Радиотехнические цепи и сигналы

dAS в интервале dAS и равна вероятности пребывания вектора A(t) в элементарной площадке dAdθ .

P(Ac;As)= f(Ac) f(As)dAdAc s – вероятность того, что вектор A(t)

Вывод: если случайный процесс распределен по нормальному закону, то его огибающая распределена по рэлеевскому закону, а фаза по равномерному закону.

Т. е. дисперсия огибающей меньше дисперсии самого случайного процесса.

Вероятность того, что огибающая (амплитуда) превысит некоторый заданный уровень:

Если , то . Поэтому ширина шумовой дорожки, фактически наблюдаемой на экране осциллографа не превышает (5-6)σ X . Для широкополосных процессов ширина дорожки составляет (4-5) σ X .

Корреляционная функция огибающей определяется по формуле:

где r0(τ)– огибающая нормированной корреляционной функции случайного процесса х(t).

Энергетический спектр огибающей найдем через преобразование

Фурье:

.

Первое слагаемое соответствует постоянной составляющей огибающей, а второе – сплошной части спектра.

Основываясь на выражении , мгновенную частоту можно записать в форме:

где Δωэкв – эквивалентная ширина спектра узкополосного процесса, определяемая выражением:

ω экв f (θ )

Не удаетсяотобразить связанный рисунок. Возможно, этот файлωбыл перемещен,эквпереименован или удален. Убедитесь,fчто(ссылкаθуказывает&на правильный)файл и верное размещение.

Частота случайного сигнала изменяется в пределах ±2 ωэкв .

Закон распределения похож на нормальный.

Гармонические колебания со случайной амплитудой

f(x)

Гармонические колебания со случайной фазой

Имеется случайный процесс x(t) = cos[ω0t +θ(t)] . Найдем закон распределения фазы ϕ(t) =ω0t +θk .

Начальная фаза обычно распределена по равномерному закону. f (θ)= 12π .

f (θ)

При суммировании нескольких гармонических колебаний (5 -6) со случайной фазой мы получим стационарный случайный процесс близкий к гаусовскому, что соответствует теореме Чебышева о суммировании большого числа гармонических процессов с малыми, близкими по величине амплитудами.

Комплексный случайный процесс

Пусть есть случайный процесс x(t). Подберем ему сопряженный по Гильберту сигнал xˆ(t)

xˆ(t)= 1 ∞∫ x(τ )dτ

π −∞τ − t

•

Тогда комплексный случайный процесс: z(t)=x(t)+ jxˆ(t).

Пусть x(t)= A(t)cos[ω0t +θ (t)], тогда xˆ(t)= A(t)sin[ω0t +θ(t)]. Отсюда комплексный

•

случайный процесс: z(t)= A(t)e jω0t+θ (t )

Спектры сигналов x(t)и xˆ(t) равны: WX (ω)=WXˆ (ω). Отсюда следует что корреляционные

Предположим, что xKT(t) соответствует x• KT(ω), тогда xˆKT(ω) xKT(ω)ejϕ , где ϕ = −90o . Т.е.

Вывод: спектр комплексного случайного сигнала отличен от 0 только на положительных частотах.

Спектральная характеристика мощности и корреляционная функция случайного процесса на выходе цепи

Определим спектральную плотность мощности на входе цепи:

•(ω) 2X вхKT

Wвых(ω)=W(ω)K2(ω). Возведение передаточной функции в квадрат объясняется тем, что она определяет отношение напряжений (токов) на входе и выходе, а W(ω) является спектральной плотностью мощности случайной функции.

Корреляционная функция случайного процесса на выходе цепи по теореме Винера-Хинчина:

Корреляционная функция входного сигнала: R(τ )= 1 ∞∫W(ω)ejωτ dω

2π −∞

Корреляционная функция импульсной характеристики:

Следовательно, произведению спектральных функций W(ω) и K(ω) соответственно свертка функций Rвх (τ ) и Rg (τ ):

∞

Rвых(τ )= ∫R(x)Rg (τ − x)dx. Отсюда зная корреляционные функции Rвх(τ) и

−∞

∞

Rg (τ) можно найти энергетический спектр: Wвых (ω)= ∫Rвых (τ )e− jωt dτ .

−∞

Пусть на входе белый шум (спектральная плотность равнаW0 = const на всех частотах), следовательно: Wвых(ω)=W0K2(ω), тогда:

Следовательно, если мы знаем вид корреляционной функции импульсной характеристики, то Rвых(τ) имеет такой же вид.

Нормализация случайных процессов в узкополосных линейных цепях

Пусть на входе линейной цепи действует стационарный случайный процесс с распределением, отличным от нормального. Если интервал корреляции этого процесса меньше постоянной времени линейной цепи (т. е. ширина энергетического спектра больше полосы пропускания цепи), то распределение случайного процесса на выходе приближается к нормальному. Эффект нормализации тем выше, чем меньше полоса пропускания цепи.

Например. На высокодобротный контур подается случайный процесс, представляющий собой последовательность импульсов со случайным и ненормальным временем появления. На выходе получаем сигнал как сумму свободных колебаний, вызванных предыдущими импульсами и не успевших затухнуть к рассматриваемому моменту времени. Чем уже полоса пропускания цепи, тем большее число соизмеримых по величине и

некоррелированных слагаемых принимает участие в образовании результирующего колебания в момент времени t1. В соответствии с центральной предельной теоремой этого вполне достаточно для того, чтобы процесс приближался к нормальному.

В широкополосных линейных цепях при некоторых условиях может иметь место обратный эффект :распределение процесса на выходе цепи может отличаться от нормального, чем на входе.

Например: На вход дифференцирующего устройства подается совокупность относительно длительных импульсов, имеющих распределение близкое к нормальному. В результате дифференцирования каждый импульс превращается в пару очень коротких импульсов, соответствующих фронтам входного импульса. Число взаимно перекрывающихся импульсов на выходе уменьшится, т.е. распределение приближается к нормальному закону. Это денормализация. Этот эффект не противоречит тому, что в любой линейной цепи гаусовский процесс сохраняет нормальное распределение. Если среднее количество импульсов увеличить до бесконечности в единицу времени(это необходимо для получения строго нормального распределения), то при любом сжатии импульсов, которое можно осуществить в физически реализуемой цепи, процесс будет гаусовским и на выходе цепи.

Преобразование нормального процесса в безынерционных нелинейных цепях

Внелинейных безынерционных элементах основная трудность состоит

внахождении корреляционной функции. Поэтому общих методов анализа преобразования случайный процессов в нелинейных устройствах не существует. Приходится ограничиваться частными задачами, поддающимися решению.