emph_f

. Отсюда следует, что

Проекция на ось x вектора равна нулю, так как при любом лежит в плоскости yz. С учетом (5.37) силу Кориолиса fc можно записать в виде

Добавление в правую часть (5.14) слагаемого fc приводит к следующему уравнению движения, учитывающему вращение Земли:

Уравнение (5.39), где вектор f в правой части описывает остальные силы, действующие в океане, является основным уравнением динамики океана.

При изучении динамических процессов в океане часто предполагается, что вертикальные перемещения жидкости малы по сравнению с горизонтальными, так что jwj << juj и jwj << jvj. Кроме того, вертикальная (z) компонента силы Кориолиса много меньше силы тяжести, и ее можно не учитывать. С учетом этого выражение (5.38) можно приближенно переписать в виде

51

§1.6. Математическая модель распространения звука

вжидкости

Вэтом параграфе мы выведем математическую модель, описывающую распространение в жидкости звуковых волн, т. е. распространение в жидкости гидродинамических возмущений малой амплитуды. Физически звуковая волна представляет собой процесс попеременного сжатия или разряжения среды, который распространяется с так называемой скоростью звука во всех возможных направлениях от источника звука. Строгое математическое определение звуковой волны будет дано в § 3.3.

1.6.1. Модель распространения звука в однородной среде. Пусть

– область пространства R3 с границей , занятая жидкостью. При рассмотрении звуковых процессов в жидкости либо в газе во многих случаях можно пренебречь эффектами вязкости, теплопроводности и солености либо учесть их действие эмпирически в выражениях для скорости звука. Исходя из этого выберем в качестве основы для вывода уравнений акустики следующую гидродинамическую модель (модель M1 из § 1.5):

Здесь записаны соответственно уравнения неразрывности, сохранения импульса и состояния, где u – скорость, p – давление, – плотность, f – массовая плотность внешних сил, P ( ) – заданная функция плотности .

Рассмотрим сначала случай, когда f = 0 и жидкость находится в покое: u = 0. Нетрудно проверить, что в этом случае параметры и p жидкости постоянны. Действительно, обозначив эти величины в состоянии покоя нулевым индексом внизу, имеем из (6.1)–(6.3), что

Рассмотрим далее движение жидкости, возникающее при малом возмущении указанного состояния равновесия. С этой целью представим гидродинамические параметры жидкости в виде

52

причем величины u0, p0 и 0 будем считать малыми по модулю вместе с их производными по сравнению с p0 и 0. Подставляя (6.5) в уравнения (6.1) и (6.2), будем иметь с учетом равенств @ 0=@t = 0, rp0 = 0, что

@ 0 + u0 r 0 + 0div u0 + 0div u0 = 0; @t

0 @@tu0 + 0 @@tu0 + 0(u0 r)u0 + 0(u0 r)u0 = rp0:

Пренебрегая в этих соотношениях величинами второго и третьего порядка малости, приходим к уравнениям

В силу уравнения состояния (6.3) величины 0 и p0 должны быть связаны друг с другом. Чтобы получить указанную связь, разложим функцию P ( ) в ряд Тейлора в окрестности 0 с точностью до членов второго порядка малости. Учитывая в силу (6.4), что P ( 0) = p0, будем иметь

Величина dP=d всегда существенно положительна, так как плотность растет с увеличением давления и наоборот. В силу этого можно положить

Подставляя (6.9) в (6.6) и опуская (для простоты обозначений) в дальнейшем штрихи над u0; p0 и 0, приходим к искомой системе уравнений:

которая и описывает распространение малых гидродинамических возмущений, т.е. звуковых волн, в жидкости.

Рассмотрим теперь случай, когда в среде присутствуют внешние силы с плотностью "f, где " – малый параметр, а f имеет физический смысл массовой плотности источников гидродинамических возмущений в среде. В этом

случае, следуя теории возмущений, представим гидродинамические параметры u; p и в среде в виде u = "u0, p = p0 +"p0, = 0 +" 0, где величины

53

u0; p0 и 0 имеют тот же смысл, что и в (6.5). Подставляя эти соотношения в (6.1)–(6.3) и заменив плотность f на "f, приходим после отбрасывания слагаемых порядков O("2) и O("3) к системе уравнений, которая получается из (6.9)–(6.11) заменой уравнения (6.10) уравнением

