emph_f

называется характеристикой уравнения (2.19), проходящей через точку (x0; t0). Поскольку a = const, то решение последней задачи существует, единственно и описывает прямую x = a(t t0) + x0. Когда точка (x0; t0) пробегает некоторую область, указанные прямые пробегают однопараметрическое семейство прямых x + at = const, изображенных вместе с характеристиками уравнения (2.13) на рис. 2.4,б. Простой анализ показывает, что общее решение уравнения (2.19), частное его решение, удовлетворяющее начальному условию (2.6), и частное его решение, удовлетворяющее граничному условию (2.8), имеют соответственно вид (x + at), '(x + at) и g(t + x=a). При этом решение, например задачи (2.6), (2.19), единственно в полосе [ ; ], образованной всеми характеристиками уравнения (2.19), пересекающими [ ; ].

2.2.2. Начально-краевая задача для одномерного неоднородного уравнения. Рассмотрим в этом пункте неоднородное уравнение пере-

Здесь f - заданная функция. Поставим задачу: найти в полосе [ ; ] решение уравнения (2.20), удовлетворяющее начальному условию (2.6).

В силу линейности уравнения (2.20) для решения задачи (2.20), (2.6) справедлив принцип суперпозиции. Согласно ему, решение задачи Коши

Поскольку решение u1 задачи (2.22) уже построено в п. 2.2.1 и имеет вид (2.17) в полосе [ ; ], то нам остается найти лишь решение задачи (2.23).

111

Для нахождения u2 проделаем следующее построение. Введем в рассмотрение характеристики уравнения (2.20). Как и для однородного уравнения (2.13), под ними будем понимать интегральные кривые задачи Коши (2.14), т. е. в данном случае (при a = const) прямые (2.15). Возьмем произвольную точку (x0; t0) характеристической полосы [ ; ] для уравнения (2.20) и проведем через нее характеристику до пересечения с осью x (см. рис. 2.5,а). Уравнение указанной характеристики имеет вид (2.15). Вдоль каждой такой характеристики решение u2 является сложной функцией параметра t. Обозначим через du2=dt соответствующую производную от u2 по t. Рассуждая, как в начале п. 2.2.1, имеем

Сравнивая это соотношение с (2.20), приходим к выводу, что вдоль каждой характеристики (2.15) уравнение в (2.23) сводится к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению:

для функции u2[x0 +a(t t0); t] как функции одной переменной t. Интегрируя уравнение (2.24) на интервале [0; t0], получаем с учетом однородности начального условия в (2.23), что

(В последнем интеграле мы изменили для последующего удобства переменную интегрирования t на ). Формула (2.25) описывает решение u2 в

112

фиксированной точке (x0; t0). Если теперь (x; t) – переменная точка полосы[ ; ], то, заменяя в (2.25) (x0; t0) на (x; t), приходим к формуле

Z t

u2(x; t) = f[x + a( t); ]d ; (x; t) 2 [ ; ]: (2.26)

0

Из построения вытекает, что функция u2 является искомым решением задачи Коши (2.23). В этом можно убедиться и проверкой. В самом деле, очевидно, что u2(x; 0) = 0. Дифференцируя далее u2 по t, имеем

@u2(x; t) = a Z t fy[x + a( t); )]d + f(x; t); @t 0

где через fy обозначена производная функции f по первому аргументу. Мы предполагаем, конечно, что она существует и непрерывна. Это заведомо имеет место, если функция f задана и непрерывно-дифференцируема в полосе [ ; ]. Аналогично

при условии, что f и ' являются непрерывно-дифференцируемыми функциями. С помощью метода от противного легко показывается, что решение u задачи (2.20), (2.6) единственно в полосе [ ; ]. Изложенный метод решения задачи Коши (2.20), (2.6) носит название метода характеристик.

По аналогичной схеме метод характеристик применяется для решения задачи Коши

отвечающей ситуации, когда данные Коши задаются на отрезке [c; d] оси t. Возьмем произвольную точку (x0; t0) характеристической полосы [c; d] для уравнения (2.20) и проведем через нее характеристику (2.15), являющуюся решением задачи (2.14), до пересечения с осью t в точке t00 = t0 x0=a. Вдоль этой характеристики уравнение (2.20) сводится к обыкновенному

113

дифференциальному уравнению (2.24). Предположим сначала, что в (2.28) g = 0. Интегрируя (2.24) на интервале [t0 x0=a; t0], приходим к равенству

Z t0

u(x0; t0) = f[x0 + a( t0); ]d :

t0 x0=a

Заменяя (x0; t0) на переменную точку (x; t) полосы [c; d], получим

Простой проверкой убеждаемся, что функция (2.29) является решением задачи (2.28) при g = 0, тогда как функция

Z t

u(x; t) = g(t x=a) + f[x + a( t); ]d ; (x; t) 2 [c; d] (2.30)

t x=a

является решением неоднородной задачи (2.28) при условии, конечно, что функции f и g являются непрерывно-дифференцируемыми функциями своих аргументов. Указанное решение единственно в полосе [c; d].

