Радиотехнические цепи и сигналы

1.Классификация случайных сигналов. 1.1. Случайные процессы.

Случайный процесс (СП) – совокупность функций времени, подчиняющихся некоторой, общей для них, статистической закономерности. Различают непрерывные, дискретные, квантованные и цифровые СП. Случайные процессы могут быть стационарными и нестационарными, эргодическими и неэргодическими, марковскими и немарковскими.

Реализацией СП называется одна из функций, составляющих совокупность СП, полученная на ограниченном отрезке времени.

Главной статистической характеристикой СП является интегральный закон распределения F(x): F(x)=P(X<x) – вероятность того, что значение случайного процесса X меньше заданного значения x.

Основные свойства F(x):

1)F(x2)>F(x1), при x2 > x1 , т.е. F(x) – неубывающая функция

2)F(−∞)=0,F(∞)=1

3)F(x) ≥ 0

Спектральная плотность вероятности

f (x) = F′(x)

Свойства спектральной плотности: 1) f (−∞) =0, f (+∞) =0

∞

∫ f (x)dx =1

2)−∞

3)f (x)≥0

Вероятность попадания в заданный интервал [a, b]

P(a,b)=F(x=b)−F(x=a)

2.Основные параметры случайных процессов.

b

Pt (a ≤ x ≤b) = ∫ f (x(t))dx - вероятность попадания в заданный интервал [a,b], в

a

момент времени t.

∞

mx(t)=M[x(t)]= ∫ x f (x(t))dx - математическое ожидание.

−∞

Dx(t)=M{[x(t)−mx(t)]2} - дисперсия. Характеризует мощность случайного сигнала.

σx(t) =Dx(t) - среднеквадратическое отклонение. Характеризует отклонение от математического ожидания случайного процесса.

Индекс t для этих параметров означает, что они соответствуют случайному процессу в заданный момент времени t .

Ковариационная функция

∞ ∞

Kx (t1,t2 ) = M [x(t1) x(t2)]= ∫ ∫ f (x1, x2 t1,t2 )dx1dx2

−∞ −∞

Корреляционная функция

Rx(t1,t2) = M[(x(t1)−mx(t1)) (x(t2)−mx(t2))]

Корреляционная и ковариационные функции устанавливают связь между процессами в различные моменты времени.

Если процессы X и Y некоррелированы, то их взаимно корреляционная функция RXY (τ ) = 0 .

Если процессы независимы, то двумерный закон распределения f (x, y) = f (x) f (y).

Независимые процессы всегда некоррелированы.

Зависимые процессы могут быть некоррелированными. Например:

y(t) = A cos ω t, x(t) = A sin ωt, Rxy (τ ) = 0.

Связь значений процесса между собой в различные моменты времени устанавливает автокорреляционная ( или автоковариационная) функция:

∞

Rx (τ) = ∫ x(t1) x(t2) f (x1,x2 τ)dx.

−∞

Связь значений двух процессов в различные моменты времени устанавливает взаимная корреляционная функция:

∞ ∞

Rxy (τ ) = ∫ ∫ x(t1)y(t2 ) f (x, y τ )dxdy .

−∞ −∞

Одномерные законы распределения

Для стационарного процесса

∞

mX = M [x]= ∫ f (x)dx

−∞

DX = M[(x−mX )2 ]= M[x2 ]−mX2

KX (τ )= M[x(t) x(t +τ )]

RX (τ)= M[(x(t)−mX ) (x(t +τ)−mX )]= KX (τ)−mX2

DX = KX (0)−mX2 = RX (0)=σX2

Для эргодического процесса

T

x(t)= lim 1 ∫2x(t)dt

T →∞ T −T 2

RX (τ )= KX (τ )−(x(t))2

DX = KX (0)−(x(t))2

τX =DX

Основные положения ковариационной теории

Rx1,x2 = ∫ (x1 − mx )(x2 − mx ) f (x)dx = ∫ ((x(t1) − mx )((x(t2 ) − mx ) f (x)dx -

корреляционная функция, характеризующая взаимодействие случайных процессов x1(f ) и x2(f ) между собой в моменты времени t1 и t2 . Чем меньше

где f (x1,t1, x2,t2 ) - плотность вероятности распределения в моменты времени

t1 и t2 .

