Радиотехнические цепи и сигналы

Спектр последовательности треугольных импульсов

∞

При N → ∞ сумма ряда ∑ An cos(nΩ1t − Ψn ) приближается к s(t) всюду,

n−1

кроме точек разрыва функции, где образуются выбросы.

При n→∞ величина этого выброса равна 1,18E. Этот дефект сходимости (18%) носит название явления Гиббса. Но ряд сходится в среднем, то есть выбросы бесконечно узкие и не вносят ощутимого вклада в усреднение.

.

Распределение мощности в спектре периодического сигнала.

гармоник.

Гармонический анализ непериодических сигналов

Пусть сигнал s(t) задан в виде некоторой функции, отличной от нуля в промежутке (t1, t2). Этот сигнал должен быть интегрируем на интервале (t1, t2).

Возьмем бесконечный отрезок времени Т, включающий в себя промежуток (t1, t2). Тогда сигнал S(t) является, как бы периодическим с

периодом T→ ∞, а Ω1 = 2π → 0 .

T

Заданный сигнал можно представить в виде ряда Фурье, где

Поскольку Т→, то сумму можно заменить интегралом, а Ω1 на dΩ и nΩ1 на Ω. Таким образом, мы прейдем к двойному интегралу Фурье:

(t1,t2) не уточнен, интеграл имеет бесконечные пределы.

Это есть обратное и прямое преобразование Фурье, соответственно. Спектр непериодического сигнала является сплошным

Если сравнить выражения для огибающей сплошного спектра (модуль спектральной плотности) непериодического сигнала и огибающей линейчатого спектра периодического сигнала, совпадающего на интервале (t1,t2) с непериодическим сигналом, то будет видно, что они совпадают по форме.

Учитывая, что Ω = nΩ1 , получим:

Следовательно, спектральная плотность S&(Ω) обладает всеми основными свойствами комплексного ряда Фурье. Т. е. можно записать

S&(Ω) = A(Ω) − jB(Ω) = S(Ω) exp( − jϕ (Ω)) ,

спектральная плотность: S(Ω) = ∫s(t)cos(Ωt)dt − j ∫s(t)sin(Ωt)dt

−∞ −∞

характеристику сигнала. Аргументϕ(Ω) = −arctg B(Ω) A(Ω) — нечетная функция, рассматриваемая как фазо-частотная характеристика сигнала.

На основании этого сигнал можно выразить следующим образом

Из четности модуля и нечетности фазы следует, что подынтегральная функция в первом случая является четной, а во втором — нечетной относительно Ω. Следовательно, второй интеграл равен нулю (нечетная функция в симметричных пределах) и окончательно

Отметим, что при Ω=0 выражение для спектральной плотности равно площади под кривой s(t)

то есть S&(0) имеет значение, равное площади сигнала.

Свойства преобразования Фурье

Сдвиг сигнала во времени

Пусть сигнал s1(t) произвольной формы обладает спектральной плотностью S1(Ω). При задержке этого сигнала на время t0 получим новую функцию времени s2(t)=s1(t-t0). Спектральная плотность сигнала s2(t)

Полученное соотношение можно записать в следующей форме

S• 2 (Ω) = 12 e jθ0 S• (Ω −ω0 ) + 12 e− jθ0 S• (Ω + ω0 )

Таким образом, умножение функции s(t) на гармоническое колебание приводит к расщеплению спектра на 2 части, смещенные на ±ω0.

Дифференцирование и интегрирование сигнала

.

Сложение сигналов

При сложении сигналов s1(t) и s2(t) обладающих спектрами S1(Ω) и S2(Ω) суммарному сигналу s1(t)+s2(t) соответствует спектр S1(Ω)+S2(Ω) (т. к. преобразование Фурье является линейной операцией).

Произведение двух сигналов

Пусть S(t) представлен произведением двух сигналов: s(t) = f (t)g(t). Такому сигналу соответствует спектр

Представим функции в виде интегралов Фурье

−∞

Т. е. спектр произведения двух функций времени равен свертке их спектров (с коэффициентом 1/2π).

S(Ω) = F(Ω)G(Ω) .

Взаимная обратимость частоты и времени в преобразовании Фурье

1. Пусть s(t) — четная функция относительно времени.

Определяется выражением

Найдем спектральную плотность