emph_f

стороны со скоростью a. При t t1 он не имеет общих точек с интервалом

Эти факты физически означают, что волна, вызванная начальным возмущением – парой f( ; ); g, еще не дошла до точки x. Отметим, что последнее условие u(x; t) 0 выполняется и в момент времени t1, даже если ( ) 6= 0.

2)t1 < t < t2. Для этих значений времени t, т. е. начиная с момента t1 и до момента t2, интервал (x at; x + at) будет пересекать интервал ( ; ), где 60. С учетом этого из (1.22) следует, что u(x; t) 60 при t1 < t < t2. Физически это означает, что при t > t1 в точку x приходит возмущение, вызванное ненулевым начальным импульсом струны, под влиянием которого

точка x начинает колебаться. Сам же момент t1 есть момент прохождения через точку x переднего фронта волны, вызванной начальным импульсом.

3)t2 t < 1. Для этих значений времени t интервал интегрирования (x at; x + at) в (1.22) будет целиком содержать интервал ( ; ). Так как

=0 вне ( ; ), то для таких t формула (1.22) принимает вид

Таким образом, начиная с момента t2, имеющего смысл момента прохождения через точку x заднего фронта волны, вызванной начальным импульсом струны, точка x перестает колебаться и занимает положение, определяемое формулой (1.24). Физически это означает, что волна оставляет в струне след после своего прохождения.

Геометрическая интерпретация решения (1.22) представлена на рис. 1.3,б

Для этого случая введенная выше функция имеет вид:

8

< 1=2; x 2 (1; 1);

(x) = (1=2)x; x 2 [ 1; 1]; (1.26) : 1=2; x 2 (1; +1):

Профиль (x) вместе со сдвинутым профилем (x + t) изображен на рис. 1.4, тогда как на рис. 1.3,б изображены в виде прерывистых линий профили функций (x + t) и (x t) соответственно, а в виде сплошной линии – профили отклонения струны в те же моменты времени t0, t1, t2,

171

t3 и t4, что и на рис. 1.3,а. Видно, что начиная с момента t > t2 профиль отклонения струны имеет форму равнобедренной трапеции единичной высоты, которая равномерно расширяется в обе стороны с ростом времени.

/home/users/ULI

Рис. 1.4

Таким образом, действие ненулевого начального импульса , определяемого формулой (1.25), приводит к сдвигу каждой точки струны в определенный момент t, зависящий от x, на единичное расстояние вверх. Опять отметим, что хотя в данном примере функция даже не является непрерывной, приведенный выше анализ позволяет получить достаточно хорошее представление о физике протекания процесса в рассматриваемом случае. Из этого примера, в частности, следует, что принцип Гюйгенса (см. более подробно о нем в § 3.3) не выполняется в одномерном случае.

3.1.3. Устойчивость решения задачи Коши к исходным данным. Обобщенное решение. Как указывалось в гл. 2, одним из важнейших требований при постановке и исследовании задач математической физики является требование устойчивости решения к малым возмущениям исходных данных. Докажем, что для задачи Коши указанное свойство имеет место. Пусть QT = R (0; T ], где 0 < T < 1.

Теорема 1.2. (О непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных данных). Пусть u1 и u2 – решения задачи Коши (1.1), (1.10)

ju1(x; t) u2(x; t)j < " 8(x; t) 2 QT R [0; T ]:

Доказательство. Записав решения u1 и u2 в виде (1.13) через исходные данные ('1; 1) и ('2; 2) соответственно и вычитая, имеем

1

ju1(x; t) u2(x; t)j 2j'1(x at) '2(x at)j+

172

Полагая = "=(1 + T ), приходим к утверждению теоремы 1.2. Ее содержание кратко можно выразить так: малым изменениям начальных данных задачи Коши (1.1), (1.10) отвечают малые изменения решения.