(Мы опять опускаем штрихи над u0; p0 и 0). Подробный вывод уравнения (6.12) можно найти, например, в [3, с.21]

Система (6.11), (6.12) состоит из четырех скалярных уравнений для четырех скалярных функций: трех компонент u; v; w вектора u и функции p, и получается путем линеаризации нелинейной системы уравнений гидродинамики (6.1)–(6.3). Линеаризация возможна, поскольку мы рассматриваем распространение малых возмущений гидродинамических параметров в жидкости. Указанную систему (6.11), (6.12) называют математической моделью распространения звука в жидкости или просто системой уравнений линейной акустики, а величины u = (u; v; w); p и = p=c2, входящие в модель (6.11), (6.12), носят названия соответственно вектора колебательной скорости частиц, звукового давления и звуковой плотности.

1.6.2. Волновое уравнение для звукового давления. Постановка начальных и граничных условий. Следует отметить, что система уравнений (6.11), (6.12) неудобна для проведения математического анализа, поскольку она содержит четыре скалярных уравнения для четырех неизвестных функций, связанных друг с другом через коэффициенты. В математическом плане удобнее работать с одним уравнением, содержащим одну неизвестную функцию, например, звуковое давление p. Чтобы получить соответствующее уравнение, применим к уравнению (6.12) операцию c2div, а к (6.11) – операцию @=@t (в предположении достаточной гладкости функций u и p) и вычтем друг из друга полученные соотношения. Используя (3.18), получим уравнение

Математическая природа уравнения (6.13) такова, что оно описывает процесс распространения волн (см. гл. 3.). Поэтому уравнение (6.13) называют волновым уравнением, однородным при F = 0 и неоднородным в

противном случае. Коэффициент c в нем физически представляет собой скорость распространения волн и, следовательно, имеет в нашем случае смысл скорости звука. В результате мы заключаем, что звуковое поле в

54

однородной среде распространяется в виде волн со скоростью c. В декартовой системе координат x; y; z уравнение (6.13) имеет вид

Таким образом, задача нахождения звукового давления p сводится к нахождению решения уравнения (6.13), рассматриваемого в области пространства R3, где изучается звуковой процесс. Для выделения единственного решения к уравнению (6.13) необходимо добавить начальные и краевые условия. Если = R3, так что процесс распространения звука рассматривается во всем пространстве R3, задаются лишь начальные условия:

Здесь p0 и p1 – некоторые заданные функции точек x 2 , а задача (6.13), (6.16) называется задачей Коши для уравнения (6.13). В случае, когда 6= R3, к начальным условиям следует добавить граничное условие на границеобласти , имеющее в общем случае вид

где a; b и g – некоторые заданные функции точек границы и времени t. В соответствии с терминологией, введенной в § 1.3, задача (6.13), (6.16), (6.17) называется первой начально-краевой задачей, или задачей Дирихле, при a = 1, b = 0, второй начально-краевой задачей, или задачей Неймана, при a = 0, b = 1, третьей начально-краевой задачей при b = 1, a 6 0 и смешанной начально-краевой задачей в остальных случаях. Таким образом, изучение процесса распространения звуковых волн методом математического моделирования сводится к нахождению решений начально-краевой задачи (6.13), (6.16), (6.17) для конкретных функций p0, p1, a, b и g, физическому анализу полученных решений и применению полученных результатов для решения конкретных прикладных задач. Более подробно об этом

можно прочитать, например, в [3].

Замечание 6.1. В гл. 2 будет показано, что волновое уравнение (6.13) является уравнением гиперболического типа. Гиперболическая начальнокраевая задача (6.13), (6.16), (6.17) подробно изучается в общем курсе дифференциальных уравнений в частных производных, где доказывается ее корректность при некоторых естественных условиях на исходные данные (см., например, [11, 34, 35]). В настоящей книге задача (6.13), (6.16), (6.17) будет изучаться в некоторых частных случаях: в случае, когда = Rn, n = 1; 2; 3 (см. гл. 3), либо в случае, когда имеет вид некоторой канонической области типа отрезка на вещественной оси R, прямоугольника

55

либо круга в R2 и шара в R3, а решение может быть представлено в виде бесконечного ряда Фурье (см. гл. 4).

