emph_f

ное давление P = P1 +Ps удовлетворяло уравнению Гельмгольца (6.37) вне, однородному граничному условию (6.39) (при = 0) при определенном выборе функций и , описывающих акустические свойства границы препятствия, и условиям излучения (6.40). В том модельном случае, когда на падает волна, идущая из бесконечности, условиям излучения должна удовлетворять только отраженная волна Ps.

Термин “отражение” звука часто используется в узком смысле в тех случаях, когда распространение волны удовлетворяет законам так называемой геометрической акустики. Если же указанные законы неприменимы (например, размеры тела малы по сравнению с длиной волны звука либо излучение происходит на низких частотах), то вместо термина “отражение” часто употребляют термины “дифракция” или “рассеяние” звука, а на сформулированную выше задачу нахождения волны Ps ссылаются как на задачу дифракции или задачу рассеяния звука.

Роль препятствия для звуковых волн может играть и граница s двух различных сред. Падение волны на указанную границу сопровождается (наряду с отражением) явлением образования волны, распространяющейся от границы во вторую среду. Указанная волна называется преломленной волной, а само явление образования преломленной волны – преломлением звука. Физические законы распространения звука налагают определенные условия на поведение звуковых полей вблизи границы s раздела обеих сред. В случае жидких сред они заключаются в непрерывности давлений и нормальных компонент колебательных скоростей частиц при переходе через s. При этом со стороны первой среды должен учитываться вклад падающей и отраженной волн, со стороны второй среды – вклад преломленной волны. Математически указанные условия, называемые условиями сопряжения, можно записать в виде:

Здесь v1 (либо vs) – колебательная скорость частиц в падающей (либо отраженной) волне, P2 и v2 – звуковое давление и колебательная скорость частиц во второй среде. В случае, когда объемные источники отсутствуют, условия (6.41) можно переписать с учетом соотношения (6.36) между колебательной скоростью и звуковым давлением в следующем виде:

Здесь 2 – плотность второй среды. Таким образом, в данном случае задача дифракции заключается в нахождении звуковых давлений Ps и P2, удовлетворяющих соответствующим уравнениям Гельмгольца в своих областях, условиям (6.42) на границе s и условиям излучения на бесконечности (ему должна удовлетворять только функция Ps, если вторая среда занимает ограниченную область ).

61

Размерности основных используемых здесь величин и параметров в системе СИ приведены в таблице 6.1.

Таблица 6.1

§1.7. Математические модели электромагнитного поля

1.7.1.Основные величины и уравнения, описывающие электромагнитные процессы. Как и в §§ 1.4–1.6, будем рассматривать жид-

кую или газообразную среду, занимающую некоторую область трехмерного пространства R3. Не останавливаясь здесь на строгом определении электромагнитного процесса, отметим, что при всем огромном многообразии электромагнитных явлений существует фундаментальное теоретическое понятие, позволяющее говорить об их единой основе. Таким понятием является электромагнитное поле. С математической точки зрения под электромагнитным полем можно понимать набор вектор-функций E

(либо D), H (либо B), J и скалярной функции e, называемых соответственно вектором напряженности (либо индукции) электрического поля, вектором напряженности (либо индукции) магнитного поля, вектором плотности электрического тока и плотностью электрических зарядов в

среде, удовлетворяющих в области определенным дифференциальным и функциональным уравнениям.