Рассмотрим теперь следующую общую неоднородную задачу для уравнения (2.20) в области Q = (0; l] (0; T ]:

Поскольку дополнительные условия для решения u уравнения (2.31) задаются как при t = 0, так и на конце x = 0 интервала (0; l), то задача (2.31), (2.32) имеет смысл начально-краевой задачи для уравнения (2.31). Для краткости на неё будем ссылаться как на задачу 1. Поставим цель: построить классическое решение u задачи 1. Приведем строгое определение этого понятия, руководствуясь соображениями, изложенными в п. 2.1.5

Определение 2.1. Классическим решением задачи 1 будем называть функцию u 2 C1(Q) \ C0(Q), удовлетворяющую уравнению (2.31) в каждой точке (x; t) 2 Q, начальному условию в (2.32) в каждой точке x 2 [0; l] и граничному условию в (2.32) при каждом значении t 2 [0; T ].

Подчеркнем, что в соответствии с определением 2.1 классическое решение u задачи 1 является непрерывно-дифференцируемой в Q функцией, удовлетворяющей уравнению (2.31) в каждой точке (x; t) 2 Q, в том числе и в точках (l; t) и (x; T ), лежащих на правой и верхней границах Q. Но оно не обязано, вообще говоря, удовлетворять уравнению (2.31) и быть непрерывно-дифференцируемым в точках (x; 0) нижней границы области

114

Q, где задано начальное условие, и в точках (0; t) левой границы, где задано граничное условие в (2.32).

Предположим, что выполняются следующие условия:

Из предыдущего анализа следует, что при выполнении условий (2.33) ui 2 Cm(Qi); i = 1; 2, причем функция u1 удовлетворяет уравнению (2.31)

в каждой точке области Q1 и начальному условию в (2.32), а функция u2

удовлетворяет уравнению (2.31) всюду в Q2 и граничному условию в (2.32). Для построения решения во всей области Q “склеим” функции u1 и u2 на “особой” для задачи 1 характеристике x = at, проходящей через угловую точку (0; 0), полагая

Ясно, что так введенная функция u принадлежит Cm(Q), m 1 тогда и только тогда, когда функции u1 и u2 совпадают на особой характеристике x = at вместе со всеми производными до порядка m включительно. Для этого, в свою очередь, необходимо и достаточно, чтобы исходные данные задачи (2.31), (2.32), т.е. функции f; ' и g, удовлетворяли вместе со своими производными до порядка m включительно определенным условиям согласования в точке (0; 0). Простейшие из них, имеющие вид

служат для обеспечения соответственно непрерывности и непрерывной дифференцируемости функции (2.37) на характеристике x = at, а следовательно, и во всей области Q. Это составляет содержание следующей леммы, доказательство которой предоставляем читателю.

Лемма 2.1. Пусть выполняются условия (2.33) при m = 1 и условия согласования (2.38). Тогда функция u, определяемая формулой (2.31), принадлежит пространству C1(Q).

115

Из леммы 2.1 и свойств функций u1, u2 вытекает, в свою очередь, что функция u удовлетворяет уравнению (2.31) и на характеристике x = at, а следовательно, и всюду в Q. Таким образом, функция u в (2.31) обладает всеми свойствами, входящими в определение классического решения задачи (2.31), (2.32). Более того, u непрерывно дифференцируема и удовлетворяет уравнению (2.31) не только в Q, как это требуется в определении классического решения, но и всюду в Q, т. е., кроме того, и в граничных точках (0; t) и (x; 0) множества Q. Единственность решения легко доказывается методом от противного. Сформулируем полученные результаты в виде теоремы.

Теорема 2.1. Пусть выполняются условия леммы 2.1. Тогда классическое решение u задачи 1 существует, единственно, принадлежит пространству C1(Q) и определяется соотношениями (2.35)–(2.37).