Из постановки задачи (6.13), (6.16), (6.17) вытекает, что существует три различных источника звуковых волн: объемные с плотностью F , поверхностные с (поверхностной) плотностью g и начальные, описываемые функциями p0 и p1. Если, в частности, F = 0, g = 0, p0 = 0, p1 = 0, то единственным решением задачи (6.13), (6.16), (6.17) в силу ее линейности и корректности является функция p = 0. Таким образом, в отсутствие источников волновое поле отсутствует, что физически совершенно естественно.

1.6.3. Потенциал звукового поля. Уравнения, аналогичные волновому уравнению (6.13), можно получить и для других акустических величин. Так, для плотности указанное уравнение получается в силу соотношения p = c2 делением уравнения (6.13) на c2 и имеет вид

Чтобы получить соответствующее уравнение для u, применим к уравнению (6.11) операцию (1= 0)grad, к уравнению (6.12) – операцию (1= 0)@=@t и вычтем друг из друга полученные выражения. Используя известное тождество векторного анализа (см. прил. 2)

то уравнение (6.20) принимает вид векторного волнового уравнения

Укажем достаточные условия, при которых выполняется условие (6.21). С этой целью применим оператор (1= 0)rot к (6.12) и проинтегрируем полученное выражение по t. Поскольку в силу (3.18) rot grad p = 0, то будем иметь

56

Из равенства (6.23) показывает, что достаточные условия, при которых выполняется условие (6.21), имеют вид

(i) rot u(x; 0) 0 в , (ii) rot f 0 в (0; T ).

Следует отметить, что уравнение (6.22) используется очень редко, да и в этом нет необходимости, поскольку обычно колебательную скорость u можно выразить через ее скалярный потенциал. Действительно, предположим в дополнение к (i), (ii), что выполняется условие

(iii) – односвязная область.

Условие (iii) заведомо выполняется, если = R3. Как уже указывалось в п. 1.5.5, при выполнении (iii) условие (6.21) эквивалентно условию потенциальности поля u. Это означает существование такой функции ', называемой акустическим потенциалом поля u, что

При этом ' можно ввести по формуле [19, с. 196]:

Z

'(x; t) = u tds: (6.25)

L

Здесь L – произвольная кусочно-гладкая кривая, соединяющая фиксированную точку x0 с переменной точкой x области , t – единичный вектор касательной к кривой L. Ясно в силу формулы (6.24), что потенциал ' определяется с точностью до произвольной функции от t.

Важно отметить, что знание акустического потенциала ' позволяет определить не только скорость u по формуле (6.24), но и звуковое давление p. Действительно, в силу условий (i)–(iii) существуют такие функции :! R и : (0; T ) ! R, что

(6.27) Из (6.24), (6.27) вытекает, что искомый потенциал ' определяется (с точностью до произвольной функции от t) формулой

57

Дифференцируя (6.28) по t, приходим к искомой формуле

позволяющей определить давление p по потенциалу '.

Используя формулы (6.29) и (6.24), нетрудно вывести дифференциальное уравнение для потенциала '. Действительно, дифференцируя обе части равенства (6.29) по t и применяя операцию div к (6.24), имеем:

Подставляя (6.30) в уравнение (6.11), приходим после деления на 0 к искомому волновому уравнению для потенциала ':

Решив уравнение (6.31) при соответствующих начальных и краевых условиях, далее по формулам (6.24), (6.29) и (6.9) можно определить все акустические величины: u; p и . Таким образом, знание потенциала ' позволяет определить все характеристики звукового поля. При этом для нахождения самого потенциала ' достаточно решить начально-краевую задачу для скалярного уравнения (6.31). В этом заключается смысл введения потенциала.

Отметим, что в приложениях часто встречаются звуковые поля, обладающие некоторой симметрией, например, не зависящие от одной или двух координат. Для таких полей волновое уравнение (6.13) принимает более простой вид. Так, в случае, когда все характеристики звукового поля зависят только от координат x и y, уравнение (6.13) принимает вид

Уравнение (6.23), называемое двумерным волновым уравнением, описывает распространение двумерных звуковых волн. Оно также описывает другие двумерные волновые процессы, например, процесс колебания плоской мембраны около ее положения равновесия (см. § 1.8).