В практических задачах начальные значения получаются в результате измерений и, следовательно, не являются точными. Из теоремы 1.2 вытекает важный для практики вывод о том, что малые погрешности в начальных данных приводят к малым изменениям в решении задачи Коши. Эта теорема указывает также на один из возможных путей построения решения задачи Коши в тех случаях, когда начальные функции ' и не обладают достаточной гладкостью. Рассмотрим для определенности случай, когда начальные функции ' и имеют конечные носители, причем

Построим для указанных функций последовательности f'ng 2 C2(R) и f ng 2 C1(R), равномерно сходящиеся соответственно к ' и . Обозначим через un решение задачи Коши (1.1), (1.10), отвечающее паре ('n; n).

Оценим разность un+k un. В силу равномерной сходимости последовательностей f'ng и f ng для произвольных чисел " > 0 и T > 0 найдется такое N, что для любых n > N и целых положительных k

Оно означает, что последовательность fung фундаментальна в пространстве ограниченных и непрерывных на замкнутом множестве QT функций. Поскольку указанное пространство полно [32], то un равномерно сходится в QT к некоторой непрерывной в QT функции u, так что

Переходя в правой части этого соотношения к пределу при n ! 1, приходим к выводу, что введенная функция u определяется по заданным функциям ' и с помощью формулы Даламбера (1.13). Из нее, в частности, вытекает, что функция u удовлетворяет обоим начальным условиям в

173

(1.10). Однако так построенная функция u уже не удовлетворяет, вообще говоря, уравнению (1.1). Последнее вытекает хотя бы из того, что в случае, когда функции ' и удовлетворяют лишь условиям (1.27), производных второго порядка от “решения” u, определяемого формулой (1.13), в общем случае не существует. Поэтому бессмысленно требовать от “решения” u чтобы оно удовлетворяло уравнению (1.1) в каждой точке (x; t) 2 R2+. Тем не менее можно показать, что при выполнении лишь условий (1.27) и даже более “слабых” условий на гладкость ' и функция (1.13) удовлетворяет уравнению (1.1) в некотором интегральном (так сказать, обобщенном) смысле. С учетом этого функцию u, определяемую формулой Даламбера (1.13) по функциям ' и , удовлетворяющим условиям (1.27), можно назвать обобщенным решением задачи Коши (1.1), (1.10). Не имея возможности останавливаться более подробно на анализе свойств обобщенных решений, порекомендуем читателям книги [28,32,34], где детально освещаются свойства обобщенных решений, и книгу [11]. В ней излагается другой подход к введению обобщенных решений для уравнений в частных производных, основанный на фундаментальном понятии обобщенной функции.

3.1.4. Задача Коши для неоднородного волнового уравнения.

Рассмотрим в этом пункте задачу Коши для неоднородного одномерного волнового уравнения. Она заключается в нахождении функции u 2

C2(R2+) \ C1(R2+), удовлетворяющей уравнению

и начальным условиям (1.10). Прежде всего отметим, что для нахождения решения общей неоднородной задачи (1.28), (1.10) достаточно найти решение уравнения (1.28) при нулевых начальных условиях

@u

ujt=0 = 0; = 0 в R: (1.29)

@t t=0

Действительно, добавляя к этому решению решение задачи (1.1), (1.10) для однородного уравнения (1.1), определяемое формулой (1.13), мы получим в силу линейности уравнения (1.28) искомое решение задачи (1.28), (1.10).

Многие задачи математической физики обладают тем свойством, что решение соответствующей задачи для неоднородного уравнения может быть выражено тем или иным образом через решение аналогичной задачи для соответствующего однородного уравнения. Это имеет место и в рассматриваемом случае. Действительно, рассмотрим функцию v(x; t; ) переменных x; t и параметра , удовлетворяющую однородному волновому уравнению

174

Для справедливости этой формулы достаточно предположить согласно теореме 1.1, что f 2 C0(R2+), @f=@x 2 C0(R2+). Возвращаясь к исходным переменным t и v, перепишем (1.33) в виде

является искомым решением задачи (1.28), (1.29). В самом деле, дифференцируя (1.35) дважды по x и t, имеем с учетом условий (1.31), что

Умножим (1.36) на a2 и вычтем из (1.38). Учитывая, что v удовлетворяет однородному уравнению (1.30), приходим к выводу, что указанная

175

функция u и является решением неоднородного уравнения (1.28). Из (1.35) и (1.37) следует, что u удовлетворяет однородным начальным условиям (1.29). Единственность решения u вытекает из единственности решения задачи (1.1), (1.10). Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема 1.3. Пусть f, @f=@x 2 C0(R2+). Тогда функция u, определя-

емая формулой (1.35), принадлежит классу C2(R2+) \ C1(R2+) и является единственным решением задачи Коши (1.28), (1.29).

