной и той же скоростью, в точности равной коэффициенту a уравнения (3.1). Поэтому

если взять любую точку x 62 , то начальное возмущение, возникшее в , придет в точку x в момент t = t1, где момент t1 определен в (3.28). (Более

точно: в момент t1 в точку x придут возмущения из точек y 2 , располо-

женных на ближайшем для точек расстоянии d1 от x). В последующие

моменты t > t1 в точку x будут приходить возмущения из точек y 2 , расположенных от точки x на расстоянии, равном at > d1. Наконец, в момент t = t2, где t2 определен в (3.28), в точку x придут возмущения из точек

y 2 , расположенных на максимальном расстоянии d2 от x. С учетом этого решение – звуковое давление u в точке x может быть отлично от нуля, и, следовательно, в точке x может наблюдаться возмущенное состояние лишь в моменты времени t из интервала [t1; t2]. Фактически же решение u должно быть отлично от нуля в точке x лишь в моменты времени t 2 (t1; t2). Это является следствием того обстоятельства, что начальные функции '0 и '1 обращаются в нуль на границе области в силу их непрерывности в R3, вытекающей из (3.3) и условий (3.27). Аналогичный вывод справедлив

196

и для точек x 2 , за исключением того, что для всех таких точек t1 = 0,

а t2 = d2=a, где d2 – максимальное расстояние от x до точек y 2 . Основываясь на приведенных выводах, введем фундаментальное поня-

тие современной физики и математики, а именно: понятие волны. Это понятие имеет два аспекта: физический и математический.

С физической точки зрения под волной (в однородной изотропной среде) следует понимать особое возмущенное состояние среды, при котором возмущение, возникшее в произвольной точке y среды, передается с постоянной скоростью a в любую другую точку x пространства R3 за конечное время, равное отношению jx yj=a, где jx yj – расстояние между этими точками. В случае неоднородной среды, когда скорость распространения возмущений a зависит от координат точки x, это время зaвисит не только от расстояния jx yj, но и от степени неоднородности среды, входящей в переменную скорость a = a(x).

В математическом плане под волной в пространстве (в однородной изотропной среде без источников) будем понимать решение задачи Коши (3.1), (3.2) для однородного волнового уравнения (3.1).

Используя последнее определение, для каждой волны можно определить ряд важных характеристик, например, носитель волны, передний и задний фронты волны, области покоя. Введем эти понятия.

Пусть x 2 R3 – произвольная точка. Если u(x; t) 6= 0, то будем говорить, что в точке x в момент t распространяется (или бежит) волна. Объединение всех таких точек x в момент t обозначим через D(t) и назовем открытым носителем волны u. Если u – непрерывная по x; y; z функция, то D(t) – открытое множество, определяемое в каждый момент времени t формулой

Кроме множества D(t), рассмотрим еще одно открытое множество (ниже “int M” означает внутренность множества M):

которое, в свою очередь, разобьем на два подмножества:

D00(t) = fx 2 D0(t) : u(x; ) 0 при 0 tg и D0(t) = D0(t)nD00(t):

(3.31) Множество D00(t) физически можно интерпретировать как совокупность точек в R3, до которых волна u, вызванная начальным возмущением ( , '0, '1), к моменту t еще не дошла и, следовательно, в которых еще наблюдается покой. Аналогично D0(t) представляет собой множество точек пространства R3, через которые волна u уже прошла и, следовательно, в которых уже наблюдается покой. Наряду с (открытыми) множествами

197

D(t), D0(t) и D00(t) рассмотрим следующие три замкнутые множества:

D(t) = supp u(x; t); x 2 R3; S0(t) = D(t) \ D0(t) и S00(t) = D(t) \ D00(t):

Множество D(t) имеет смысл замкнутого носителя волны u в момент t;

множество S00(t), имеющее смысл “внешней” границы носителя D(t) волны u, назовем передним фронтом волны, а множество S0(t), имеющее смысл

