emph_f

Здесь t – единичный вектор касательной в точках границы поверхности S, ds – элемент длины дуги границы , скаляр v t называется касательной (или тангенциальной) компонентой векторного поля v относительно граничной кривой , тогда как rotv представляет собой ротор (или вихрь) векторного поля v, определяемый в декартовом базисе формулой

В соответствии с физическим смыслом поверхностного интеграла [19, c. 143] левая часть формулы (2.9) представляет собой поток векторного поля rotv через поверхность S. Правая часть в (2.9) носит название циркуляции векторного поля v по кривой . С учетом этого формула (2.9) по своему физическому смыслу означает, что поток векторного поля rotv через поверхность S равен циркуляции векторного поля v по кривой , являющейся границей поверхности S. Отметим при этом, что для заданной поверхности S граница определяется однозначно. Однако для заданной границыможно подобрать бесконечное множество поверхностей S, имеющих своей границей кривую , или, как говорят, натянутых на кривую . Если считать первичной границу , то тогда физический смысл формулы (2.9) заключается в том, что циркуляция векторного поля по замкнутой кривой равна потоку векторного поля rotv через любую кусочно-гладкую поверхность S, натянутую на границу .

Рассмотрим частный случай, когда S представляет собой плоское множество , лежащее в плоскости x; y, причем R = 0, а P и Q не зависят от координаты z. В таком случае формула (2.8) переходит в формулу

называемую (плоской) формулой Грина. Более точно справедлива следующая теорема (см. [19, с. 170]).

Теорема 2.3. Пусть плоское множество удовлетворяет условию (2a), а функции P и Q непрерывны в и непрерывно дифференцируемы в . Если существуют несобственные интегралы по от каждой из частных производных функций P и Q, то справедлива формула (2.11), называемая формулой Грина. При этом стоящий в правой части (2.11) интеграл представляет собой сумму интегралов по связным компонентам границы , на которых указано такое направление обхода, при котором остается слева.

Напомним, что под ротором двумерного векторного поля v P i + Qj :! R понимают либо вектор rotv, определяемый в декартовой системе координат формулой rotv = (@Q=@x @P=@y)k (указанный вектор направлен перпендикулярно плоскости x; y), либо просто скаляр @Q=@x @P=@y

311

(который также называют завихренностью). С использованием последней интерпретации формулу (2.11) можно переписать в следующем “вектор-

RH

ном” виде: rotv dxdy = v t ds.

С именем Стокса связана ещё одна важная теорема, которая нами уже использовалась в предыдущих главах.

Теорема 2.4. Пусть вектор–функция u 2 C1( ), заданная в ограниченной односвязной области R3, удовлетворяет условию rotu = 0. Тогда существует функция ' 2 C2( ) такая, что u = grad'.

Замечание 2.2. Отметим две особенности приведенных выше формул Грина (2.5)–(2.7), Гауcса–Остроградского (2.2) и Стокса (2.9). Прежде всего они записаны в инвариантном виде, поскольку в их формулировках участвуют инвариантные, т. е. не зависящие от выбора системы координат в области операторы: лапласиан , градиент r, производная по нормали @=@n, дивергенция div и ротор rot. Во-вторых, указанные формулы, кроме формулы (2.9), справедливы не только в R3, но и на плоскости R2, а также в пространстве Rn. То же относится к формуле (2.4). Мы напомним лишь, что в Rn указанные операторы определяются в декартовой системе

Здесь v1; v2; :::; vn либо (n1; n2; :::; nn) – компоненты вектора v (либо n) в декартовом базисе. Что касается формулы Стокса (2.9), то ее можно считать справедливой лишь в R3 либо в R2, поскольку именно в этих случаях определен оператор rot. В принципе, можно определить некий аналог оператора rot и в Rn при n 4 и выписать n-мерный аналог формулы Стокса (2.9). Однако указанная формула ниже нам не потребуется.

6.2.2. Интегральное представление функции из класса C2.

Теорема 2.5. Пусть – ограниченная область в R3 с кусочно-гладкой границей ; x0 2 , и пусть функция u 2 C2( ) \ C1( ) такова, что для любой точки x0 2 существует несобственный интеграл

312

называемая интегральным представлением Грина функции из класса C2.

Доказательство. Предположим сначала, что u 2 C2( ). Вырежем из области шар B"(x0) достаточно малого радиуса " с центром в точке x0 и обозначим через " оставшуюся часть области, а через S" – поверхность шара B"(x0) (см. рис. 2.1,a).