Точно так же если характеристики звукового поля зависят только от одной декартовой координаты x, то (6.13) принимает вид

Уравнение (6.33), называемое одномерным волновым уравнением, описывает процесс распространения одномерных звуковых волн, и в частности

58

звуковых волн с так называемым плоским фронтом. Оно также описывает и другие одномерные волновые процессы, в частности, процесс колебания струны около положения своего равновесия (см. § 1.8).

1.6.4. Гармонические звуковые волны. Уравнение Гельмгольца. Важным классом решений уравнений (6.11), (6.12) являются гармонические звуковые волны, т. е. волны с гармонической зависимостью от времени. Для таких волн основные характеристики звукового поля определяются формулами

p

Здесь i = + 1 – мнимая единица, ! – круговая частота рассматриваемого гармонического процесса, F(x), v(x) и P (x) – комплексные (в общем случае) амплитуды векторных полей f(x; t), u(x; t) и скалярного поля p(x; t). Как обычно, при рассмотрении гармонических колебаний физический смысл следует придавать вещественным частям выражений в (6.34). Подставляя (6.34) в (6.11), (6.12), приходим к следующим соотношениям для комплексных амплитуд v и P :

Уравнения (6.35), (6.36) представляют собой математическую модель гармонического звукового процесса. Обычным образом из (6.35), (6.36) можно вывести одно скалярное уравнение для давления P . Для этого достаточно применить к (6.36) операцию ( c2 0=i!)div и вычесть полученное выражение из (6.35). В результате приходим к следующему уравнению:

Уравнение (6.37) называется уравнением Гельмгольца в честь известного немецкого ученого и естествоиспытателя H.L.F. Helmholtz (1821–1894).

Таким образом, задача нахождения гармонического звукового поля сводится к нахождению решения уравнения Гельмгольца (6.37) в рассматриваемой области . Для выделения единственного решения уравнения Гельмгольца к нему следует добавить граничное условие на границе . Оно по-

лучается из исходного граничного условия (6.17) для p, если там положить a(x; t) = (x)e i!t, b(x; t) = (x)e i!t, g(x; t) = (x)e i!t, и имеет вид

59

Здесь , и – соответствующие амплитуды функций a, b и g, заданных на . Задача (6.37), (6.39) носит называние задачи излучения.

Приведенная здесь постановка задачи излучения относится к ограниченной области . Для неограниченной области постановка задачи излучения отличается тем, что к краевым условиям (6.39) необходимо добавить условия, характеризующие поведение давления P на бесконечности. В случае, когда является внешностью компакта в R3, роль этих условий играют так называемые условия излучения Зоммерфельда, названные по имени известного немецкого физика и математика A. Sommerfeld (1868–1951). Они имеют вид [11, с. 439], [3, c. 25]:

В том модельном случае, когда = R3, так что звуковое поле рассматривается во всем пространстве R3, условия Зоммерфельда (6.40) выделяют единственное решение уравнения Гельмгольца, причем по своему физическому смыслу оно описывает волну, уходящую в бесконечность. Аналогичный результат справедлив и в случае, когда является внешностью компакта, при условии, что на границе = @ задано граничное условие Дирихле или Неймана. Более подробно об этом можно прочитать в [3, гл. 1], [11, §30] и [48, гл. 2], а также в гл. 8.

Отметим, что при изучении звуковых процессов в океане последний обычно моделируют областью типа трехмерного слоя, ограниченного по вертикали и неограниченного по горизонтали. Для таких областей условия на бесконечности, выделяю-

щие единственное решение соответствую- /home/users/ULIANA/61-eps-converted щей краевой задачи для уравнения Гельм-

гольца (6.37), отличаются от условий (6.40). Формулировку некоторых таких условий можно найти в [3] и цитируемых там ссылках.

Наряду с задачей излучения звука важную роль играет задача дифрак-

Рис. 6.1 ции звука, которую математически можно сформулировать следующим об-

разом. На некоторое тело (препятствие), ограниченное поверхностью (см. рис. 6.1), падает волна, излучаемая, например, объемными источниками и описываемая звуковым давлением P1. Падение волны на тело сопровождается образованием новой волны Ps, распространяющейся от тела обратно в среду, из которой пришла падающая волна. Указанная волна Ps называется отраженной волной, а само явление образования отраженной волны

– отражением звука. Требуется определить Ps таким образом, чтобы пол-

60