emph_f

и носит название принципа Гюйгенса. Несколько другая ситуация наблюдается в R и R2 (см. об этом более подробно в § 3.1 и § 3.3).

3.2.1. Бегущие волны. С математической точки зрения под волной следует понимать частное решение волнового уравнения (2.1) либо (2.2), зависящее от пространственных переменных и времени. Поскольку существует бесчисленное множество таких решений, то можно привести достаточное количество примеров различного типа волн. Ниже мы ограничимся рассмотрением лишь трех типов: плоских, сферических и цилиндрических бегущих волн.

Обозначим через x; y; z декартовы координаты точки x 2 R3, через k = (k1; k2; k3) – произвольный вектор, имеющий размерность, обратную единице длины. Введем также величину ! = ajkj, имеющую размерность, обратную единице времени (напомним, что константа a в (2.2) имеет в соответствии с ее физическим смыслом размерность скорости). Безразмерные величины k x !t, k x + !t будем называть фазами. Легко проверить с помощью непосредственной подстановки, что любая гладкая функция вида

зависящая от одной из фаз, является решением уравнения (2.2). Каждое такое решение называется бегущей плоской неискажающейся волной. Чтобы выяснить смысл этого названия, рассмотрим множество точек, на котором одна из фаз, скажем k x !t, принимает постоянное значение d:

Уравнение (2.4) описывает плоскость в четырехмерном пространствевремени R4 = R3x Rt, состоящем из точек с координатами (x; y; z; t). В каждой точке этой плоскости решение 1 принимает одно и то же значение, равное 1(d). Разделив на jkj, запишем теперь уравнение (2.4) в виде n x = at+c, n = k=jkj, c = d=jkj. При фиксированном t это есть уравнение плоскости в обычном трехмерном пространстве R3, причем вектор n служит для этой плоскости вектором единичной нормали. С возрастанием t указанная плоскость движется в пространстве R3 с постоянной скоростью, равной a, параллельно самой себе в направлении вектора k. Учитывая, что на этой движущейся (или бегущей) плоскости решение 1 принимает постоянное значение 1(d), описанный процесс можно трактовать как процесс переноса в пространстве R3 возмущения 1(d), возникшего в начальный момент времени t = t0 в каждой точке x, лежащей на плоскости k x = !t0 + d. Поскольку возмущение 1(d) переносится плоскостью без изменения его величины и с постоянной скоростью a, то отсюда и идет название бегущей плоской неискажающейся волны. Вместо термина неискажающаяся волна используют также термин недеформируемая или однородная волна. Направление вектора k называется направлением волны, а

181

сам вектор k называют волновым вектором, постоянная a называется (фазовой) скоростью волны, функция 1 носит название формы или профиля волны; наконец, сама бегущая плоскость, на которой фаза k x !t, как и решение 1, сохраняет постоянное значение, называется фронтом волны. Аналогичные рассуждения показывают, что функция 2(k x+ !t) описывает плоскую неискажающуюся волну, бегущую без изменения формы со скоростью a в сторону, противоположную направлению вектора k.

Следует отметить, что с помощью поворота системы координат ось x можно расположить перпендикулярно фронту волны. Тогда уравнения фронтов волны и решений (2.3) принимают вид:

kx !t = d; kx + !t = d и 1(kx !t); 2(kx + !t): (2.5)

Здесь постоянная k = !=a, называемая волновым числом, является скалярным аналогом волнового вектора k. Функция 1(kx !t)(либо 2(kx+!t)) описывает плоскую волну, бегущую в положительном (либо отрицательном) направлении оси x, и называется прямой (либо обратной) плоской волной. Важно отметить при этом, что каждая из функций в (2.5) является решением как трехмерного однородного волнового уравнения (2.2), так и одномерного волнового уравнения

описывающего, например, свободные колебания струны. Таким образом, процессы распространения бегущей плоской волны и колебаний струны описываются одним и тем же одномерным волновым уравнением (2.6). Указанный факт не случаен, а является проявлением общей закономерности, заключающейся в том, что многие различные по своей природе волновые процессы описываются одним и тем же волновым уравнением. Наконец, переписав выражения 1(kx !t) и 2(kx + !t) в виде 1(kx !t) =

1[k(x at)] 1(x at), 2(kx + !t) 2(x + at), заключаем, что линейная комбинация

имеет смысл общего решения уравнения (2.6). Последнее вытекает из результатов § 3.1, где показано, что путем подходящего выбора функций 1 и 2 либо, что то же, функций 1 и 2 в (2.7) можно получить любое частное решение уравнения (2.6), удовлетворяющее заданным начальным условиям. Этот факт означает, что на прямой R любое решение уравнения (2.6) имеет физический смысл одной из двух бегущих плоских волн либо их линейной комбинации.