Замечание 1.4. Отметим, что интеграл в правой части (1.35) представляет собой повторный интеграл от функции f по характеристическому треугольнику K (x; t) с вершиной в точке (x; t). Таким образом, решение задачи Коши (1.28), (1.29) в произвольной точке (x; t) 2 R2+ зависит лишь от значений f( ; ) правой части f в точках ( ; ), изменяющихся внутри K (x; t). Другими словами, характеристический треугольник K (x; t) имеет смысл области зависимости для решения u уравнения (1.28) в точке (x; t) от правой части f. Ниже в §§ 3.4 и 3.5 мы еще вернемся к формуле (1.35) при обсуждении вопросов об областях зависимости и влияния для гиперболических уравнений.

Замечание 1.5. Решение общей неоднородной задачи (1.28), (1.10), очевидно, определяется формулой

3.1.5. Начально-краевая задача для однородного волнового уравнения на вещественной полуоси. Рассмотрим в этом пункте начальнокраевую задачу для уравнения (1.1) на полуоси x > 0. Эта задача имеет важное значение при изучении процессов отражения волн от границ и ставится следующим образом: найти классическое решение u однородного волнового уравнения

176

Здесь '; и g – заданные функции своих аргументов. Рассмотрим для простоты случай однородного условия Дирихле

Задача (1.40), (1.41), (1.43) описывает распространение начального возмущения в полубесконечной струне с закрепленным левым концом x = 0. Приведем следующие две леммы о свойствах решений задачи (1.1), (1.10).

Лемма 1.3. Если в задаче Коши (1.1), (1.10) начальные функции ' и являются нечетными функциями относительно некоторой точки x0,

то соответствующее решение в этой точке x0 равно нулю.

Лемма 1.4. Если в задаче Коши (1.1), (1.10) начальные функции ' и являются четными функциями относительно некоторой точки x0, то производная по x соответствующего решения в этой точке равна нулю.

Доказательство леммы 1.3. Выберем x0 за начало координат, т. е. положим x0 = 0. Тогда условия нечетности начальных данных запишутся в виде

С учетом (1.44) для решения u задачи (1.1), (1.10), определяемого формулой Даламбера (1.13), имеем при x = 0, что

Действительно, первое слагаемое в (1.45) равно нулю в силу нечетности ', тогда как второе равно нулю в силу свойства равенства нулю интеграла от нечетной функции в пределах, симметричных относительно начала координат.

Аналогично доказывается лемма 1.4. Условия четности начальных данных относительно точки x0 = 0 имеют вид '(x) = '( x); (x) = ( x) 8x 2 R. Известно, что производная четной функции является нечетной функцией, так что '0(x) = '0( x) для всех x 2 R. Диффе-

ренцируя (1.13) по x и рассуждая, как при выводе (1.45), имеем, что

Замечание 1.6. Приведенное выше доказательство фактически опирается на формулу Даламбера и не связано с двукратной дифференцируемостью функции u. Это означает, что лемма 1.3 верна для любой непрерывной функции u, представимой формулой Даламбера (1.13), а лемма 1.4 верна для любой непрерывной функции того же вида, имеющей непрерывную производную @u=@x. Таким образом, леммы 1.3 и 1.4 фактически верны для обобщенных решений задачи Коши (1.1), (1.10).