Указанные уравнения можно разбить на две группы. Первая группа носит название уравнений Максвелла по имени выдающегося английского физика D. Maxwell (1831–1879), который впервые вывел их в 19-ом веке. Эти уравнения, полученные Максвеллом путем обобщения известных к тому времени законов электричества и магнетизма и устранения имеющихся в них противоречий, в современной записи имеют (в системе СИ) вид:

Уравнение (7.1) является дифференциальным следствием основного закона электростатики – закона Кулона (см. § 1.3) и справедливо не только для

62

статических, но и для нестационарных полей. Уравнение (7.2) является математическим отражением известного физического факта об отсутствии магнитных зарядов как источников магнитного поля. Уравнение (7.3) является следствием закона электромагнитной индукции Фарадея, названного так в честь известного английского физика – первооткрывателя явления электромагнитной индукции M. Faraday (1791–1867). Cогласно этому закону всякое переменное во времени магнитное поле индуцирует связанное с ним электрическое поле (имеющее в отличие от электростатического поля вихревой характер) и выражает количественную характеристику вихря индуцированного поля. Наконец, уравнение (7.4) представляет собой обобщение дифференциальной формы

известного закона Био–Савара, названного так в честь французских физиков J.B. Biot (1774–1862) и F. Savart (1791–1841), открывших его в 1820 г. Он выражает зависимость напряженности магнитного поля от плотности создающего его тока. Уравнение (7.4) отличается от (7.5) дополнительным членом @D=@t, введенным Максвеллом. Указанный член имеет размерность плотности тока и называется плотностью токов смещения. Таким образом, из (7.4) следует, что магнитное поле может создаваться не только электрическим током, но и переменным во времени электрическим полем. В совокупности уравнения (7.3) и (7.4) означают, что нестационарные электрические или магнитные поля не могут существовать в пространстве отдельно, независимо друг от друга, а образуют по сути дела две стороны единого электромагнитного поля.

Важно отметить, что уравнения Максвелла образуют точную универсальную систему дифференциальных уравнений электромагнитного поля, т. е. абсолютно точно описывают электромагнитные процессы в любой среде. Однако система (7.1)–(7.4) не является замкнутой, поскольку число неизвестных функций в ней превосходит число уравнений. Чтобы замкнуть систему (7.1)–(7.4), к ней необходимо присоединить дополнительные уравнения, вид которых уже целиком определяется свойствами среды, в которой рассматривается электромагнитное поле. Указанные уравнения, называемые материальными уравнениями электромагнитного поля, во многих случаях имеют следующий вид (мы запишем их в системе СИ):

Здесь "0 и 0 – электрическая и магнитная постоянные, определяемые (приближенно) формулами:

63

где Ф и Гн – сокращенные обозначения фарады и генри как единиц размерностей, " и – относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, – удельная проводимость среды, Jct – заданная функция, имеющая смысл плотности токов, происходящих от действия сторонних электродвижущих сил. Последнее уравнение в (7.6) является дифференциальной формой закона Ома, связывающего силу тока, протекающего в электрическом проводнике, с падением напряжения на нем. Указанный закон открыл в 1826 г. известный немецкий физик G.S. Ohm (1787–1854). В случае однородной изотропной среды величины ", и являются константами, причем " > 0, > 0, 0. В частности, для вакуума " = 1, = 1,= 0. Если среда неоднородна, то ", и являются скалярными функциями координат точек среды, если к тому же среда анизотропна, то эти функции становятся тензорными. Размерности введенных величин можно найти в табл. 7.1, где А и В обозначают ампер и вольт (размерности силы тока и напряжения).

1.7.2. Векторное волновое уравнение в непроводящей среде. Уравнение диффузии в сильно проводящей среде. Подставим в (7.4) вместо J его выражение из закона Ома в (7.6). Получим

Правая часть в (7.8) представляет по физическому смыслу сумму плотностей токов смещения @D=@t, токов проводимости E и токов сторонних э.д.с. Jct. Применим к уравнению (7.8) оператор rot. Будем иметь

rot rot H = rot@@tD + rot( E) + rotJct:

Предположим, что среда, заполняющая область D, однородна и изотропна, так что " = const, = const, = const. В этом случае последнее уравнение с учетом (7.3) и первых двух уравнений в (7.6) можно записать в виде

64

если воспользоваться векторным тождеством (6.19). Константа a2 в (7.9) определяется формулой

По аналогичной схеме выводится соответствующее уравнение для E, имеющее при e = 0 вид