Применяя вторую формулу Грина (2.7) к функциям u и v = 1=r, где r = jx x0j, в области ", будем иметь с учетом гармоничности функции v в ", вытекающей из леммы 1.1, что

Здесь n – единичный вектор внешней нормали к области ", @u=@n – производная по внешней нормали n. Индекс “x” в дифференциале d x в поверхностном интеграле означает, что в поверхностном интеграле интегрирование проводится по переменной x, а не по x0. Перейдем теперь в (2.13) к пределу при " ! 0. Интеграл в левой части (2.13) переходит в несобственный интеграл по всей области , который существует по условию теоремы. Первое слагаемое в правой части (2.13) от " не зависит. Покажем, что второе слагаемое в правой части (2.13) при " ! 0 стремится к 4 u(x0).

Действительно, на сфере S" направление внешней нормали n в точке x противоположно направлению вектора x x0, причем r = jx x0j = ". Поэтому

Напомним, что в силу предположений теоремы 2.4 u 2 C1( ). Применим с учетом этого к правой части (2.15) теорему о среднем значении. Учитывая,

что площадь сферы S" равна 4 "2, выводим, что I1(x0) = 4 u(x"), где x" – некоторая точка на сфере S". Переходя здесь к пределу при " ! 0, получим

в силу непрерывности функции u, что

Поскольку u 2 C1( ), то найдется такая постоянная C > 0, что j@u=@nj C на . Но тогда имеем

313

В результате, переходя в (2.13) к пределу при " ! 0, приходим с учетом (2.16), (2.17) к формуле (2.12).

Отметим, что формула (2.12) доказана при дополнительном предположении, что u 2 C2( ). Чтобы избавиться от него, построим, как в [11, c. 367], последовательность гладких областей (n) , стремящихся к при n ! 1 (см. рис. 2.1,б). Применяя формулу (2.12) в области (n) и переходя к пределу при (n) ! , получим требуемый результат.

Напомним, что в формуле (2.12) предполагается, что точка x0 находится внутри . Если x0 находится вне , то тогда v 2 C2( ) и v = 0 в . Поэтому применяя (2.7) к функциям u и v = 1=r, приходим к формуле

Рассмотрим, далее, случай, когда x0 2 . Предположим, что в окрестности точки x0 поверхность является гладкой, например, 2 C1, т. е.имеет касательную плоскость с непрерывно меняющимися угловыми коэффициентами. Построим сферу S"(x0) малого радиуса " > 0 с центром в точке x0. Ясно, что поверхность делит ее на две части: S1" и S2", где S1" лежит внутри , а S2" – вне . Точно так же сама сфера S" делит поверхность на две части: внешнюю 2" к S" и внутреннюю 1" (см. рис. 2.1,в). Обозначим через " подобласть области , ограниченную куском 2" и частью S1" сферы , лежащей внутри . Применяя формулу (2.7) к функциям u и v = 1=r в области ", получим

(2.19) Перейдем в (2.19) к пределу при " ! 0. Интеграл по " в левой части (2.19) стремится при " ! 0 к соответствующему несобственному интегралу по области . Интеграл в правой части по 2" переходит при " ! 0 в соответствующий (сингулярный) поверхностный интеграл по границе . Второй интеграл в правой части (2.19), как легко проверить с помощью рассуждений, аналогичных рассуждениям, проведенным при доказательстве теоремы 2.5, стремится к 2 u(x0). Поэтому в пределе при " ! 0 приходим к формуле, получающейся из (2.12) заменой в ней 4 на 2 .

Объединяя все три случая, приходим к следующей общей формуле:

314

зависит от свойств границы в окрестности точки x0. В частности, c(x0) = 1=2, если x0 лежит внутри гладкого куска границы . Если же x0 является конической точкой, т. е. в окрестности точки x0 поверхность имеет вид конуса с вершиной в точке x0, то тогда c(x0) = =4 , где – величина телесного угла, образованного касательными к в точке x0 [35, с. 287].

Отметим также, что для гармонической в функции u 2 C1( ) фор-

Аналогичные формулы справедливы на плоскости R2 и в пространстве Rn при любом n. Чтобы вывести соответствующие формулы, достаточно положить во второй формуле Грина (2.7) v(x) = ln(1=r), где r = jx x0j

p

(x x0)2 + (y y0)2 – расстояние от x до точки x0 на плоскости в случае двух измерений, либо v(x) = 1=(!nrn 2), где !n – площадь единичной сферы в Rn (см. § 6.1), а r определяется формулой

q

r= jx x0j = (x1 x01)2 + (x2 x02)2 + : : : + (xn x0n)2;

вслучае n 3 измерений, и повторить проведенные выше рассуждения. В результате приходим к интегральной формуле

являющейся аналогом (2.20) в пространстве Rn. В обеих формулах константа C определяется одним и тем же соотношением (2.21), где постоянная c(x0) имеет указанный выше смысл. В частности, c(x0) = 1=2, если

315

x0 принадлежит гладкому куску границы . Если u – гармоническая в функция из класса C1( ), то, например, формула (2.24) принимает вид

Замечание 2.2. Отметим, что некоторые интегралы, входящие в полученные выше формулы, являются несобственными или сингулярными. Поэтому все приведенные формулы следует понимать так, что при выполнении условий теоремы 2.5 существуют все несобственные либо сингулярные интегралы, входящие в эти формулы, а с другой стороны, справедливы все эти формулы.