“внутренней” границы носителя D(t), назовем задним фронтом волны. Осталось понять, как построить геометрически множества D(t), S0(t)

и S00(t) в каждый момент времени t. С этой целью заметим, что согласно предыдущему анализу каждая точка x 2 D(t) характеризуется тем, что сфера Sat(x) пересекает область . Но таким свойством будут обладать все точки сфер Sat(y), где y – переменная точка области . Если границаобласти достаточно гладкая, то существуют две огибающие указанного семейства сфер: внутренняя и внешняя. Внешняя огибающая отделяет точки множества D00(t), до которых волна u еще не дошла, от точек открытого носителя D(t) волны u, и, следовательно, указанная огибающая совпадет с передним фронтом волны. Внутренняя огибающая отделяет точки открытого носителя D(t) волны u oт точек множества D0(t), через которые волна, вызванная начальным возмущением ( ; '0; '1), уже прошла и, следовательно, в которых вновь возникло состояние покоя, поэтому она совпадает с задним фронтом волны.

Резюмируя, заключаем, что в любой момент t пространство R3 можно представить в виде объединения пяти непересекающихся подмножеств:

Здесь D00(t) – множество точек, до которых волна u еще не дошла в момент t, S00(t) – передний фронт волны, D(t) – открытый носитель волны, S0(t)

– задний фронт волны, наконец, D0(t) – множество точек, через которые волна уже прошла. Некоторые из множеств в (3.32) могут быть пустыми, например, множество D0(t) и задний фронт волны S0(t) при малых t. С использованием введенных обозначений сам волновой процесс можно трактовать с математической точки зрения как процесс изменения с течением времени всех указанных в (3.32) множеств.

Основываясь на приведенном математическом выводе, можно сформулировать следующий физический вывод о характере распространения (звуковых) волн в пространстве R3, вызванных начальным возмущением, а именно: наличие финитного начального возмущения ( ; '0; '1) в однородной среде пространства R3 приводит к возникновению в пространстве R3

волны, т.е.особого возмущенного состояния среды, при котором начальное возмущение от каждой точки y носителя начальных функций передается в любую другую точку x пространства R3 через конечное время t = jx yj=a.

198

При этом в каждый момент времени волна имеет четко выраженный передний фронт, а начиная с некоторого времени, зависящего от размеров области , и задний фронт.

Указанный вывод представляет собой расширенное содержание принципа Х. Гюйгенса распространения волн в пространстве, названного так в честь известного голландского ученого H. Huygens (1629-1695), сформулировавшего его в 1678 г.

Принцип Гюйгенса: Всякое начальное возмущение, финитное (или, как говорят физики, локализованное) в пространстве R3, вызывает в каждой точке x 2 R3 действие, финитное по времени: при этом имеет место распространение волны с четко выраженными передним и задним фронтами.

Пример 1. Пусть есть шар BR с центром в начале координат радиуса R. Основываясь на предыдущем анализе, нетрудно установить, что в каждый момент t > 0 передний S00 и задний S0 фронты волны, образованной начальным возмущением (BR; '0; '1), есть сферы с центрами в начале координат, радиусов at+R и at R соответственно, а носитель волны D(t) представляет собой шаровой слой, заключенный между этими сферами. При этом задний фронт возникает только при t > R=a. Геометрическая картина распространения волны в этом случае представлена на рис. 3.4,а, где в моменты t0 = 0, t1 = R=a и t2 = 2R=a изображен в виде затемненной области носитель D(t) волны u, а в момент t = t2, кроме того, изображены

еепередний и задний фронты S00 и S0, а также множества D00 и D0. Принцип Гюйгенса впервые был сформулирован им в 1678 г., а далее был

развит французким инженером О. Френелем (A.Fresnel, 1788-1827) в 1818г. при исследовании проблем дифракции волн. Строгая математическая формулировка принципа Гюйгенса впервые была дана Г. Гельмгольцем в 1859 г. для стационарного и Г. Кирхгофом в 1882 г. для нестационарного случаев. Позже в работах Ж. Адамара было установлено, что принцип Гюйгенса справедлив в пространстве Rn при любом нечетном n 3 и не справедлив при n = 1 и любом четном n (см. об этом ниже).