Замечание 2.2. Отметим, что построенное с помощью формул (2.35)– (2.37) решение задачи 1 принадлежит пространству C1(Q), т. е. обладает более гладкими свойствами, чем указано в определении классического решения. Ситуация, когда построенное решение рассматриваемой задачи обладает более гладкими свойствами, чем полагается классическому решению в соответствии с его определением, будет часто встречаться далее при рассмотрении других задач математической физики. Чтобы отличить более гладкое классическое решение от чисто классического решения, на первое будем обычно ссылаться как на регулярное решение.

Из (2.35)–(2.37), в частности, следует, что для решения u задачи 1 справедлива оценка

При f = 0 решение u, кроме того, сохраняется вдоль характеристик и удовлетворяет “чистому” принципу максимума, а именно:

Указанные оценки получены на основе явного представления решения в виде (2.35)–(2.37). Оценки такого рода (полученные с использованием информации о решении) называются апостериорными. Роль этих оценок в

116

общем-то невелика, так как найти явное представление точного решения удаётся в редких случаях. Так, для уравнения

построение аналогичного представления решения становится проблематичным. Важно, однако, отметить, что оценки вида (2.39) можно получать и без использования информации о точном решении u, а с использованием лишь свойств самого дифференциального уравнения, которому удовлетворяет u. Поясним идею такого подхода к получению оценок решения на примере более общего уравнения (2.41). Напомним, что в соответствии с физическим смыслом (см. разд. 1.4) слагаемое u описывает при 0 эффект поглощения переносимой в среде субстанции, вызванного, например, действием химических реакций. Для краткости на задачу (2.41), (2.32) будем ссылаться как на задачу 2.

2.2.3. Метод энергетических неравенств. Введём в рассмотрение пространство функций, определенных и непрерывных на интервале [0; l]. Определив в нем скалярное произведение и норму по формулам

Z l

(u; v) = (u; v)H = u(x)v(x)dx; kuk = kukH = (u; u)1=2; (2.42)

0

получим бесконечномерное евклидово (или предгильбертово) пространство, т. е. неполное по введенной норме функциональное пространство. Обозначим его через H = H[0; l]. Точно так же через G = G[0; T ] обозначим пространство непрерывных на интервале [0; T ] функций с нормой kgkG =

1=2

R0T g2(t)dt . Введем два нормированных пространства U = C[0; T ; H]

и F = L1(0; T ; H), состоящие из функций, зависящих от (x; t) 2 Q, с нормами

Первое из них состоит из функций u : Q ! R, нормы которых в пространстве H, зависящие от t, являются непрерывными функциями от t на интервале [0; T ]. Второе состоит из функций f : Q ! R, нормы которых в H являются интегрируемыми функциями на (0; T ). Выражения в (2.43) удовлетворяют всем трем условиям, входящим в определение нормы (см. п. 2.1.3). Это означает, что формулы в (2.43) действительно определяют нормы в пространствах U и F .

Предполагая, что решение u задачи 2 существует и принадлежит пространству C1(Q), т. е. является регулярным, умножим уравнение (2.41) на

117

u и проинтегрируем на интервале (0; l). Учитывая, что

приходим с учетом граничного условия в (2.32) к соотношению

Предположим сначала, что g(t) = 0, (x; t) 0. Оставляя в левой части (2.44) первое слагаемое и применяя к правой части неравенство Коши, согласно которому j(f; u)j kfkkuk, получим

dtd ku( ; t)k2 2kukdtd kuk 2kfkkuk:

Предполагая, что kuk > 0, cократим обе части на 2kuk и проинтегрируем полученное выражение на интервале (0; t). Учитывая начальное условие в (2.32), получим неравенство

Z t Z T

ku( ; t)k k'kH + kf( ; )kd k'kH + kf( ; )kd 8t 2 [0; T ]:

0 0

При kuk = 0 это неравенство и тем более справедливо. Из него вытекает с учетом обозначений (2.43), что

Пусть теперь f = 0; 0. Интегрируя (2.44) при f = 0 на (0; t), получим

Z t Z t Z t Z l

ku( ; t)k2 = k'k2 + a g2( )d a u2(l; )d 2 u2dxd : (2.46)

0 0 0 0

Поскольку последние два слагаемых в правой части (2.46) неположительны, то, отбрасывая их, приходим к неравенству

118

Из (2.45) и (2.48) вытекает в силу линейности задачи 2 неравенство p

Оно обобщает (2.45) на случай, когда g(t) 6= 0. Сформулируем полученные результаты в виде леммы.

Лемма 2.2. Пусть функция u является регулярным решением задачи 2, отвечающим тройке ('; g; f), причем 0 в Q. Тогда справедлива оценка (2.47).

