2.5.Основные аналитические модели дискретных каналов

Для аналитического решения задач по определению эффективности систем связи требуется применение математических моделей ДК. Такие модели должны описывать некоторые закономерности потоков ошибок. Модель канала должна рассматриваться как математическая основа позволяющая создать применяемые на практике методы расчета параметров системы связи.

Поэтому естественно предъявить к математическим моделям ряд требований:

1. Соответствие закономерностей распределения ошибок, получаемых при использовании модели, действительным закономерностям, наблюдаемым в реальных каналах.

2. Возможность создания на основе данной модели методов расчета параметров систем связи, точность которых удовлетворяла бы требованиям инженерной практики.

3. Минимальное количество параметров, используемых при описании потоков ошибок в модели. Простота экспериментальных измерений этих параметров на реальных каналах связи.

В настоящее время разработано большое количество моделей, описывающих ДКС. Рассмотрим наиболее характерные из этих моделей.

2.5.1 Модель канала с независимыми ошибками

Данная модель разработана для симметричного ДКС без памяти, т.е. для потока независимых ошибок. В этом случае для описания ДКС достаточно знать единственный параметр − р₀ − вероятность появления ошибки на е.э.

Пусть как и ранее вероятность ошибочного приема е.э. равна р₀, тогда вероятность правильного приема этого е.э. равна 1− р₀.

Правильный прием всей КК из “n” е.э. возможен, если все “n” элементов приняты без ошибок. Согласно теореме о совместимых и независимых событиях эта вероятность равна произведению вероятностей каждого события, т.е. − (1−р₀)ⁿ.

Тогда вероятность приема КК длиной “n”:

P(1,n) = 1−(1−p₀)ⁿ (2.32)

Применим формулу бинома Ньютона:

где − число сочетаний;

обозначим:

;; тогда (а +b)ⁿ = 1 (в наших обозначениях) и или .

левая часть есть Р(1;n), поэтому получим:

(2.33)

−это вероятность ошибочного приема КК длинной “n”,хотя бы с одной ошибкой.

Слагаемые (2.33) означают вероятность появления ошибок кратности точно “ℓ” в КК длинной “n”, т.е.:

(2.34)

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Вероятность появления ошибок кратности ℓ и выше определяется выражением:

(2.35)

Получим приближенную формулу для модели:

P(1,n) = 1−(1−p₀)ⁿ (2.36)

Для разложения (1−p₀)ⁿ используем бином Ньютона:

(2.37)

Учтем, что а = 1 и b = р₀. Поскольку р₀<< 1, поэтому слагаемыми 2 порядка и выше можно пренебречь. Получим:

(1−p₀)ⁿ = 1 − n p₀ (2.38)

Окончательно получаем:

Р ((2.39)

Широко используется и кроме того является основой для построения других более сложных моделей, лучше отражающих статистические характеристики реальных ДК.

2.5.2. Модель неоднородного канала

В основу этой модели положена гипотеза о том, что ДК может находиться в различных состояниях, в пределах которых ошибки распределены независимо с вероятностью В этом случае знание весовых коэффициентов, соответствующих удельным весам различных состояний канала, дает возможность определять различные характеристики, используя формулу для независимых ошибок.

Например, вероятность появления искаженной КК определяется:

(2.40)

а вероятность появления n- элементной комбинации с L и более ошибками определяется как:

(2.41)

Одной из распространенных моделей подобного типа является модельГильберта.

По этой модели ДК может находиться в одном из двух состояний:

- «хорошем» - когда ошибки отсутствуют.

- «плохом» - когда возникают независимые ошибки с вероятностью

Такая ситуация наиболее близка к случаю, когда в канале имеют место перерывы связи. Длительность таких перерывов может достигать 300мсек., что при скорости В=1200(бод) приводит к возникновению пакетов ошибок длиной 360 е.э.

Поскольку во время перерыва на вход приемника поступает только одна помеха, то приемник воспроизводит на своем выходе абсолютно случайную последовательность е.э. с равными и взаимонезависимыми вероятностями их правильного и ошибочного приема.

Параметры ив модели Гильберта приобретают смысл вероятностей нахождения канала в том или ином состоянии и определяются на основе измерений.

При учете большого числа состояний канала существенно возрастает количество различных моделей и их сложность. Это значительно ограничивает их практическое использование.