В пространствах б´ольшего числа измерений существуют и другие типы волн, в том числе и бегущих. В качестве важного примера указанных волн

182

отметим бегущую сферическую волну, которая является частным решением уравнения (2.2), зависящим от радиальной сферической переменной r и разности kr !t, либо суммы kr + !t. Для построения указанной волны введем в R3 сферические координаты r; ; ' и, используя представление оператора Лапласа в сферических координатах (см. § 1.3), запишем уравнение (2.2) в виде

В предположении, что не зависит от и ', это уравнение после умножения на r можно записать аналогично (2.6) в виде

(2.8) означает, что функция u = r в точности удовлетворяет одномерному волновому уравнению вида (1.1) при x = r > 0. Из результатов § 3.1 тогда вытекает, что решениями уравнения (2.8) являются функции:

где 1 и 2 – произвольные гладкие функции своих аргументов. Поскольку фаза kr !t (либо kr + !t) сохраняется на любой сфере, бегущей от точки r = 0 (либо к точке r = 0) с постоянной скоростью a, то каждая из функций в (2.9) называется бегущей сферической волной с центром в точке r = 0, а сама бегущая сфера – ее фронтом. При этом первая функция в (2.9) носит название расходящейся (распространяющейся либо уходящей) сферической

волны. Эта волна отличается от соответствующей плоской волны тем, что ее амплитуда убывает как 1=r по мере удаления от центра, хотя и постоянна во всех точках фронта. Вторая функция в (2.9) называется сходящейся (либо приходящей) сферической волной. Она отличается от плоской волны тем, что ее амплитуда растет как 1=r при приближении волны к центру.

Сопоставляя бегущие плоские и сферические волны, можно сделать вывод, что указанные волны характеризуются следующими двумя общими свойствами:

1)обе волны зависят от времени и одной пространственной переменной, при этом фаза каждой волны сохраняется на ее фронтах, т. е. на бегущих

спостоянной скоростью a параллельных плоскостях для плоских волн и концентрических сферах для сферических волн;

2)величина

Z

2i d ; i = 1; 2;

S

183

имеющая физический смысл энергии волны, переносимой любым ее фронтом S, остается постоянной с течением времени (бесконечной для плоской волны и конечной для сферической волны).

Аналогичными свойствами обладают другие бегущие волны в R3: цилиндрические, сфероидальные и т. д. В частности, бегущей цилиндрической расходящейся от оси = 0 (либо сходящейся к оси = 0) волной называется функция от радиальной цилиндрической координаты и разности k !t (либо суммы k + !t), определяемая формулой

Здесь 1 и 2 – гладкие функции своих аргументов. Следует однако отметить, что функции 1 и 2 в (2.10) не удовлетворяют уравнению (2.2). В этом легко убедиться, если подставить функцию 1 (либо 2) в уравнение (2.2), записанное с учетом представления оператора Лапласа в цилиндрических координатах ; '; z (см. § 1.3) и независимости 1 и 2 от ' и z в виде

Однако если, считая достаточно большим, прибавить к правой части (2.11) “малое слагаемое” – =4 2 и умножить полученное уравнение на p , то получим следующее уравнение:

Из результатов § 3.1 теперь легко следует, что обе функции в (2.10) являются решениями уравнения (2.12) при > 0. Это означает, что уравнение (2.2) описывает цилиндрические волны на больших расстояниях от оси= 0 или, как говорят, асимптотически при ! 1.

Замечание 2.1. Наряду со сферическими (либо цилиндрическими) волнами с центром в точке r = 0 (либо осью = 0) можно рассматривать сферические (либо цилиндрические) волны с центром в произвольной точке y (с осью, проходящей через точку y параллельно оси z). Указанные волны описываются функциями:

где jx yj(2) обозначает “двумерное” расстояние между точками x, y 2 R3, т. е. расстояние между проекциями точек x и y на плоскость z = 0.

Замечание 2.2. Аналогично плоским волнам (2.3), которые являются решениями уравнения (2.2) как в пространстве R3, так и на прямой R, цилиндрические волны (2.10) можно считать решениями уравнения (2.2) не

184

только в R3, что естественно с физической точки зрения, но и на плоскости R2, где введены полярные координаты ; '. При последней интерпретации фаза k !t решений (2.10) остается постоянной на бегущих со скоростью a концентрических окружностях с центром в точке = 0. Поэтому для функций (2.10), рассматриваемых в R2, вместо термина цилиндрическая волна с осью = 0 иногда используют термин сферическая волна на плоскости с центром в точке = 0.

Замечание 2.3. Кроме бегущих волн существуют другие типы волн:

стоячие, нормальные, поверхностные и т.д. Об этих волнах можно прочитать, например, в [3,21].