Характер электромагнитного процесса определяется свойствами среды. Если среда является непроводящей, так что = 0, или обладает очень малой проводимостью , так что в (7.8) можно пренебречь плотностью токов проводимости E по сравнению с плотностью токов смещения @D=@t, то, отбрасывая в (7.9) и (7.11) “малые” слагаемые 0 @D=@t и 0 @E=@t, приходим к уравнениям

Каждое из уравнений (7.12), (7.13) представляет собой векторное волновое уравнение, в котором вектор-функции F1 = a2rot Jct и F2 = a2 0@Jct=@t играют роль объемных источников поля. На основании этого и свойств волнового уравнения (см. § 3.3), приходим к важному выводу, что в непроводящей среде электромагнитное поле распространяется в виде незатухающих волн, скорость a которых определяется формулой (7.10). Указанные волны, естественно, носят название электромагнитных волн, а константа a в (7.10) называется скоростью электромагнитных волн. В частном случае, когда среда является вакуумом, подстановка значений " = 1, = 1 и (7.7) для "0 и 0 в (7.10) приводит к следующей формуле для скорости a0 электромагнитных волн в вакууме:

Для других сред скорость распространения электромагнитных волн отличается от значения a0 в (7.15) множителем (" ) 1=2, который для большинства сред, и в частности для воздуха, близок к 1.

65

Согласно (7.15) скорость a0 фактически совпадает со скоростью света в вакууме. Это не случайно, а является следствием волновой теории света, согласно которой свет распространяется в виде электромагнитных волн определенных частот. Строго говоря, скорость света в вакууме равна согласно последним измерениям 299792458 м/сек, что несколько меньше величины a0 в (7.15). Однако это несовпадение объясняется тем, что при выводе (7.15) мы использовали округленные значения для постоянных "0

и 0 в (7.5).

Отметим, что Максвеллу удалось вывести волновое уравнение для электромагнитного поля только благодаря осенившей его гениальной догадке ввести в закон Био–Савара (7.5) странное и непонятное на первый взгляд слагаемое @D=@t, названное им плотностью токов смещения. В итоге это позволило сделать ему величайшее открытие, доказав, что называется, на кончике пера, факт распространения электромагнитного поля в пространстве в виде электромагнитных волн со скоростью света. До выхода работ Максвелла волновые уравнения вида (7.12), (7.13) в принципе нельзя было получить, поскольку все исследователи использовали вместо (7.4) закон Био–Савара (7.5).

Если же среда, наоборот, обладает большой проводимостью , так что в (7.8) можно пренебречь плотностью токов смещения @D=@t по сравнению с плотностью токов проводимости E, то уравнения (7.9) и (7.11) после

Каждое из уравнений (7.16), (7.17) представляет собой векторное парабо-

~ ~

лическое уравнение диффузии, в котором вектор-функции F1 и F2 играют роль плотностей объемных источников поля. Коэффициент диффузии c для обоих уравнений определяется формулой

На основании этого приходим к выводу о том, что в сильно проводящей среде основным механизмом распространения электромагнитного поля является процесс диффузии. В общем случае, когда токи проводимости и

66

токи смещения сравнимы по порядку, уравнения (7.9) и (7.11) представляют собой уравнения гиперболического типа, описывающие распространение электромагнитного поля в среде в виде затухающих электромагнитных волн с затуханием, вызываемым диссипацией энергии вследствие ненулевой проводимости среды.

1.7.3. Граничные условия и условия сопряжения для электромагнитного поля. Если среда кусочно-однородна, то уравнения (7.9), (7.11) следует использовать в каждом однородном куске среды. На границеs раздела двух сред нужно использовать так называемые условия сопряжения. В общем случае указанные условия имеют вид [38, c. 31], [59, p. 69]:

Здесь индексами 1 и 2 отмечены предельные значения векторов поля при приближении к поверхности раздела, соответственно, со стороны сред 1 и 2, Js и s – поверхностные плотности токов и зарядов на границе раздела, n – единичный вектор нормали, направленный от среды 1 к среде 2. Условия (7.20) легко выводятся с использованием интегральных аналогов уравнений Максвелла.

