Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.

Глава 4. Алгебраические фигуры второго порядка

1.Фигуры второго порядка на плоскости (конические сечения); эллипс, гипербола и парабола.

Приведение уравнений второй степени к каноническому виду

ТЕОРЕМА 4.1 (О каноническом уравнении фигуры второго порядка). Существует такая декартова система координат, относительно которой всякую фигуру второго порядка на плоскости можно задать одним из следующих уравнений:

(группа 1)

y2 2 px,( p 0) (6) Парабола

Доказательство. Уравнение фигуры второго порядка в произвольной аффинной системе координат имеет вид: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. Следовательно, и в декартовой системе

координат уравнение фигуры можно задать в виде:

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a1x + 2a2y + a = 0. (10)

Покажем, что (10) можно привести, при переходе к новой системе координат, к одному из уравнений следующих трех групп:

Если a12 0 в (10), то, поворачивая декартову систему координат на подходящий угол , можно избавиться от одночлена с произведением x′y′ в новых координатах:

x= cos x′– sin y′,

y= sin x′+ cos y′, (подставляя в (10)):

31

Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.

всегда можно записать в некоторой декартовой системе координат в виде: a11x2 + a22y2 + 2a1x + 2a2y + a = 0. (14)

Рассмотрим возможные случаи уравнения (14):

1) Если a11 0 и a22 0, то запишем (14) в следующем виде

Перенесем полюс в точку (0, – a2 ), получим вид (13).

a22

В заключение доказательства остается только заметить, что в зависимости от значений коэффициентов: 1) уравнение (11) приводится к уравнениям группы 1; 2) уравнение (12) при-

водится к уравнению группы 2; 3) уравнение (13) приводится к уравнениям группы 3.

Напомним, что инвариантами при ортогональном преобразовании (ортогональными ин-

вариантами) называются функции от коэффициентов (10), которые сохраняют свое значение при переходе к новой декартовой системе координат.

ТЕОРЕМА 4.2 (Об ортогональных инвариантах). Ортогональными инвариантами (10) являются:

S = a11 + a22 — след матрицы малой квадратичной формы (10),

Доказательство. По плану аналогично доказательству теоремы 4.1. При замене декартовой системы на новую декартову систему координат осуществляются два действия: поворот осей на один и тот же угол и перенос полюса. Например, при повороте (см. доказательство теоремы

4.1): a′11+ a′22 = [a11cos2 + 2a12cos sin + a22sin 2 ] + [a11sin2 – 2a12cos sin + a22cos2 ] = = a11 + a22, т.е. S = a11 + a22 не меняет значения при повороте системы координат. Аналогично

и при переносе полюса, следовательно, S — ортогональный инвариант. Остальное доказать в качестве упражнения.

ЗАМЕЧАНИЕ. Уравнение 2 – S + = 0 называется характеристическим уравнением малой квадратичной формы (10). Корни этого уравнения 1, 2 очевидно также являются ортогональ-

32