emph_f

При этом от плотности e требуется некоторая регулярность. В частности, она может быть как гладкой финитной в R3 функцией, так и функцией, лишь интегрируемой либо интегрируемой с квадратом в R3. Она может быть также обобщенной функцией, сосредоточенной в некоторых точках, линиях или поверхностях в R3. В последнем случае интеграл в (7.32) заменяется сверткой обобщенной функции e и функции 1=4 jxj, являющейся сингулярным решением оператора Лапласа в R3 (см. об этом подробнее

в[59], [60] и в § 6.1).

2.Предположим теперь, что R3 = 1 [ 2, где 1 – ограниченное открытое множество. Будем считать, что множества 1 и 2 заполнены разными идеальными средами диэлектрического типа с диэлектрическими проница-

емостями "1 = const и "2 = const. Это означает, что выполняются соотношения

Предположим для простоты, что каждое из множеств i, i = 1; 2, является односвязной областью. Отсюда, в частности, следует, что граница разделаs состоит только из одной связной компоненты. Уравнение rot Ei = 0 вi, i = 1; 2 позволяет ввести для каждой области i скалярный потенциал 'i, i = 1; 2, так что выполняются соотношения

(7.35) Подставляя (7.34) в первое уравнение модели (7.27), рассматриваемое в области 1, а затем в 2, приходим с учетом обозначений (7.35) к следующему уравнению с разрывным коэффициентом ":

Для выделения единственного решения к уравнению (7.36) следует добавить условие на бесконечности (7.31), а также соответствующие условия на поверхности раздела s. Они вытекают из общих условий сопряжения (7.20) которые для рассматриваемой модели электростатики сводятся к условиям:

Для наших целей достаточно воспользоваться первым соотношением в (7.37), означающим непрерывность тангенциальной компоненты вектора E при переходе через s. Записав с учетом (7.34) указанное соотношение в виде

71

приходим к искомой задаче для определения потенциала ' электростатического поля в R3. Она состоит из соотношений (7.36), (7.38) и (7.31). О методах ее решения можно прочитать в [59], [60]. Мы лишь отметим, что после нахождения ' векторы Ei и Di определяются по 'i соотношениями (7.34). Наконец, подставляя D2 и D1 во второе уравнение (7.37), находим поверхностную плотность s, являющуюся для рассматриваемой модели искомой величиной.

Рассмотрим теперь в рамках случая 2 ситуацию, когда область 2 заполнена идеальным проводником и следовательно, в 2 выполняются условия E2 = 0, D2 = 0. В этом случае задача нахождения электростатического поля в области 1 сводится к нахождению в области решения ' уравнения Пуассона (7.30), удовлетворяющего краевому условию

Оно вытекает из (7.38), если там положить '2 = 0, '1 = ', = s. Условие (7.39) означает, что тангенциальные производные от потенциала ' исчезают на границе области . Отсюда следует, что потенциал ' должен принимать постоянное значение на . Если граница является связной, то тогда эту константу можно выбрать равной нулю, полагая

Тем самым для нахождения потенциала ' мы получили однородную задачу Дирихле (7.30), (7.40), имеющую при определенных условиях на исходные данные (пару и e) единственное решение. Определив потенциал ', далее однозначно определяем векторы E и D в из (7.29), а также поверхностную плотность зарядов s из соотношения D n = s на , вытекающего из (7.37).

Задача нахождения в области вектора E из условий

носит название электрической краевой задачи, поскольку именно к ней сводится задача определения вектора напряженности электрического поля E в области , заполненной идеальной диэлектрической средой, граничащей

сидеальным проводником. Из свойств решения задачи (7.30), (7.40) вытекает существование и единственность решения задачи (7.41), но в предположении, что – односвязная область со связной границей .

