Радиотехнические цепи и сигналы

При удлинении (растягивании) импульса расстояние между нулями сокращается, значение S(0) при этом увеличивается. Модуль функции можно рассматривать как АЧХ, а аргумент как ФЧХ спектра прямоугольного импульса. Каждая перемена знака учитывает приращение фазы на π.

При отсчете времени не от середины импульса, а от фронта ФЧХ спектра импульса должна быть дополнена слагаемым Ωτ / 2 , учитывающим сдвиг импульса на время τ / 2 (результирующая ФЧХ показана пунктиром).

S(Ω) = Eτ sin c Ω2τ , Ψ(ω) =0.

Треугольный импульс

этом промежутке функции f (t) принимает постоянное значение f (t0 ) ,

которое можно вынести за знак интеграла. Таким образом, умножение любой подынтегральной функции f (t) на δ (t − t0 ) позволяет приравнять

интеграл произведения значению f (t ) в точке t =t0

В теории сигналов приходится иметь дело с дельта-функциями от аргументов t или ω, в зависимости от того, в какой области рассматривается функция — во временной или частотной.

Рассмотрим сначала свойства функции δ (t) . В этом случае основное

значение имеет спектральная характеристика дельта-функции. Ранее было установлено, что при сокращении длительности прямоугольного импульса (неизменной амплитуды) ширина основного лепестка спектральной плотности увеличивается, а величина S(0) быстро уменьшается. В данном же случае, когда уменьшение длительности импульса сопровождается одновременным увеличением его амплитуды, значение спектральной плотности остается неизменным и равным величине S(0) = 1 для всех частот. То же самое имеет место при укорочении любого из импульсов. Следовательно, спектральная плотность дельта-функции вещественна и равна единице для всех частот. Из этого также вытекает, что ФЧХ спектра дельта-функции δ (t) равна нулю для всех частот. Это означает, что все

гармонические составляющие единичного импульса при нулевых начальных фазах, суммируясь, образуют пик бесконечно большой величины в момент времени t = 0.

Аналогично функция δ (t − t0 ) , определяющая единичный импульс в

момент t0, имеет спектральную плотность S(ω) = e− jωt0 . Модуль этой функции по-прежнему равен единице, а ФЧХ θ (ω) = −ωt0 .

Найденная ранее спектральная плотность дельта-функции может быть получена и с помощью преобразования Фурье:

S (ω ) = ∞∫ δ (t − t0 )e− jω t dt

− ∞

S (ω ) = e− jω t0 ∞∫ δ (t − t0 )dt = e− jω t0

− ∞

При t0 = 0 S (ω ) = 1. Следует иметь в виду, что правая часть равенства

S (ω ) = 1 является размерной единицей: это площадь импульса, численноравная единице. Если под δ (t) подразумевается импульс напряжения, то

размерность S (ω ) есть вольт на секунда (В*с).

S(Ω)= 1,Ψ(Ω)= 0

Для создания такого импульса необходимы все гармоники.

Экспоненциальный импульс

Сигнал вида s(t)= e−ct , c>0.

Спектр сигнала находится следующим образом

Если c>0, то e−ct →1(t). Это означает, что мы получим единичный скачек. При

s(t)= lime−ct =1(t)

c→0

получаем следующее выражение для спектра сигнала

Отсюда модуль S(Ω)= Ω1 ,

( ) π 2, при Ω f 0

а фаза Ψ Ω =

−π2, при Ω p 0