Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.

4.Фигуры в пространстве (фигуры вращения, конусы и цилиндры).

1.Фигуры вращения

Определение 7. Фигура вращения — множество, получающееся в результате объединения непустого множества окружностей, центры которых лежат на некоторой прямой — оси вращения, а их плоскости перпендикулярны оси вращения. Окружности, составляющие фигуру вращения, называются параллелями. Сечения фигуры вращения плоскостью, содержащей ось вращения, называются меридианами.

ТЕОРЕМА 2.2 (Об уравнении фигуры вращения). Пусть в плоской декартовой системе координат XOY меридиан определяется уравнением f (x, y) 0 . Тогда уравнение фигуры вра-

ТЕОРЕМА 2.3 (Достаточный признак фигуры вращения). Пусть уравнение некоторой фигуры в пространстве относительно декартовой системы

координат имеет вид f (s, y) 0 , где s x2 z 2 . Тогда эта фигура — фигура вращения отно-

сительно оси OY , а уравнение меридиана в плоскости XOY имеет вид f (x2 , y) 0 . Доказательство. Построим фигуру вращения вокруг оси OY с меридианом, заданным урав-

нением f (x2 , y) 0 . По теореме 2.2 эта фигура вращения определяется уравнением

уравнения f (x, y) 0 по аргументу x. Обратное утверждение также верно, т.е. из четности

уравнения фигуры следует симметричность этой фигуры, а именно справедливы следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 2.4 (Условия симметричности фигуры на плоскости).

1.Фигура на плоскости симметрична относительно некоторой оси какой-либо декартовой системы координат тогда и только тогда, когда уравнение этой фигуры является четным по соответствующему аргументу.

2.Фигура на плоскости симметрична относительно полюса какой-либо декартовой системы координат тогда и только тогда, когда уравнение этой фигуры является четным по всем аргу-

ментам: f (x, y) f ( x, y) 0 .

ТЕОРЕМА 2.5 (Условия симметричности фигуры в пространстве).

1. Фигура в пространстве симметрична относительно некоторой координатной плоскости ка- кой-либо декартовой системы координат тогда и только тогда, когда уравнение этой фигуры является четным по соответствующему аргументу. Например, f (x, y, z) f (x, y, z) 0 тогда

19

Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.

и только тогда, когда фигура симметрична относительно плоскости XOZ .

2. Фигура в пространстве симметрична относительно некоторой оси какой-либо декартовой системы координат тогда и только тогда, когда уравнение этой фигуры является четным по соответствующей паре аргументов. Например, f (x, y, z) f ( x, y, z) 0 тогда и только то-

гда, когда фигура симметрична относительно оси OZ .

3. Фигура в пространстве симметрична относительно полюса какой-либо декартовой системы координат тогда и только тогда, когда уравнение этой фигуры является четным по всем аргу-

ментам: f (x, y, z) f ( x, y, z) 0 .

ПРИМЕР 1 (Вывод уравнения сферы). Уравнение меридиана – это уравнение окружности (см.

Zрис. 6): x 2 + y 2 = R 2. Тогда по теореме 2.2 уравнение фигуры вращения относительно оси OX будет иметь вид x2 ( y2 z 2 )2 R2 , т.е. x 2 + y 2 + z 2 = R 2. Применяя формулу переноса начала коорди-

ружности): (x a)2 + y 2 = R 2. Откуда ((x – Y a)2 + y 2 – R 2)((x + a)2 + y 2– R 2) = 0

– уравнение их объединения. Тогда по теореме 2.2 уравнение фигуры вращения относи- X тельно оси OY будет иметь вид:

2. Конусы

Определение 8. Конус — множество, получающееся в результате объединения непустого множества прямых – образующих конуса, проходящих через общую точку — вершину конуса. Фигура, имеющая точно одну общую точку с каждой из образующих конуса, называется на-

правляющей конуса.

20

Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.

= t zM, или xM = xN /t, yM = yN /t, zM = zN /t. Таким образом,

( f (xM , yM , zM ) 0 ) ( f ( xtN , ytN , ztN ) 0 ).

Определение 9. Уравнение f (x, y, z) 0 называется однородным, если выполняется f (x, y, z) f ( x, y, z) 0 для любого числа . Аналогично определяется однородное нера-

венство.

ТЕОРЕМА 2.7 (Достаточный признак конуса). Пусть фигура в пространстве, имеющая, по крайней мере, две точки, задана в некоторой аффинной системе координат однородным уравнением f (x, y, z) 0 . Тогда эта фигура является конусом с вершиной в полюсе аффинной

системы координат.

Доказательство. Если точка N , M(xN, yN, zN) O, т.е. f (xN , yN , zN ) 0 , то в силу однородности и любая точка ( xN, yN, zN) , для любого R. Следовательно, фигура со-

держит всю прямую проходящую через N и O.