Более сложным является рассмотрение случая, когда граница состоит

из нескольких, например, p + 1 связных компонент 0; 1; :::; p, где 0 – внешняя компонента границы (см. рис. 7.1,а, где изображена область

сграницей , состоящей из трех компонент 0, 1 и 2). Рассмотрим для

72

этого случая неоднородную краевую задачу

где и g – некоторые функции. Указанная задача является обобщением задачи (7.41) и переходит в нее при F = 0, = e="0", g = 0. С учетом этого будем ссылаться на (7.42) как на неоднородную краевую задачу электрического типа.

Ограничимся здесь исследованием единственности решения задачи (7.42). Для этого заметим, что разность E = E2 E1 двух возможных решений задачи (7.42) является решением следующей однородной краевой задачи:

Поставим своей целью описать класс всех возможных решений задачи (7.43). С этой целью рассмотрим p задач Дирихле:

Пусть 'i – решение задачи (7.44) (существование и единственность его доказывается в теории потенциала, см. гл. 7). Введем векторы

Ясно, что векторы Ei удовлетворяют первым двум уравнениям в (7.43), ибо в силу (3.18) rot grad 'i = 0, div grad 'i 'i = 0. Кроме того, так как функция 'i принимает постоянное значение на каждой связной компоненте j границы , то вектор grad 'i направлен по нормали всюду на . Это означает, что grad 'i n = 0 на . Тем самым доказано, что каждый вектор Ei является решением однородной задачи (7.43). Поскольку к тому же они линейно независимы (это легко проверяется методом от противного), то тем самым мы построили p линейно независимых решений однородной задачи (7.43). Можно показать, что они исчерпывают совокупность всех решений

Γ0

Γ1 Γ2

Ω

Рис. 7.1

73

однородной задачи (7.43) (см., например, [60]). Указанные векторы Ei называются гармоническими векторами электрического типа. В результате мы доказали, что решение E неоднородной задачи (7.42) определяется с точностью до p гармонических векторов Ei электрического типа. Подчеркнем, что число p всех векторов Ei совпадает с числом внутренних связных компонент границы , т. е. определяется топологией границы . Его называют вторым числом Бетти. В частном случае, когда p = 0, т. е. состоит только из одной связной компоненты, решение E задачи (7.42) единственно. Более подробную информацию о свойствах гармонических векторов Ei, а также о необходимых и достаточных условиях существования решения краевой задачи (7.42) можно найти в [5, гл. 6], [12, гл. 1] и [60, гл. 9].

1.7.6. Модель магнитостатики. Магнитная краевая задача. Рассмотрим в рамках модели статического электромагнитного поля случай, когда

так что электрическое поле отсутствует, а статическая модель принимет вид уравнений (7.28), называемых уравнениями или моделью магнитостатики. Для выделения единственного решения уравнений (7.28) необходимо задать дополнительные условия, вид которых зависит от рассматриваемой задачи. Как в п. 1.7.5, мы рассмотрим два возможных случая.

1. Предположим, что все пространство заполнено идеальной магнитной средой. Это означает, что в R3 выполняется соотношение B = 0 H с= const. С учетом этого соотношения уравнения (7.28) принимают вид

Задача (7.47) представляет собой частный случай классической задачи

заключающейся в нахождении векторного поля в пространстве R3 по заданным ротору и дивергенции этого поля. Хорошо известно, что для выделения единственного решения этой задачи достаточно задать соответствующее условие на бесконечности. О методах решения такой задачи во всем пространстве R3 можно прочитать, например, в [59, гл. 1] и [60, гл. 9].

2.Рассмотрим более подробно второй случай, когда R3 = 1 [ 2, где 1

–ограниченное открытое множество, причем 1 заполнено идеальной магнитной средой, а второе множество 2 является идеальным проводником. Эти предположения означают, что электрическое поле в 2 отсутствует, а в области = 1 оно определяется вектором H, удовлетворяющим уравнениям магнитостатики (7.47). К уравнениям (7.47) следует добавить условия на границе области , которые с учетом сделанных предположений и (7.21) сводятся к двум условиям

74

В рассматриваемой постановке граничную функцию Js, имеющую смысл плотности поверхностных токов на , следует считать неизвестной функцией. В противном случае уравнения (7.47) пришлось бы рассматривать при двух граничных условиях (7.49), что заведомо переопределяет рассматриваемую задачу, делая ее некорректной. Присоединив к уравнениям (7.47) второе граничное условие (7.49), приходим к задаче нахождения вектора H из условий

Указанная задача, называемая магнитной краевой задачей, является частным случаем общей неоднородной краевой задачи

Здесь и g – некоторые заданные функции. Задачу (7.51) принято называть

неоднородной краевой задачей магнитного типа.