177

Предположим, что так построенные функции удовлетворяют (1.14), т. е.2 C2(R), 2 C1(R). Легко проверить, что эти условия выполняются, если выполняются следующие условия гладкости и согласования:

Тогда решение U задачи Коши (1.1), (1.10), отвечающее паре ( ; ), можно представить в виде формулы Даламбера

Рассмотрим сужение u функции U в (1.48) на область Q. По построению функция u удовлетворяет уравнению (1.1) и начальным условиям (1.41). Кроме того, в силу леммы 1.3 для нее выполняется краевое условие (1.43). Это означает, что так построенная функция u является искомым решением задачи (1.40), (1.41), (1.43), и нам остается лишь записать выражение для u через исходные начальные функции ' и . Простой анализ с учетом (1.46)

178

показывает, что соответствующая формула для u имеет вид:

>

:

(1.49)

Теорема 1.4. Пусть выполняются условия (1.47). Тогда функция u, определяемая формулой (1.49), принадлежит пространству C2(Q) и является регулярным решением задачи (1.40), (1.41), (1.43).

Точно так же, если при x = 0 мы имеем однородное условие Неймана

@u

= 0; (1.50)

@x x=0

отвечающее свободному концу струны, то решение соответствующей задачи (1.40), (1.41), (1.50) строится по аналогичной схеме с тем лишь изменением, что начальные функции ' и в (1.41) продолжаются на отрицательную полуось четным образом. Простой анализ показывает, что полученное таким путем решение u имеет вид:

(1.51) Анализ формулы (1.49) показывает, что в области Q1, лежащей ниже характеристики x = at, решение u задачи (1.40), (1.41), (1.43) совпадает

срешением Даламбера (1.13) задачи Коши (1.1), (1.10). Таким образом, в этой области отсутствует влияние граничного условия (1.43), а волновой процесс происходит так же, как и на всей оси R в отсутствие границы

x = 0. Наоборот, в области Q2, лежащей выше характеристики x = at, решение u отличается от решения Даламбера (1.13). Физически это связано

споявлением в Q2 наряду с “прямой” волной, описываемой решением Даламбера (1.13), отраженной волны, получаемой отражением прямой волны от конца x = 0. Сумма прямой и отраженной волн и дает искомое реше-

ние в области Q2, стоящее в нижней части (1.49). Аналогичная ситуация справедлива и в отношении формулы (1.51). Более подробное обсуждение этих вопросов можно найти в [56, с. 68–78], где изложенная процедура про-

должения начальных функций ' и нечетным образом в случае условия Дирихле (1.43) и четным образом в случае условия Неймана (1.50) используется также при нахождении решения уравнения (1.1) на ограниченном

179

интервале (0; l), на концах которого заданы граничные условия Дирихле либо Неймана. В [56] показано, что полученное с помощью процедуры продолжения начальных функций решение имеет вид суммы прямой волны (1.13) и бесконечной суммы отраженных волн, полученных последовательным отражением прямой волны от концов x = 0 и x = l.

§ 3.2. Волновое уравнение и бегущие волны. Обзор физических понятий

Рассмотрим в пространстве R3 линейное дифференциальное уравнение

Здесь – скалярный лапласиан, a2 = const > 0; F – заданная функция,– неизвестная функция, под которой будем понимать скалярный потенциал какого-либо физического поля. Решения уравнения (2.1) описывают волновые процессы, поэтому его называют (скалярным) волновым уравнением. При F = 0 уравнение

называют однородным волновым уравнением.

Существует большое количество волн различной физической природы. Среди них особую роль играют звуковые (акустические) и электромагнитные волны, дающие человеку основную часть информации об окружающем мире. Главное свойство всех волновых процессов независимо от их природы состоит в том, что волны осуществляют перенос энергии без переноса вещества (последнее может иметь место лишь как побочный эффект). Другим важным свойством волновых процессов является конечность скорости распространения волн. Поэтому в случае, когда источники излучения волн локализованы по пространству, т. е. занимают ограниченную часть среды, в каждый момент времени существует поверхность, отделяющая точки, до которых волна еще не дошла, от точек, которые волна уже достигла. Указанную поверхность называют волновой поверхностью или

передним фронтом волны. Если источники локализованы и по времени, то в отсутствие границ в пространстве R3 существует и задний фронт волны. Он отделяет множество точек, через которые волна уже прошла, от множества точек, через которые волна еще проходит. Таким образом, в последнем случае имеет место процесс распространения волн с резко выраженными передним и задним фронтами. Указанное свойство распространения волн в пространстве R3 впервые было сформулировано в 1678 году X. Гюйгенсом

180