§6.3. Простейшие свойства гармонических функций

6.3.1.Случай функций одной переменной. В случае одного измерения (n = 1) уравнение Лапласа (1.2) принимает вид u00 = 0. Общим

решением этого уравнения является линейная функция u(x) = C1x + C2. Поэтому если назвать гармонической функцией одной переменной x, изменяющейся в интервале (a; b), функцию u 2 C2(a; b), являющуюся решением уравнения u00 = 0, то такое определение “гармонической” функции эквивалентно определению линейной функции. Отсюда проистекают основные свойства “гармонических” функций одной переменной x. Перечислим их.

1. Если принять за направление внешней нормали n к границе отрезка [a; b] на оси x в точке b направление этого отрезка, а в точке a – противоположное ему, то для любой линейной функции сумма значений ее первых производных по направлению n в концах отрезка равна нулю, т. е.

2.Функция u, линейная (гармоническая) в (a; b), бесконечно дифференцируема и аналитична внутри (a; b).

3.Для линейной на (a; b) функции u ее значение в центре ( + )=2 любого интервала [ ; ], лежащего внутри (a; b), равно среднему значению функции u на [ ; ], а также среднему арифметическому значений функции u на концах интервала [ ; ], т. е.

316

Важно отметить, что всякая непрерывная в интервале (a; b) функция u, обладающая одним из указанных свойств в 3, линейна на (a; b).

4.Линейная на (a; b) функция не может принимать свое наибольшее или наименьшее значения внутри интервала (a; b), за исключением того случая, когда u(x) const.

5.Линейная на (a; b) функция, непрерывная на [a; b], однозначно опре-

деляется своими значениями в концах x = a и x = b этого интервала. Эти свойства распространяются и на гармонические функции в Rn.

6.3.2.Основные свойства гармонических функций в пространстве Rn. Основываясь на интегральных формулах из § 6.2, выведем здесь

ряд основных свойств гармонических функций, рассматриваемых в пространстве Rn n измерений. Обозначим через Rn произвольное открытое множество с границей = @ . Обычно мы будем предполагать, что связно, т. е. что – область. В случае, когда – ограниченная область, наряду с будем также рассматривать неограниченное (внешнее по отно-

шению к ) множество e = Rnn . В зависимости от свойств множествоe может являться областью, т. е. связным открытым множеством, как на рис. 3.1,а, так и несвязным множеством. Последнее имеет место, например, в случае, когда имеет вид шарового слоя в R3 или кольца в R2 (см. рис. 3.1,б). Видно, что в последнем случае e состоит из двух связных компонент: ограниченной области 0e и неограниченной области 1e . В общем случае e может состоять из нескольких связных компонент, одна из которых 1e необходимо является неограниченной. Для краткости мы будем часто ссылаться на e как на область, понимая в случае необходимости подe именно указанную неограниченную связную компоненту. Будем также использовать обозначение e = e [ и понимать под Ck( e) пространство функций в e, непрерывных вместе со всеми производными до порядка k включительно в каждой точке e [ . Отметим, что условие u 2 Ck( e) принадлежности функции u пространству Ck( e) не накладывает какихлибо ограничений на поведение функции u(x) при jxj ! 1.

Рассмотрим для конкретности случай трех измерений.

Теорема 3.1. Пусть – ограниченная область в R3 с кусочно-гладкой границей . Если u 2 C1( ) – гармоническая в области функция, то

Z

@ud = 0: (3.2)

@n

Доказательство. Для доказательства (3.2) достаточно применить первую формулу Грина (2.6) к указанной функции u и функции v 1.

Теорема 3.2. Функция u, гармоническая в области , имеет производные всех порядков в , т.е. u 2 C1( ). Любая производная от гармонической в функции является гармонической функцией.

317

Доказательство. Возьмем произвольную точку x0 внутри и окружим ее гладкой поверхностью 0 . Так как u гармонична в , то u и подавно гармонична внутри 0. Кроме того, u дважды непрерывно дифференцируема вплоть до границы 0. Применяя формулу (2.23) для области, лежащей внутри 0, получим

Так как x0 62 0, то функция 1=jx x0j как функция декартовых координат x0; y0; z0 точки x0 непрерывна и имеет непрерывные производные любого порядка. Следовательно, правую часть в (3.3) можно дифференцировать по координатам x0; y0; z0 под знаком интеграла сколько угодно раз. То же самое справедливо и для левой части. Это означает, что функция u бесконечно дифференцируема. Второе утверждение является следствием первого утверждения и линейности оператора Лапласа.