Как и выше, ограничимся исследованием единственности решения задачи (7.51). Для этого заметим, что разность H = H2 H1 двух возможных решений задачи (7.51) является решением следующей краевой задачи:

Мы рассмотрим случай, когда область имеет вид тора (см. рис. 7.1,б). Как известно, тор не является односвязной областью. Однако его можно превратить в односвязную область, проведя в нем разрез вдоль поперечного сечения, имеющий вид круга на рис. 7.1,б. Обозначим через = n соответствующую односвязную область и рассмотрим задачу нахождения функции ' из условий

Здесь ['] (либо [@'=@n] ) обозначает скачок функции ' (либо ее нормальной производной @'=@n) при переходе через , а условия (7.54) имеют смысл условий сопряжения на . Можно показать (см. [59, гл. 1,§4] и ссылки там), что задача (7.53), (7.54) имеет единственное с точностью до мультипликативной константы решение '. Положим

и докажем, что вектор H является искомым решением задачи (7.52). Действительно, используя (3.18) и (7.53), имеем:

@'

rot H = rot grad ' = 0; div H = ' = 0 в ; H n = @n = 0 на :

75

Отсюда следует, что первые два уравнения в (7.52) выполняются всюду в области , кроме точек выбранного разреза , которые являются внутренними для исходной области . Тем самым остается лишь показать, что уравнения в (7.52) выполняются также и в точках разреза . Это можно сделать, используя условия (7.54) на разрезе, но требует использования дополнительного математического аппарата. Поэтому мы не будем на этом останавливаться, но отметим, что для области типа тора существует лишь единственный (с точностью до мультипликативной константы) вектор H, являющийся решением однородной задачи (7.52). Чтобы получить этот вектор, надо провести в торе разрез , превратив его в односвязную область, найти решение ' задачи (7.53), (7.54) и далее определить искомый вектор с помощью формулы (7.55).

Важно отметить, что аналогичный подход можно использовать и при нахождении всех решений задачи (7.52) в произвольной многосвязной области , т. е. опять нужно провести разрезы i, превращающие в односвязную область . Предположим, что число таких разрезов равно q. Мы отметим, что это число q является инвариантом области , т. е. оно не зависит от вида разрезов, а зависит лишь от топологической структуры области . Указанное число q называется первым числом Бетти. Можно показать, что задача (7.52) имеет ровно q линейно независимых решений Hi, i = 1; 2; :::; q. При этом Hi = grad'i, где 'i является решением задачи вида (7.53), (7.54) при = i. Указанные векторы Hi, i = 1; 2; :::; q, называются гармоническими векторами магнитного типа. Таким образом, решение H неоднородной задачи (7.51) определяется с точностью до q гармонических векторов Hi магнитного типа. В частном случае, когда q = 0, т. е. является односвязной областью, решение H задачи (7.51) единственно. Этот случай детально исследован в [56, с. 408–411], где приведена подробная процедура построения единственного решения задачи (7.51) для односвязной области. Более подробную информацию о свойствах гармонических векторов Hi, а также необходимых и достаточных условиях существования решения краевой задачи (7.51) можно прочитать в [5, гл. 6], [12, гл. 1], [59, гл. 1], [60, гл. 9].

§1.8. Обзор других математических моделей

Вэтом параграфе приведем краткий вывод либо обзор ряда других математических моделей, описывающих некоторые важные физические процессы. Начнем с рассмотрения так называемых сосредоточенных систем, поведение которых зависит лишь от времени t и, следовательно, описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. В качестве сосредоточенных систем рассмотрим материальную точку, колеблющуюся вокруг положения равновесия, и колебательный контур.

