lektsii_141_matan1

Лекции по математическому анализу для студентов ф-та КНИиТ СГУ группа 141 (231000 - ¾Программная инженерия¿)

Л.В. Сахно

21 сентября 2013 г.

Содержание

1.1Множества и операции над ними . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2Понятие отображения, или функции . . . . . . . . . . . . . 5

1.3Метод математической индукции. Бином Ньютона . . . . . 6

2.1Множество чисел как упорядоченное множество бесконеч-

ных десятичных дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2Ограниченные множества чисел. Верхняя и нижняя грани числовых множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3Приближение вещественных чисел рациональными числами 15

2.6Счетные и несчетные множества . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3Порядковые и арифметические свойства предела последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1

3.5Частичные пределы последовательности. Верхний и ниж-

ний пределы последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.6Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходомости последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.7Расширенная числовая прямая . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.5Предел функции в бесконечно удаленной точке . . . . . . . 42

4.6Бесконечно малые и бесконечно большие функции . . . . . 43

5.5Основные элементарные функции. Замечательные преде-

лы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.6 Сравнение асимптотического поведения функций . . . . . 53

6Глава. Дифференциалное исчисление функций одной пе-

6.1Дифференцируемость функции в точке . . . . . . . . . . . 54

6.2Дифференциал функции. Геометрический смысл произ-

6.5Некоторые следствия формулы конечных приращений Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.9Условия выпуклости функции . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2

7Глава. Первообразная функция и неопределенный инте-

8.1Определение интеграла Римана. Необходиое условие интегрируемости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8.2Верхние и нижние суммы Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8.3Критерий интегрируемости. Некоторые классы интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

8.4 Свойства интеграла Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8.5Интеграл Римана как функция верхнего предела интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница. . . . . . . . . . . . . 94

8.6Интегрирование по частям и замена переменний в интегра-

Лекция 1

1Введение.

1.1Множества и операции над ними

Мы приступаем к изучению курса математического анализа. Под термином математический анализ подразумевается прежде всего диффе-

ренциальное и интегральное исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем в XVII в., хотя некоторые основные понятия анализа сформировались гораздо раньше.

Математический анализ играет совершенно исключительную роль в математическом образовании. Он, по существу, является фундаментом математических знаний.

3

Не будет преувеличением сказать, что стержневое понятие всего курса анализа - это понятие предела во всевозможных его проявлениях. В общих чертах вы с ним знакомы из школьной математики. Тем не менее получить совершенно ясное и строгое представление о пределе - самая большаятрудность при изучении курса математического анализа и самый важный го момент.

Каждый должен и может овладеть этом понятием. Тот, кто этого не сделает, освоить курс не сможет, так как вся остальная часть курса анализа будет представлять собой использование понятия предела в различных ситуациях.

Понятие предела и все другие понятия математического анализа опираются на понятия множества и функции. Наше изучение мы и начнем с этих понятий.

Определение 1.1. Множество - это совокупность объектов любой природы.

Имеется два типа определений: 1) логически строгое сведение определяемого объекта к уже введенным понятиям; 2) описательное определение с помощью слов разговорного языка.

Данное определение множества есть определение второго типа. В математике, конечно, предпочитается первый тип определений, но, увы, начальные понятия, к которым относится понятие множества, приходится вводить описательно.

Определение 1.2. Объекты, образующие в своей совокупности данное множество, называют его элементами или точками.

Для обозначения множеств будем чаще всего использовать заглавные буквы латинского алфавита, а для обозначения элементов этих множеств - малые буквы.

Определение 1.3. Два множества X и Y называем равными, если они

состоят из одних и тех же элементов. Обозначаем это так:

X = Y

Определение 1.4. Если все элементы множества B принадлежат множеству A, то B называют подмножеством множества A и пи-

øóò:

B A

4

Обычно удобнее рассматривать все множества, участвующие в какомлибо рассуждении, как подмножества некоторого фиксированного множества E, которое будем называть универсальным.

Запись

A = fa 2 Ej g èëè fA = fa 2 A : g

означает, то множество A совпадает с множеством тех элементов (из множества E), которые удовлетворяют условию .

Для краткости записи будем использовать некоторые символы математической логики:

9- существует ;

9! - существует единственный элемент ;

8- для всякого , для всех ;

)- следует , вытекает ; если . . . , то ;

,- эквивалентно , равносильно , тогда и только тогда,

когда , необходимо и достаточно .

Не будем напоминать хорошо известные из школьного курса матема-

1.2Понятие отображения, или функции

Важнейшим понятием в математическом анализе является понятие

отображения или функции.

Определение 1.5. Пусть X и Y - некоторые множества. Если в силу некоторого закона f каждому элементу x 2 X соответствует единственный элемент y = f(x) 2 Y; то говорят, что задано отображение f множества X в множество Y . Записывают это в виде

f: X ! Y:

Âэтом случае элемент y = f(x) называют образом элемнта x или зна- чением f на элементе x, а элемент x - прообразом (одним из прообразов) элемента y. Элемент x называют также переменным или аргументом отображения f.

Образом множества A X при отображении f называют множество всех таких элементов из Y , которые являются образами элементов x 2 A.