Втеории электромагнетизма важную роль играет разбиение различных сред на два типа: проводники и диэлектрики. Под проводником принято понимать любую среду (твердую, жидкую, газообразную), в которой существуют заряды, способные перемещаться (на макроскопическом уровне) под действием электрического поля. Омическим проводником называют среду, в которой закон Ома в (7.6) выполняется с константой > 0. Идеальным проводником называют среду с “очень большим” значением коэффициента проводимости ( ! 1). Такая ситуация реализуется, например, для металлов, которые с высокой степенью точности можно считать идеальными проводниками. Внутри идеального проводника электромагнитное поле равно нулю. Мы также отметим, что сверхпроводники по определению относятся к идеальным проводникам.

Идеальным изолятором называется среда, в которой = 0. Среда, в которой отсутствуют свободные электроны, способные нести электрический ток, называется диэлектриком. Среда называется идеальным диэлектри-

ком, если в ней соотношение D = "0"E выполняется с " = const. Если среда является одновременно идеальным изолятором и идеальным диэлектриком, то в ней выполняется условие J = 0. Среда называется идеальной магнитной средой, если в ней соотношение B = 0 H выполняется с

= const. Мы также будем использовать термин “идеальная среда” для среды, которая является одновременно однородной и изотропной.

Вслучае, когда область граничит с идеальным проводником, задача нахождения электромагнитного поля упрощается. Действительно, в этом

67

случае электромагнитное поле вне отсутствует, так что имеем E2 = 0, D2 = 0, H2 = 0, B2 = 0. С учетом этого условия сопряжения (7.20) переходят в следующие граничные условия на границе s для H = H1,

D = D1, E = E1 и B = B1:

Подчеркнем, что функции Js и s в (7.21) в общем случае являются неизвестными, хотя в приложениях часто рассматриваются ситуации, когда одна из этих функций либо обе известны.

Предположим в рассматриваемой ситуации, что область заполнена идеальной средой, так что " = const, = const, причем плотность e известна. Переписав с помощью соотношений (7.6) уравнения Максвелла (7.1)–(7.4) только в переменных E и B и добавив к ним в качестве граничных условий последние два условия в (7.21) и соответствующие начальные условия для E и B, мы получим исходную начально - краевую задачу относительно величин E и B. Решив указанную задачу относительно E и B, далее определяем остальные величины D, H и J из (7.6), а подставляя найденные величины H и D в первые два уравнения в (7.21), мы также определяем и граничные плотности Js и s. При таком подходе основная трудность падает на решение сформулированной выше начально-краевой задачи для пары (E; B). О методах и трудностях исследования этой задачи, а также о достаточных условиях, обеспечивающих единственность решения можно прочитать, например, в [59, гл. 1], [60, гл. 9].

Используя (7.20) и (7.21), нетрудно вывести частные формы граничных условий для электромагнитного поля, например, в случае, когда Js = 0 илиs = 0, и указать их физический смысл. Можно также переформулировать все граничные условия относительно векторов напряженностей либо векторов индукции, но на этих деталях мы не будем здесь останавливаться, отсылая заинтересованного читателя, например, к [38], [59, гл. 1].

Подчеркнем, однако, что поскольку условия (7.20) и (7.21) являются следствиями уравнений Максвелла, то, как и уравнения Максвелла, они имеют универсальный характер, т. е. справедливы для любого электромагнитного поля. При решении конкретных задач излучения и распространения электромагнитных волн наряду с условиями (7.20), (7.21) иногда используют и так называемые независимые граничные условия, которые обычно выражают внешнюю причину существования электромагнитного поля. Так, если на границе области или на некоторой ее части 1 действует стороннее электромагнитное поле, описываемое заданными функциями Ect и Hct, то математическая формализация этого факта приводит к следующему требованию, налагаемому на решения уравнений Максвелла на 1:

68

Уравнения (7.22) при естественном условии совместности с универсальными уравнениями (7.20), (7.21) играют в таком случае роль внешних источников существования электромагнитного поля.