При τ = 0, RXX =σX2 , RYY =σY2

RXY (0)= RYX (0),т.е.

DS = RS (0)= DX + DY + 2RXY (0)

Если DS =DX +DY , X (t ) uY (t)-некоррелированный, аддитивный случайный процесс.

Пусть имеется x(f ) и y(f )= kx(t −τ )

RXX (t)= Rx (t)

RXY (τ )= x(t) y(t +τ )= kx(f ) x(t −τ −T)= kRX (τ −T) RYX (τ )= y(t) x(t +τ )= kx(τ −T) x(t +τ )= kRX (τ +T)

RYY (τ )= RY (t)= y(t) y(t +τ)= k2x(t +τ ) (t −T +τ )= k2RX (τ )

RS (τ)= RX (τ)+kRX (τ −T)+kRX (τ +T)+k2RX (τ)

При τ → 0

DS = DX + kRX (−T)+ kRX (T)+ k2DX = (1+ k2 )DX + 2kRX (T)= DX [1+ k2 + 2krX (T)]

Где rX ffτk rX (T)≈0 Если x и y независимы, то

DS = DX + DY

Взаимная корреляционная функция

RXY (τ)= M[x(t) y(t +τ)]

RYX (τ )= M[y(t) x(t +τ )]

Для эргодического процесса,

Сдвиг на σ одной из функций x(t ); y(t )можно заменить не обратный сдвиг другой функции

RXY (τ )= x(t) y(t +τ )= x(t −τ ) y(t)

RYX (τ )= y(t) x(t +τ )= y(t −τ ) x(t)

RYX (τ )= RYX (−τ ); RYX (τ )= RXY (−τ ), то это не условие четности функции

RYY (τ )RXY (τ ) (τ)RYX (τ )RYY (τ ) = R

RC (τ)= S(t) S(t +τ)= x(t)+ y(t)+ x(t) y(t +τ)+ y(t) x(t +τ)+ y(t) y(t +τ)=

RXX (τ )+ RXY (τ )+ RYX (τ )+ RYY (τ )

Корреляционная функция

При увеличении Т энергия возрастает, но отношение ЭКТ / Т стремится к некоторому пределу:

Отсюда:

предел спектральной плотности усеченной реализации отделенной на интервале времени Т.

Теорема Винера – Хинчина

Чем больше время корреляции τк , тем меньше полоса частот спектра

сигнала и наоборот. Существует определенная их взаимосвязь, определяемая теоремой Винера - Хинчина.

Это есть соотношение между энергетическим спектром и корреляционной функцией случайного процесса

∞

Wx (ω) = ∫ Kx (τ)e− jωτ dτ

−∞

Kx (τ) = 21π ∞∫Wx (ω)ejωτ dω

−∞

Это прямое и обратное преобразование Фурье соответственно.

При x = 0 :

∞

Wx (ω) = ∫ Rx (τ)e− jωτ dτ

−∞

Rx (τ) = 21π ∞∫Wx (ω)ejωτ dω

−∞

Узкополосный случайный процесс

Узкополосный процесс – это процесс, у которого отношение

эффективной ширины спектра к средней частоте ΔΩ pp 1.

ω0

Реализация случайного процесса: , где A(t) и θ(t) случайные величины.

Огибающая этого случайного процесса A(t)=x2(t)+xˆ2(t), где xˆ2 – сопряженный по Гильберту сигнал.

Будем считать, что x(t) случайный стационарный эргодический процесс.

Представим сигнал в виде квадратурных составляющих:

Отсюда: ,

.

Нам известна плотность распределения сигнала. Найдем плотность распределения

огибающей fA(A) и фазы fθ (θ) узкополосного процесса.