ПРИМЕР 3 (Вывод уравнения прямого кругового конуса). Уравнение направляющей:

Zx2 y2 R2 , тогда по теореме 2.6 :

z c

ЗАМЕЧАНИЕ. Эту же фигуру можно получить как вращение прямых y = z Rc вокруг оси OZ

(теорема 2.2), т.к. y 2 = z 2 R2 — уравнение меридиана (объединения этих прямых). c2

3. Цилиндры

Определение 10. Цилиндр — объединение непустого множества параллельных между собой прямых в пространстве, называемых образующими цилиндра. Фигура, имеющая точно одну общую точку с каждой из образующих цилиндра, называется направляющей цилиндра.

ТЕОРЕМА 2.8 (Об уравнении цилиндра). Пусть ось OZ параллельна

ПРИМЕР 4. Пусть направляющая цилиндра лежит в плоскости XOY, т.е. уравнение направ-

21

Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.

ляющей имеет вид:

f (x, y) 0

, тогда по теореме 2.8 уравнение цилиндра с образующими, параллельными оси

z 0

f (x, y) 0

OZ, имеет вид: , t R. Таким образом:

z t 0

f (x, y) 0 — уравнение этого цилиндра.

ПРИМЕР 5 (Вывод уравнения кругового цилиндра). Уравнение направляющей в плоскости

4. Метод сечений

При определении формы фигуры в пространстве применяют метод сечений, что помогает

Zполучить “скелетное” изображение фигуры на рисунке. Суть этого метода заключается в выборе подходящих плоскостей и изображении сечений данной фигуры этими плоскостями. На-

22

Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.

Глава 3. Алгебраические фигуры первого порядка

число s max(n m k ) называется степенью алгебраического уравнения. Таким обра-

зом, уравнение f (x, y, z) 0 называется алгебраическим уравнением степени s, если его левая

часть является многочленом от переменных x, y, z, степень которого deg( f ) = s. Для степени многочленов справедливы следующие свойства:

1)deg( f + g ) max{deg( f ), deg (g)};

2)deg( f g) = deg( f ) + deg(g);

3)deg( f n) = n deg( f ), где f и g — два многочлена с коэффициентами поля R. Доказательство проверить самостоятельно (упражнение).

Определение 2. Фигура в пространстве (плоскости) называется алгебраической порядка n,

если в аффинной системе координат она может быть определена алгебраическим уравнением степени n и не может быть определена уравнением степени меньше чем n. Всякая не алгебраическая фигура называется трансцендентной.

Например: (x – a)2 + (y – b)2 = R 2 — окружность на плоскости или прямой круговой цилиндр в пространстве являются фигурами второго порядка. Тор является фигурой четвертого порядка. Фигурами нулевого порядка являются все пространство (плоскость) [его можно за-

дать равенством 0 = 0] и пустое множество [его можно задать равенством 2 = 0], на чем можно закончить исследование фигур нулевого порядка.

Определение 3. Свойства алгебраического уравнения алгебраической фигуры называются аффинными инвариантами, если они сохраняются при переходе к любой аффинной системе координат. Свойства алгебраического уравнения алгебраической фигуры, заданной в декартовой системе координат, называются ортогональными инвариантами, если они сохраняются при переходе к любой декартовой системе координат.

ТЕОРЕМА 3.1 (об инвариантности степени алгебраического уравнения). При переходе к другой аффинной системе координат степень уравнения, определяющего алгебраическую фигуру, сохраняется.

Доказательство. Пусть f (x, y, z) = p xn ym z k 0 (1). Учитывая формулы перехо-

да к новой аффинной системе координат (теорема 2.1, а именно Формулы преобразования аф-

финных координат точки в пространстве) произведем замену переменных x, y, z на x΄, y΄, z΄ в

уравнении (1). Получим алгебраическое уравнение g(x , y , z ) = p x n y m z k 0 (2),

степень которого deg( g ) deg( f ) (3), так как формулы преобразования имеют линейный вид (многочлены первой степени) и справедливы соответствующие свойства степени многочленов (см. выше). Поскольку существует обратный переход (теорема 1.7, о матрице перехода), то при замене в уравнении (2) x΄, y΄, z΄ на x, y, z получим уравнение (1), где по тем же рассужде-

ниям deg( f ) deg( g ) (4). Из неравенств (3) и (4) следует равенство deg( g ) = deg( f ).

1. Прямые на плоскости.

ординат можно ограничиться декартовой системой координат. ТЕОРЕМА 3.2 (основная теорема о прямой на плоскости). Фигурами I-го порядка на плоскости являются прямые и только они.

Доказательство. (достаточность) Пусть дана прямая L, M(x0, y0), перпендикулярно данному вектору n (A, B). Тогда

23