1.7.4. Гармонические электромагнитные поля. Важный частный случай представляют собой гармонические электромагнитные поля. Любую характеристику U такого поля и, в частности, векторы E, H, J и Jct можно представить в виде

~ i!t ~ i!t ~ i!t

U = U(x)e ; E = E(x)e ; H = H(x)e ;

ственно вектора напряженности электрического поля, вектора напряженности магнитного поля, вектора плотности тока и вектора плотности сторонних токов.

Подставляя (7.23) в (7.3) и (7.4) и опуская в дальнейшем знак волны над амплитудами полей, приходим с учетом (7.5) и в предположении, что

Величина " = "+i =!"0 в (7.24) называется комплексной диэлектрической

проницаемостью. Применяя, как и выше, к уравнениям в (7.24) оператор rot, получаем следующие два векторных уравнения второго порядка для

E и H:

Здесь комплексная величина k = ! ""0 0 носит название комплексного волнового числа, а каждое из уравнений (7.25), (7.26) называется векторным волновым уравнением Гельмгольца.

Подставляя далее (7.23) в одно из граничных условий (7.20), (7.21) и сокращая на e i!t (в предположении, что правые части в (7.20), (7.21) также гармонически зависят от времени t), приходим к граничным условиям для векторных амплитуд, которые формально совпадают с соответствующими граничными условиями в (7.20), (7.21). Таким образом, амплитуды векторов напряженностей электромагнитного поля удовлетворяют векторным уравнениям Гельмгольца (7.25), (7.26) и векторным краевым условиям, формально совпадающим с выписанными ранее условиями (7.20), (7.21). Кроме того, параметры " и k, входящие в уравнения (7.24)–(7.26), являются комплексными числами. Последнее объясняется наличием явления диссипации электромагнитной энергии в проводящей среде, возникающей вследствие ее проводимости.

69

1.7.5. Статические электромагнитные поля. Модель электростатики. Электрическая краевая задача. Еще один важный частный случай представляют собой электромагнитные поля, не зависящие от времени и, следовательно, удовлетворяющие в силу (7.1)–(7.4) уравнениям

Если, более того, B = 0, H = 0 и J = 0, т. е. магнитное поле отсутствует, так что уравнения (7.28) автоматически удовлетворяются, то задача нахождения электромагнитного поля сводится к нахождению тройки (E; D; e) либо только пары векторов E и D, если плотность e известна, из соотношений (7.27), называемых уравнениями или моделью электростатики.

Для выделения единственного решения уравнений электростатики необходимо задать дополнительные условия. Роль их могут играть как материальные уравнения, так и краевые условия либо условия сопряжения, а также условия на бесконечности. Рассмотрим ниже два случая, отвечающие использованию тех или иных дополнительных условий.

1. Предположим, что все пространство R3 заполнено идеальной диэлектрической средой. Это означает, что в R3 выполняется соотношение D = "0"E c " =const. Как уже неоднократно указывалось, уравнение rot E = 0 в R3 эквивалентно существованию потенциала ', с которым выполняются соотношения

Подставляя (7.29) в первое уравнение модели (7.27), приходим с учетом (3.18) к уравнению Пуассона для потенциала ', имеющему вид

(Оно, конечно, совпадает с выведенным в § 1.3 уравнением (3.14)). Чтобы выделить единственное решение уравнения (7.30), а следовательно, и рассматриваемой модели электростатики, достаточно в соответствии с замечанием 3.4 присоединить к (7.30) условие на бесконечности

Из результатов § 1.3 и гл. 7 вытекает, что решение ' задачи (7.30), (7.31) существует, единственно и определяется в произвольной точке x 2 R3 с помощью так называемого объемного потенциала:

70