76

1.8.1. Модели колебательных процессов в сосредоточенных системах. Пусть материальная точка массы m движется вдоль оси x под действием упругой силы, связанной с точкой покоя x = 0. Как известно, величина возвращающей упругой силы пропорциональна отклонению x и, стало быть, равна – kx, где k = const > 0 – коэффициент упругости. Предположим также, что существует еще сила трения, пропорциональная скорости x точки, направленная в сторону, ей противоположную, и, следовательно, равная rx, где r = const > 0 – коэффициент трения. Пусть, наконец, на точку действует еще внешняя сила, заданная как функция F (t) времени t. Тогда по закону Ньютона произведение mx• должно быть равно упругой силе, сложенной с силой трения и внешней силой. Это выражается следующим уравнением:

которое является искомой моделью колебательного движения точки. Движение точки называется свободным, если F =0, и вынужденным, если F 6=0.

из школьного курса физики, Q = CE, а сила тока I равна скорости изменения заряда на обкладках конденсатора, взятой с противоположным знаком, т. е. I = Q_ = CE_ . Согласно закону Ома, произведение RI равно суммарной э.д.с., т. е. равно в данном случае напряжению E минус э.д.с. самоиндукции LI_ (она действует в противоположном направлении) плюс внешняя э.д.с. '(t). Математическое выражение этого закона имеет

В результате для напряжения E в контуре мы получили уравнение того же типа, что и (8.1). Роль массы здесь играет индуктивность, роль трения

77

– сопротивление, роль упругости – величина, обратная емкости, наконец, внешней силе соответствует внешняя э.д.с. (умноженная на константу).

1.8.2. Модели процессов колебания струны, стержня и мембраны. Струны, стержни и мембраны относятся к распределенным телам. Поэтому, в отличие от п. 1.8.1, происходящие в них колебательные процессы будут зависеть как от времени t, так и от одной или двух пространственных переменных. Строгий вывод моделей, описывающих поперечные колебания струны и мембраны либо продольные колебания стержня, можно найти во многих учебниках (см., например, [6,11,21,49,56]). Поэтому ограничимся здесь в основном обсуждением соответствующих моделей. Начнем рассмотрение со струны, закрепленной на концах. Если ее вывести из положения равновесия, то она начнет совершать колебания, издавая при этом звук. Определим физическую модель струны так: струна есть упругая, невесомая и абсолютно гибкая нить. Указанный выбор физической модели струны позволяет пренебречь толщиной струны, силой тяжести, а также силами, возникающими при ее изгибании. В качестве основной силы, действующей на струну, выберем силу натяжения, которая подчиняется закону Гука: натяжение струны пропорционально ее удлинению.

Предположим, что струна совершает поперечные колебания около своего положения равновесия, совпадающего с осью x. Обозначив величину отклонения струны от положения равновесия в точке x в момент t через u(x; t), рассмотрим малые колебания струны, т. е. такие, в которых можно пренебречь величиной (ux)2 по сравнению с единицей. Можно показать, что при выполнении указанных предположений процесс колебания струны описывается уравнением

Здесь T0 – постоянное натяжение, – линейная плотность струны, F – плотность внешних сил, действующая на единицу длины. В случае, когда= 0 = const, уравнение (8.3) принимает вид одномерного волнового

где a2 = T0= 0, f = F= 0.

Для выделения единственного решения уравнения (8.3) либо (8.4) необ-

@u

и граничные условия на концах струны. В случае струны, закрепленной на

78

концах, они имеют вид

Если один из концов струны, например левый, закреплен, а правый – свободен, то вместо (8.6) используются условия

Уравнение (8.3) либо (8.4) вместе с начальными условиями (8.5) и соответствующими краевыми условиями представляет собой начально-краевую задачу, которую следует решить для нахождения закона колебания струны.