Неравенство (2.49) означает, что при 0 норма регулярного решения u задачи 2 ограничена сверху постоянной, равной сумме норм исходных данных ', g и f. Таким образом, (2.49) играет роль простейшей оценки на решение u сверху, причем указанная оценка получена не из представления решения, а исходя лишь из свойств самого уравнения (2.41) и предположения о существовании и непрерывной дифференцируемости решения. Оценки такого типа, устанавливающие соответствующую информацию о решении до его нахождения, называются априорными. В отличие от апостериорных оценок, априорные оценки играют важную роль в теории дифференциальных уравнений и используются, например, для доказательства существования, единственности и устойчивости решений краевых задач. Причем поскольку при этом совершенно не используется явное представление решения, то с помощью такого подхода можно получать оценки как для уравнений с постоянными или переменными коэффициентами, так даже и для нелинейных дифференциальных уравнений.

Метод исследования корректности краевых задач, основанный на получении и использовании априорных оценок, называется методом априорных оценок. Его также называют методом энергетических неравенств

или просто энергетическим методом. Последнее название связано с тем, что оцениваемая величина, в частности kuk2, часто имеет смысл энергии рассматриваемой физической системы. Хотя в нашем случае термин “энергия” скорее носит математический характер и обозначает величину E(t) = ku( ; t)k2H независимо от физического смысла последней.

В частности, из оценки (2.49) вытекает в силу линейности задачи 2 единственность решения u и устойчивость его в выбранных нормах. Действительно, пусть функции ui являются регулярными решениями задачи 2, отвечающими тройкам ('i; gi; fi) исходных данных, i = 1; 2. Тогда разность u1 u2 является регулярным решением, отвечающим тройке

('1 '2; g1 g2; f1 f2). Поэтому в силу леммы 2.2 справедлива оценка p

Из (2.50), в частности, следует, что малым возмущениям правой части в норме пространства F , начальной функции в норме H и граничной функции в норме G отвечают малые возмущения решения в U. Это и означает

119

устойчивость регулярного решения задачи 2. Из (2.50) также вытекает, что u1 = u2 при '1 = '2; g1 = g2; f1 = f2. Последнее означает единственность регулярного решения задачи 2. Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема 2.2. При выполнении условия 0 в Q регулярное решение u 2 C1(Q) задачи 2 единственно и непрерывно зависит от исходных данных ('; g; f) в том смысле, что выполняется оценка (2.50).

В случае = 0 из теорем 2.1 и 2.2 вытекает следующий результат.

Следствие 2.1. При выполнении условий теоремы 2.1 регулярное решение u 2 C1(Q) задачи 1 существует, единственно, и для него выполняется оценка (2.47), означающая непрерывную зависимость решения u от данных ('; g; f).

Итак, мы доказали существование и единственность регулярного решения задачи 1 при выполнении определенных условий на исходные данные. Подчеркнем, что доказательство существования решения основывалось на методе характеристик, с помощью которого фактически было построено явное представление решения в виде (2.35)–(2.37). В то же время при доказательстве устойчивости и единственности мы использовали совсем другой подход, основанный на методе энергетических неравенств. Такая ситуация, когда для доказательства существования и единственности решения рассматриваемой задачи используются разные методы, является обычным делом при теоретическом изучении задач математической физики. Отметим при этом, что метод характеристик, используемый при выводе явного представления решения задачи 1, является весьма специфическим и используется для нахождения решений лишь некоторых специальных уравнений математической физики. В противоположность ему метод энергетических неравенств, используемый нами выше при доказательстве единственности решения задачи 2, является достаточно универсальным и с успехом будет применяться в следующих главах при исследовании единственности решений других задач математической физики.

Наряду с априорными оценками важную роль играют так называемые интегральные законы сохранения, устанавливающие некоторые интегральные свойства решений рассматриваемой задачи. Простейший из них для задачи (2.41), (2.32) имеет вид (2.46). В частном случае, когда g(t) = 0, он означает, что при f = 0 и 0 энергия E(t) убывает с ростом t (так как с ростом t убывают последние два слагаемых в правой части (2.46)). Это естественно с физической точки зрения, поскольку условия f = 0, g = 0 означают отсутствие притока энергии в рассматриваемую систему. Так как при этом частицы, выходящие из (0; l) через конец x = l выносят с собой часть энергии, то энергия может лишь убывать. Предпоследнее слагаемое в правой части (2.46) как раз и описывают теряемую за счет выхода частиц энергию за время t, тогда как последнее слагаемое описывает теряемую

120