Замечание 2.4. Уравнение (2.1) является простейшей математической моделью, описывающей процессы излучения и распространения волн. Указанная модель не учитывает многие эффекты, происходящие при распространении волн в реальных средах: неоднородность и анизотропность среды, затухание волн, вызываемое действием сил вязкости и теплопроводности, фазовые переходы, нелинейные эффекты и т.д. Тем не менее она отражает основные черты, присущие многим волновым процессам. В частности, она описывает излучение и распространение звуковых волн малой амплитуды в однородной изотропной жидкой или газообразной среде без учета эффектов вязкости и теплопроводности (см. § 1.6).

Замечание 2.5. Если функция в является векторной, то уравнение (2.1) называется векторным волновым уравнением. Уравнение такого типа возникает, например, при описании электромагнитных полей (см. § 1.7).

Приведенные выше примеры решений волнового уравнения наглядно показывают, что одного уравнения (2.1) недостаточно для описания конкретного волнового процесса, поскольку уравнение (2.1) имеет бесчисленное множество решений. Поэтому необходимо вводить дополнительные условия, характеризующие волновой процесс. Такими условиями обычно явля-

Здесь 0; 1; a; b и g – заданные функции своих аргументов. Задача (2.1), (2.13), (2.14) называется начально-краевой задачей для уравнения (2.1). В случае, если D = R3, так что волновой процесс рассматривается во всем

185

пространстве R3, краевые условия (2.14), естественно, отсутствуют, а задача (2.1), (2.13) называется задачей Коши для уравнения (2.1).

3.2.2. Гармонические волны. Уравнение Гельмгольца. Важным классом решений уравнения (2.1) являются гармонические волны, т.е. волны с гармонической зависимостью от времени. Для таких волн объемную плотность F и потенциал можно представить в виде:

где ! – круговая частота рассматриваемого гармонического процесса, f(x) и (x)- комплексные (в общем случае) амплитуды полей F и . Подставляя (2.15) в (2.1), приходим к следующему уравнению для функции :

где k = !=a. Левая часть в (2.16) представляет собой оператор Гельмгольца, поэтому уравнение (2.16) называют уравнением Гельмгольца.

В одномерном случае уравнение (2.16) принимает вид 00+k2 = f(x), или

при f = 0. Общее решение уравнения (2.17) можно записать в виде

(x) = C1eikx + C2e ikx;

где C1 и C2 – произвольные постоянные. Отсюда и (2.15) следует, что все гармонические волны для одномерного волнового уравнения (2.16) описываются формулами:

Каждая из волн в (2.18) характеризуется круговой частотой !, которая является параметром волны, изменяющимся в диапазоне 0 < ! < 1, а также волновым числом k, циклической частотой f, длиной волны и периодом T . Последние определяются по ! соотношениями:

Функции (2.18) играют важную роль при исследовании волновых процессов. Это связано с тем, что произвольную функцию u двух переменных x и t можно представить с помощью ее разложения в интеграл или ряд Фурье в виде суперпозиции гармонических волн вида (2.18).

Замечание 2.6. Следует отметить,что использование представления (2.15) приводит к необходимости оперирования с комплекснозначными, вообще говоря, функциями ; f и т.д. В то же время физические процессы

186

описываются, как правило, вещественнозначными функциями. Ввиду этого под искомыми физическими величинами следует понимать не сами выражения в (2.15), а их вещественные или мнимые части. Другими словами, решив уравнение (2.16) либо (2.17), за искомое решение, имеющее физический смысл, следует брать не саму функцию , а ее вещественную (или мнимую) часть.

3.2.3. Волны с дисперсией. Мы уже видели, что уравнение колебаний струны (2.6) допускает решения в виде бегущих волн (x at) произвольной формы . К сожалению, этот замечательный факт уже не справедлив для более общих уравнений гиперболического типа, описывающих волновые процессы.

Рассмотрим общее уравнение гиперболического типа второго порядка с постоянными коэффициентами a; b1; b2 и c:

Здесь c = c+(b1=2)2 (b2=2a)2. Легко видеть, что при c 6= 0 уравнение (2.21), в отличие от (2.6), не допускает решений в виде произвольной бегущей волны. В самом деле, подставляя в (2.21), например, выражение (x at), находим: a2 00 a2 00 + c = 0. Отсюда следует в силу произвольности , что c = 0.

Произвольная функция u переменных x и t, являющаяся, например, решением уравнения (2.21), может быть с помощью разложения в интеграл Фурье представлена в виде суперпозиции гармонических волн вида (2.18). Скорость v, с которой фаза kx !t либо kx + !t волн в (2.18) перемещается в пространстве, называется фазовой скоростью волны. Очевидно, что v = !=k. Если фазовая скорость гармонической волны зависит от частоты, то говорят, что волновой процесс сопровождается дисперсией. При наличии дисперсии различные гармонические составляющие волны распространяются с разными скоростями и, следовательно, смещаются друг относительно друга. Это приводит к искажению с течением времени профиля рассматриваемой волны.