Рассмотрим теперь стержень, расположенный вдоль оси x. Введем аналогично [6, с. 21] следующие обозначения: S(x) – площадь сечения стержня плоскостью, перпендикулярной к оси x, проведенной через точку x, k(x) и(x) – модуль Юнга и плотность стержня в сечении с абсциссой x; u(x; t) – величина смещения вдоль стержня сечения с абсциссой x в момент t. Мы предполагаем, конечно, что величина смещения всех точек фиксированного сечения одинакова. Ясно, что продольные колебания полностью описываются функцией u. Будем рассматривать малые продольные колебания, т. е. такие колебания, в которых натяжения, возникающие в процессе колебаний, подчиняются закону Гука.

При указанных предположениях процесс продольных колебаний в стержне описывается следующим уравнением:

где F – объемная плотность внешних сил. В случае, когда S = S0 = const,= 0 = const и k = k0 = const, уравнение (8.8) переходит в одномерное волновое уравнение (8.4), где a2 = k0= 0, f = F= 0S0. Присоединив к (8.8) либо (8.4) начальные условия вида (8.5) и краевые условия вида (8.6), означающие, что стержень закреплен на обоих концах [21, с. 66], либо условия (8.7), если левый конец стержня закреплен, а правый конец стержня свободен, получим начально-краевую задачу, которую необходимо решить для нахождения закона продольных колебаний рассматриваемого стержня.

Рассмотрим далее мембрану, под которой будем понимать натянутую плоскую пленку, не сопротивляющуюся изгибу и сдвигу, но оказывающую сопротивление растяжению. Предположим, что мембрана совершает поперечные колебания, в которых смещение перпендикулярно плоскости x; y, где находится мембрана в состоянии равновесия. Обозначив через u(x; y; t) величину смещения точки (x; y) мембраны в момент t, будем рассматривать малые колебания, в которых можно пренебречь величинами u2x и u2y по сравнению с единицей.

79

Можно показать (см., например, [6, с. 26]), что при выполнении указанных предположений процесс колебания мембраны описывается уравнением

Здесь T0 – постоянное натяжение, – поверхностная плотность мембраны, F – плотность внешних сил, действующих на единицу площади. В частном случае, когда = 0 =const, уравнение (8.9) принимает вид двумерного волнового уравнения

где a2 = T0= 0, f = F= 0. Присоединив к (8.9) или (8.10) начальные условия и соответствующее краевое условие на границе , получим начальнокраевую задачу, которую необходимо решить для нахождения решения u.

1.8.3. Модели электрических колебаний в проводах. Из физики известно, что процесс прохождения электрического тока в проводе сопровождается появлением в его окрестности электромагнитного поля. Оно вызывает изменение как силы тока, так и напряжения. В результате в проводе возникает определенный колебательный процесс. Нашей целью является построение математической модели, описывающей этот процесс.

Проведем ось Ox вдоль оси провода, а начало координат поместим в один из его концов, длину провода обозначим через l. Силу тока I и напряжение v в каждой точке провода будем считать функциями абсциссы x и времени t. В силу законов, управляющих поведением электромагнитного поля, величины I и v связаны между собой некоторыми дифференциальными уравнениями с частными производными. При выводе этих уравнений будем предполагать, как в [21, с. 89], что емкость, активное сопротивление, самоиндукция и утечка распределены вдоль провода непрерывно и равномерно и определяются соответственно коэффициентами C; R; L и G, рассчитанными на единицу длины провода.

Рассмотрим часть провода, заключенную между двумя сечениями x = x1 и x = x2. Применяя закон Ома к этой части провода, будем иметь:

В словесной форме закон Ома гласит: произведение сопротивления на величину тока, протекающего по участку (x1; x2) провода в момент t, равно сумме падения напряжения на участке (x1; x2) в момент t и э.д.с. самоиндукции участка (x1; x2) в момент t (сравните с законом Ома для сосредоточенной системы – колебательного контура, приведенным в п. 1.8.1).

80