Теорема 3.3 (теорема о среднем значении). Если функция u гармонична в области , то в любой точке x0 2 справедлива формула

называемая формулой о среднем значении для гармонической функции. Здесь a – сфера радиуса a с центром в точке x0, лежащая в .

Это свойство утверждает другими словами, что значение гармонической в области функции в произвольной точке x0 2 равно среднему значению этой функции на любой сфере a радиуса a с центром в x0, если сфераa целиком содержится в области гармоничности функции u.

Доказательство. Применим формулу (2.23) к шару Ba Ba(x0) радиуса a с центром в точке x0 2 с границей a. Будем иметь

Сучетом этого из (3.5) приходим к формуле (3.4). Полагая a = , запишем (3.4) в виде

Z

4 2u(x0) = u(x)d (3.6)

318

и проинтегрируем полученное равенство по от 0 до a. Получим

Равенство (3.8) имеет смысл формулы о среднем значении по шару для гармонической в шаре функции u.

Теорема 3.4 (принцип максимума). Функция u, гармоническая внутри ограниченной области , не может достигать своего максимального и минимального значений внутри кроме случая, когда u const .

Доказательство. Предположим, что функция u принимает свое максимальное значение u0 в некоторой внутренней точке x0 области , так что

Окружим точку x0 сферой a малого радиуса a, лежащей в , и применим к функции u формулу среднего значения (3.4). Учитывая (3.9), получим

Если предположить, что хотя бы в одной точке x сферы a выполняется условие u(x) < u(x0), то в силу непрерывности функции u на a в формуле (3.10) вместо знака мы имели бы знак строгого неравенства <. Последнее противоречит предположению u0 = u(x0). Следовательно,

Из произвольности радиуса a следует, что в предположении выполнения (3.9) функция u тождественно равна константе u0 внутри и на границе всякого шара с центром в точке x0, лежащего внутри области .

d=2. Пусть x1 – крайняя точка пересечения ломаной l с границей упомянутого шара. Ясно, что u(x1) = u0 и по дока-

занному выше u(x) = u0 в шаре с центром x1 и радиуса d=2. Пусть x2 – крайняя точка пересечения линии l с границей этого шара. Как и выше, убеждаемся, что u(x) = u0 в шаре с центром в точке x2 радиуса d=2, и т. д. После конечного числа шагов вся линия l будет покрыта указанными шарами. Точка y окажется внутри некоторого шара, откуда и будет следовать, что u(y) = u0. Тем самым доказано, что если u не равна тождественно постоянной, то ее максимальное значение не может достигаться внутри . Аналогично доказывается, что внутри функция u не может принимать и минимального значения.

Замечание 3.2. Из доказательства принципа максимума вытекает более сильный факт о том, что гармоническая в функция не может принимать внутри ни локальных максимумов, ни локальных минимумов.

Полезно обратить внимание на то, что при доказательстве всех приведенных выше свойств гармонических функций мы использовали разные дополнительные условия, касающиеся поведения рассматриваемых функций на границе. Так, при доказательстве теоремы 3.1 мы потребовали, чтобы функция u была непрерывно дифференцируема вплоть до границы , которая, к тому же, является кусочно-гладкой. Эти условия необходимы для того, чтобы можно было воспользоваться формулой Грина (2.6).

В то же время теоремы 3.2 и 3.3 справедливы и для несвязных неогранниченных в общем случае открытых множеств, поскольку они носят локальный характер. Наконец, для справедливости теоремы 3.4 существенны как ограниченность, так и связность множества . В частности, она не справедлива для множества = 1 [ 2, где 1 и 2 – два непересекающихся шара. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять функцию u, равную 1 в 1 и 2 в 2. Указанная функция u гармонична в , принимает свое минимальное значение, равное 1, в любой внутренней точке шара 1, а максимальное значение, равное 2, в любой внутренней точке шара 2, но не равна тождественно константе всюду в .

Обозначим через H( ) множество гармонических в ограниченной области функций. Из теоремы 3.4 вытекает ряд полезных следствий для функций u 2 H( ) \ C( ), т. е. функций u : ! R, гармонических в области и непрерывных в ее замыкании .

Следствие 3.1. Функция u 2 H( )\C( ), отличная от константы, достигает своих максимального и минимального значений лишь на , т.е.

Действительно, в силу теоремы Вейерштрасса [18, с. 476] непрерывная в

320