5.5 Основные параметры системы рос-ож

К таким параметрам относятся:

• R – средняя относительная скорость передачи или просто скорость передачи

• Р_н0(k) – вероятность выдачи пользователю блока длиной k с необнаруженной ошибкой

• Р {t(k)‹ t_доп} – функция распределения времени задержки сообщения длиной k на время, меньшее допустимого

• М{t_пер} – математическое ожидание времени передачи

• С{t_пер} – среднеквадратическое значение времени передачи

• Д{t_пер} – дисперсия времени передачи

Рассмотрим эти параметры.

1. Средняя относительная скорость передачи

Предположим, что повторных передач нет, т.е. блок принимается без ошибок или с необнаруживаемыми ошибками. Тогда из временной диаграммы и из определения средней относительной скорости имеем:

R* = kτ₀/ τ_c = kτ₀/( nτ₀ + t_ош)= k/(n+ t_ош / τ₀ )

В этой формуле не учитываются переспросы. Чтобы учесть переспросы, посмотрим на временную диаграмму. Видно, что при наличии переспросов, информация пользователю не выдается, т.е. скорость передачи меньше на N_пр/ N_пер , где

N_пр – число принятых блоков

N_пер – число переданных блоков

Тогда скорость:

R = R* N_пр/ N_пер (5.1)

Число N_пр = N_пер – N_стер , N_стер – число стертых блоков

Преобразуем (1) и получим:

R = R*( N_пер – N_стер/ N_пер ) = R* (1- N_стер/ N_пер )

При t→ ∞, N_пер → ∞ , lim (N_стер/ N_пер) = P_cт(n) , где

N_пер → ∞

P_cт(n) – вероятность стирания блока длиной n.

Окончательно имеем:

R = k{1- P_cт(n)}/ (n + t_ош / τ₀) (5.2)

2. Вероятность необнаруженной ошибки Р_н0(k)

Р_н0(k) – вероятность выдачи получателю комбинации из k элементов с необнаруженной ошибкой.

Ясно, что можно записать:

Р_н0(k) ≈ N_но/ N_пр где

N_но – число блоков с необнаруженной ошибкой

N_пр – число принятых блоков (число блоков, выданных пользователю)

N_ст – число стертых блоков

Учитывая, как и раньше, что N_пр = N_пер – N_ст , можно записать:

Р_н0(k) ≈ (N_но / N_пер )/ {1- N_ст / N_пер}

При большом времени работы, т.е. при t→ ∞, переходя к пределу, получаем

Р_н0(k) = Р_н0(n) /[1- Р_ст(n)] (5.3)

Поскольку lim N_но / N_пер = Р_н0(n) – вероятность появления необнаруженных

t→ ∞

ошибок в комбинации длиной n при однократной передаче блока; а Р_ст(n) – вероятность стирания кодовой комбинации длиной n.

Анализируя выражение (3), можно отметить, что Р_н0(k) >Р_н0(n)

Если Р_ст(n) величина небольшая, т.е. используется хороший дискретный канал, то Р_н0(k) ≈ Р_н0(n)

Попытаемся связать параметры дискретного канала с полученными зависимостями, т.е. определим Р_н0(k), зная параметры дискретного канала. Для этого, кроме значения n и k необходимо знать закон появления ошибок в дискретном канале связи, т.е. необходимо иметь модель канала.

Рассмотрим биномиальную модель, т.е. канал с независимыми ошибками.

При передаче блока сообщения в системе ПДС возможны 3 исхода:

- прием без ошибок Р_пр(n);

- прием с ошибкой, которую можно обнаружить Р_о.о(n);

- прием с необнаруживаемой ошибкой Р_н.о(n);

Поэтому Р_пр(n)+ Р_о.о(n)+ Р_н.о(n) = 1 (5.4)

Вероятность правильного приема кодовой комбинации длиной “n” можно определить как произведение вероятности правильного приема каждого единичного элемента, составляющих эту КК.

Р_пр(n) = qⁿ; а у нас задано p₀ – вероятность искажения е. э. в канале, т. е.

q = 1 – p₀, тогда

Р_пр(n) = (1 – p₀) ⁿ

Вероятность необнаруженной ошибки при приеме КК длиной “n” (Р_н.о(n)) определяется по формуле:

n

Р_н.о(n) = (1/2^n-k) ∑ cnⁱ poⁱ (1- p_o)^n-I (5.5)

i= t_o+1

3.Вероятность обнаруживаемой ошибки Р_о.о(n)

Из (5.4) получаем Р_о.о(n) = 1- Р_пр(n) - Р_н.о(n)

Учитывая, что Р_пр(n)>> Р_н.о(n) и пренебрегая Р_н.о(n) по сравнению с Р_пр(n) запишем:

Р_о.о(n) ≈ 1- Р_пр(n) ≈ 1- (1 – p₀) ⁿ

Слагаемое (1 – p₀) ⁿ можно разложить , используя бином Ньютона. Поскольку

n

(a – b)ⁿ = ∑ (-1)ⁱ cnⁱ a^n-i aⁿ bⁱ = aⁿ – cn¹ aⁿ b¹ + cn² a^n-2 b² +…+ (-1)ⁿ cnⁿ a⁰ bⁿ

i=0

В данном случае а = 1, а b = po << 1, поэтому слагаемыми второго и более высоких порядков можно пренебречь. Получим:

(1 – p₀) ⁿ = 1 – np₀

Окончательно:

Р_о.о(n) = np₀

Если приемник обнаруживает ошибку, то стирает накопленный блок, т.е.

Р_о.о(n) = Р_ст(n)

и, следовательно, Р_ст(n) ≈ np₀ (5.6)

Предполагая ошибки в дискретном канале независимыми, а также идеальный обратный канал, по формулам (5.3),(5.5) и (5.6) можно определить вероятность выдачи получателю сообщения с ошибкой. При этом необходимо значение вероятностей искажения единичных элементов в дискретном канале.

4. Функция распределения времени передачи.

Для получения такой функции предположим, что сообщение состоит из одного блока. Из временной диаграммы следует:

Число передач Время передачи Вероятность события

1 t_пер = τ_c 1- Р_ст(n)

2 t_пер = τ_с + τ_с Р_ст(n) [1- Р_ст(n)]

3 t_пер = τ_с + 2τ_с Р_ст²(n) [1- Р_ст(n)]

. . . . . . .

i t_пер = τ_с + (i-1)τ_с Р_ст^i-1(n) [1- Р_ст(n)]

i – число передач

Вероятность того, что время передачи будет меньше допустимого, можно записать при ограниченном числе переспросов:

i-1

Р{ t(k) ≤ (i – 1) τ_с} = ∑ Р_ст^j(n) [1- Р_ст(n)] = поскольку второй член не зависит от

j=0 i

j, этот член можно вынести из-под знака суммы = [1- Р_ст(n)] ∑ Р_ст^j-1(n) (5.7)

j=1

Первый член [1- Р_ст(n)] – постоянная величина, а второй член – есть сумма членов геометрической прогрессии. Т.о. распределение времени задержки является геометрической.

Сумма членов геометрической прогрессии равна:

n n-1

∑ q^i-1 = (1- qⁿ)/(1-q) [ если ∑ q^i-1 = (1- q^n-1)/(1-q) ]

i=1 i=1

Используя эту формулу, преобразуем (5.7). Получим

Р{ t(k) ≤ (i – 1) τ_с} = [1- Р_ст(n)] * {[1-Р_ст^j-1(n) ]/ [1- Р_ст(n)]} = 1-Р_ст^j-1(n) (5.8)

Перейдем к определению первых двух моментов распределения.

5. Математическое ожидание времени передачи.

Предполагая геометрическое распределение, определим среднее число переданных по прямому каналу блоков на один правильно принятый:

М{i} = 1/[1- Р_ст(n)]

Т.к. передача одного блока занимает время τ_с, то математическое ожидание времени передачи можно представить в виде:

М{t_пер} = τ_с /[1- Р_ст(n)] (5.9)

6. Дисперсия времени передачи

D{t_пер} = τ_с² Р_ст(n) / [1- Р_ст(n)]² (5.10)

7. Среднеквадратическое отклонение находится (5.10)

С{t_пер} = τ_с[Р_ст(n)]^1/2/[1- Р_ст(n)] (5.11)

Можно проверить правильность полученных выражений. Рассчитаем среднюю скорость передачи. Известно:

R = k τ₀ / М{t_пер} , подставим формулу (5.9)

R = k τ₀ [1- Р_ст(n)] / τ_c = k [1- Р_ст(n)] / [n+ t_ош / τ₀ ] , что совпадает с полученным ранее выражением.

Выведенные соотношения справедливы при идеальном обратном канале. Если учесть возможность поражения ошибками сигналов решения, то параметры системы РОС-ОЖ ухудшаются. Для борьбы с этим явлением применяют мощные коды для защиты сигналов решения ( т.е. с большим кодовым расстоянием, т.к. нужно передать всего два вида сигнала). Кроме этого, применяют метод нумерации блоков сообщения, что позволяет эффективно бороться со вставками и выпадениями.

Достоинства системы РОС-ОЖ:

- простота схемной реализации.

Недостатки:

- невысокая эффективность использования пропускной способности

дискретного канала, т.к. прямой канал простаивает в ожидании сигналов

решения;

- большое среднее время передачи, обусловленное значительным временем ожидания;

- приемлемые параметры сохраняются при небольших расстояниях передачи.