3.3.4. Физическая интерпретация решения задачи Коши в R2.

Рассмотрим теперь задачу (3.21), (3.22). Ее можно интерпретировать двояко: как задачу о распространении волн в пространстве R3 при условии, что начальные данные не зависят от z, либо как задачу о распространении волны на плоскости z = 0.

Как и выше, считаем, что функции '0 и '1 равны нулю вне некоторой ограниченной области плоскости, ограниченной контуром , так что выполняется условие (3.26). Это означает, что начальное возмущение сосредоточено: при первой интерпретации – внутри бесконечного цилиндра с направляющей и образующими, параллельными оси z; при второй интерпретации – внутри плоской области . Ниже мы будем придерживаться

199

второй интерпретации.

Пусть точка x = (x; y) лежит вне области . Как и выше, обозначим через d1 и d2 соответственно наименьшее и наибольшее расстояния от x до точек границы . Введем моменты t1 и t2 по формуле (3.28), но, в отличие от предыдущего, рассмотрим только два случая.

1.0 t < t1. В этом случае круг at(x) радиуса at с центром в точке x находится вне . Следовательно, '0 = '1 0 в at(x) и из формулы (3.25) следует, что u(x; t) 0. Физически это означает, что до точки x возмущение еще не дошло.

2.t1 t < 1. В момент t1 = d1=a в точку x придет передний фронт вол-

ны. Начиная с этого момента круг at(x) и область будут иметь общую часть, где '20+'21 60, причем при t t2 = d2=a эта общая часть просто совпадает с . Поэтому из (3.25) следует, что u(x; t) 60 при t1 < t < 1. Это означает, что возмущение, попав в момент t1 = d=a в точку x, никогда не

прекратится, как это было в случае трехмерного пространства. Хотя вви-

p

ду наличия в (3.25) выражения (at)2 (x )2 (y )2 в знаменателе решение u будет стремиться к нулю при t ! 1, т. е. будет выполняться условие limt!1 u(x; t) = 0. Таким образом, акустическое возмущение ( ; '0; '1), возникшее в начальный момент времени t = 0 на плоскости, приводит к распространению на плоскости волны, которая в каждый момент времени t имеет четко выраженный передний фронт, представляющий собой некоторую замкнутую кривую – огибающую окружностей @ at(y) радиуса at с центрами в точках y области , но, в отличие от случая трех измерений, не имеет заднего фронта. Другими словами, начальное возмущение ( ; '0; '1), локализованное на плоскости, вызывает в каждой точке x 2 R2 возмущение, которое уже не является локализованным по времени. Это означает, что на плоскости принцип Гюйгенса не выполняется.

Причину этого легко понять, если вспомнить, что рассматриваемая плоская задача (3.21), (3.22) фактически представляет собой трехмерную задачу (3.1), (3.2) при условии, что функции '0 и '1 не зависят от z, для которой носители функций '0 и '1 расположены в цилиндре с направляющей и образующими, параллельными оси z. Поскольку сферическая поверхность Sat(x0) будет пересекать этот цилиндр при всех t > t1, то оба интеграла в исходной трехмерной формуле Кирхгофа (3.19) будут, вообще говоря, отличны от нуля для всех значений t > t1. Отметим также, что при трехмерной интерпретации задачи (3.21), (3.22) передний фронт, т.е. внешняя граница носителя решения, имеет вид цилиндрической поверхности с параллельными оси z образующими. С учетом этого на функцию (3.25), являющуюся решением задачи (3.21), (3.22), часто ссылаются как на цилиндрическую волну (см. об этом подробнее в §3.2).

Пример 2. Пусть область в (3.27) есть круг BR с центром в начале координат радиуса R. Тогда в каждый момент времени t > 0 передний

200