Различные способы задания прямой в пространстве

A x B y C z

D

0

A

B

A

C

B

C

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

A x

B

y C

z

D

0

при условии

или

2

2

2

A

B

2

A

C

2

B

2

C

2

2

2

2

A

B

C

= 2 (условия пересечения двух плоскостей).

rang

1

1

1

A2

B2

C2

2.

Канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку M 0 (x0 , y0 , z0 ) с

L

N(x, y, z)

направляющим вектором a(a x , a y , a z ) :

x x0

y y0

z z0

.

a(a

x

, a

y

, a

z

)

a x

a y

a z

M(x0, y0, z0)

Доказательство. Действительно, (см. рис.6)

z z0 a z t

Доказательство. Поскольку

x x0

y y0

z z0

= t, где t R, то параметрические

уравнения уже очевидны.

a x

a y

a z

4. Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две данные точки:

x x1

y y1

z z1

.

x

x

2

y

2

y

z

2

z

1

1

1

l

: x x1

y y1 z z1

1

a x

a y

a z

Пусть даны две прямые:

x x2

y y2

z z2

l

2

:

b x

b y

b z

x2 x1

y2 y1

z2 z1

Cp( a ,

,

)

a x

a y

a z

0 .

M1M 2

b

b x

b y

b z

x2 x1

y2 y1

z2 z1

a x

a y

a z

0 .

b x

b y

b z

l : x x1 y y1

z z1

1

a x

a y

a z

l2

:

x x2

y y2

z z2

b x

b y

b z

1. Нахождение косинуса угла между двумя прямыми l1, l2

в пространстве:

cos

аxb x a yb y a zb z

.

(a x )2

(a y )2

(a z )2

(b x )2 (b y )2

(b z )2

Доказательство. cos = . cos ( a ,

) (угол между прямыми l1

и l2 полагают не больше

b

90 , поэтому

знак

выбирается

для положительного

значения

cos ), где a (ax, ay, az),

(bx, by, bz). Далее см. гл. 1, применение скалярного произведения.

b

2. Условие перпендикулярности двух прямых l1, l2 в пространстве:

l1

аxb x a yb y a zb z 0 .

Доказательство. Cos(l1 l2)

( a b ) ( a b =0)

a (ax, ay, az)

( аxb x a yb y a zb z 0 — в

декартовой

системе коор-

M1(x1, y1, z1)

l2

динат).

3. Расстояние между скрещивающимися прямыми l1, l2:

(bx, by, bz)

x2 x1

y

2 y1

z2 z1

M2(x2, y2, z2)

b

mod

a x

a y

a z

Рис. 8

h

b x

b y

b z

.

a y

a z

2

a z

a x

2

a x

a y

2

b y

b z

b z

b x

b x

b y

x2 x1

y2 y1

z2 z1

mod

a x

a y

a z

h =

b x

b y

b z

.

a y

a z

2

a z

a x

2

a x

a y

2

b y

b z

b z

b x

b x

b y

4. Расстояние от точкиM

1

(x , y , z )

до прямой

x x0

y y0

z z0

в пространстве:

a x

1 1

1

a y

a z

y y

0

z z

0

2

z z

0

x x

0

2

x x

0

y y

0

2

1

a y

1

1

1

a x

1

a x

1

a y

a z

a z

.

(a x )2 (a y )2

(a z )2

l

Доказательство.

|M1,l| =

h

(высота

треугольника

C

M0M1D, опущенная на сторону M0D. С одной стороны,

h

Sтр.

=

1 h|M0D|

=

1 h| a |. С другой стороны, Sтр. =

D

a (ax, ay, az)

1

2

2

M1(x1, y1, z1)

=

|[

a ]|. Откуда, h = |[

a ]|/| a |.

M 0M1

M 0M1

M0(x0, y0, z0)

2

Или в координартах декартовой системы координат:

Рис. 9

y1 y0 z1 z0

2

z1 z0 x1 x0

2

x1 x0 y1 y0

2

h =

a y

a z

a z

a x

a x

a y

.

(a x )2 (a y )2 (a z )2

Плоскость и прямая в пространстве

1.

Взаимное расположение плоскости : Ax By Cz D 0 и прямой

l :

x x0

y y0

z z0

в пространстве:

a x

a y