Простой анализ показывает, что в рассматриваемом волновом процессе дисперсия присутствует тогда и только тогда, когда соответствующее волновое уравнение не допускает решений в виде бегущих волн произвольной формы. Отсюда, в частности, следует, что дисперсия имеет место для

187

уравнения (2.21) при c 6= 0. Указанный факт можно показать и аналитически. Для этого подставим в (2.21) любую из функций в (2.18). В результате получим следующее уравнение, связывающее ! и k:

Уравнение (2.22) называется дисперсионным уравнением, отвечающем уравнению (2.21). По построению каждая из функций в (2.18) является решением уравнения (2.21) тогда и только тогда, когда параметры ! и k связаны

дисперсионным уравнением (2.22). Из (2.22) следует, что фазовая скорость p

v определяется формулой v !=k = !a= !2 + c. Отсюда видно, что при c 6= 0 фазовая скорость v зависит от частоты. Наоборот, при выполнении условия c = 0, т.е. в случае, когда (2.21) принимает вид уравнения колебаний струны, фазовая скорость v равна a, т.е. не зависит от частоты. Следовательно, при c = 0 дисперсия отсутствует. С учетом этого условие c = 0 имеет смысл условия отсутствия дисперсии (или искажения) волны.

В качестве примера рассмотрим телеграфное уравнение (см. §1.8):

Здесь R; L; C и G - коэффициенты сопротивления, самоиндукции, емкости и утечки, рассчитанные на единицу длины линии. Полагая v = ue t, где= 0:5(RC + GL)=CL, приходим к следующему уравнению для новой

по электрической линии распространяется с искажением. С учетом этого условие

естественно назвать условием отсутствия искажения сигналов в телеграфной линии. При выполнении условия (2.25) функция u ve+t удовлетворяет уравнению колебаний струны и, следовательно, может быть представлена в виде суммы бегущих плоских волн. Вернувшись к исходному телеграфному уравнению (2.23), приходим к выводу, что при выполнении условия (2.25) телеграфное уравнение допускает решения в виде затухающих бегущих плоских волн:

188

где 1; 2 - произвольные функции. Отсутствие искажения волн при их распространении по электрической линии, которое выполняется при соблюдении условия (2.25), имеет особо важное значение для телефонной и телеграфной связи на больших расстояниях.

§ 3.3. Однородное волновое уравнение в R3 и R2

3.3.1. Трехмерное волновое уравнение. Решение задачи Коши. Формула Кирхгофа. Рассмотрим задачу Коши для трехмерного волнового уравнения

заключающуюся в нахождении классического решения уравнения (3.1), удовлетворяющего начальным условиям

Пусть x = (x; y; z) 2 R3 – произвольная точка. Обозначим через Bat(x) (либо Sat(x)) шар (либо сферу) радиуса r = at с центром в точке x, через y = ( ; ; ) обозначим переменную точку сферы Sat(x) (см. рис.3.1). Покажем сначала, что для произвольной функции ' 2 C2(R3) поверхностный интеграл, зависящий от параметров x и t, определяемый формулой

(3.4) где r = at, d r – элемент площади сферы Sat(x), является решением волнового уравнения (3.1).

Представим произвольную точку y 2 Sat(x) в виде

y = x + atn(y) или = x + at; = y + at;

Здесь n(y) – единичный вектор внешней нормали к сфере Sat(x) в точке y, направляющие косинусы ; и которого определяются формулами

= cos sin , = sin sin , = cos , где 2 [0; ], 2 [0; 2 ) – угловые

189

координаты точки y в сферической системе координат с центром в точке x. Когда точка (точнее, конец радиус-вектора) y пробегает сферу Sat(x), соответствующий вектор нормали n(y) (точнее, точка ( ; ; )) пробегает единичную сферу S1 = S1(0) с центром в начале координат, причем между элементами площадей d r сферы Sr и d 1 сферы S1 выполняется соотношение d r = r2d 1, где d 1 = sin d d . С учетом этого делая в интеграле (3.4) замену

где y = x + atn. Делая в (3.8) замену, обратную к (3.6), перепишем (3.8) в виде

где y = x + atn. Учитывая (3.7) и делая во втором интеграле обратную к (3.6) замену, перепишем (3.10) в виде

Применяя формулу Гаусса–Остроградского вида

Z Z

grad '(y) n(y)d r = div [grad '(y)] d d d =

Sat(x) Bat(x)

190