5

Это множество обозначают символом

f(A)

. Если B Y , то прообразом множества B называют совокупность всех элементов x 2 X таких, что f(x) 2 B. Прообраз множества B обознача- ется символом f 1(B).

Отображение f : X ! Y называют также функцией с областью определения D(f) = X и областью значений E(f) = f(X) Y .

Отображение f называют отображением X на Y , если E(f) = Y . Отображение f : X ! Y называют взаимно однозначным, если E(f) =

Y и из условия f(x1) = f(x2) вытекает, что x1 = x2.

Если отображение f : X ! Y взаимно однозначно, то можно определить обратное отображение f 1 : Y ! X по правилу: если при отображени f элементу x сответствует элемент y 2 Y , то f 1(y) полагается равным элементу x.

Дадим определение понятия сложной функции, или, другими словами, композиции функций.

Определение 1.6. Пусть g : X ! Y и f : Y ! Z (т.е. E(g) D(f)). Функцию h : X ! Z такую, что для любого x 2 X h(x) = f(g(x)) называют комозицией функций f и g ( или сложной функцией) и обозначают символом h = f g:

1.3 Метод математической индукции. Бином Ньютона

Для обоснования метода математической индукции будем использовать следующее свойство натуральных чисел: в любом непустом подмножестве множества натуралных чисел существует наименьшее число.

Метод математической индукции состоит в следующем. Для справедливости любого утверждения, высказанного для всех натуральных чисел n; достаточно:

1) доказать это утверждение для n = 1;

2) предположить его справедливость при n = k ;

3) доказать, что оно верно при n = k + 1:

6

Действительно, отсюда следует, что высказанное утверждение верно для всех натуральных n: Допустим противное. Тогда множество тех n;

для которых утверждение неверно, содержит наименьший элемент m: Число m 6= 1; поскольку утверждение верно для n = 1: Число m не может быть больше 1; так как утверждение в этом случае было бы верно для m 1 и в силу п.3) оно было бы справедливо и для m; что противоречит выбору числа m:

Замечание. Методом математической индукции можно доказывать утверждения, справедливые и при n m; где m > 1: В ходе доказатель-

ства надо заменить первый шаг: доказать утверждение при n = m; а все

остальное оставить, как и прежде.

Перейдем к рассмотрению формулы бинома Ньютона. Сначала напомним:

n! = 1 2 : : : (n 1)n; 0! = 1:

Теорема 1.3.1. (формула бинома Ньютона). Имеет место равенство

Доказательство. Доказательство проведем методом математической индукции.

1.При n = 1 формула верна: 1 + x = 1 + x; поскольку C10 = C11 = 1:

2.Пусть формула верна при n = k:

3.Докажем, что она верна при n = k: Сначала докажем, что при 0 k n 1 имеем

Cnk + Cnk+1 = Cnk+1+1:

Действительно,

7

Далее имеем

= Ck0 + Ck1x + : : : + Ckkxk + Ck0x + Ck1x2 + : : : + Ckk 1xk + Ckkxk+1 =

m=0

Теорема доказана.

Следствие. Имеет место равенство

n

X

(a + b)n = Cnkan kbk:

k=0

Лекция 2

2Глава. Вещественные числа

2.1 Множество чисел как упорядоченное множество бесконечных десятичных дробей

Для строгого и последовательного изучения курса математического анализа необходимо знание теории вещественных чисел.

Прежде всего систематизируем известные из курса средней школы вопросы теории рациональных чисел.

Пусть N множество натуральных чисел, Z множество целых чисел.

Рациональным называется число представомое в виде дроби mn ; ãäå m целое и n натуральное.

Рациональные числа обладают следующими 16 основными свойства-

ìè.

1.Любые два числа a и b сиязаны одним и только одним из трех знаков >; < или = : Это правило называют правилом упорядочения.

8

2.Для любых двух чисел a и b определено третье число c; называемое их суммой и обозначаемое символом c = a + b: Эту операцию называют операцией сложения.

3.Для любых двух чисел a и b определено третье число c; называемое их произведением и обозначаемое символом c = ab: Эту операцию называют операцией умножения.

Правило упорядочения обладает свойством:

4.Из a > b и b > c вытекает,что a > c; из a = b и b = c вытекает, что a = c: Это свойство транзитивности знака > и знака = :

Операция сложения обладает следующими четырьмя свойствами:

5.a + b = b + a (коммутативность).

6.(a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность).

7.Существует число 0 (нуль) такое, что a + 0 = a для любого a:

8.Для каждого числа a существует противоположное ему число a0 такое, что a + a0 = 0:

Аналогичными четырьмя свойствами обладаеь операция умножения:

9.ab = ba:

10.(ab)c = a(bc):

11.Существует число 1 (единица) такое, что a1 = a для любого числа a:

12.Для каждого числа a 6= 0 существует обратное ему число a0 такое, ÷òî aa0 = 1:

Операция сложения и умножения связаны следующим свойством:

13.(a + b)c = ac + bc (дистрибутивность).

Следующие два свойства связывают операцию упорядочения с операциями сложения и умножения:

14.Из a > b вытекает, что a + c > b + c при любом c:

9

15.Из a > b и c > 0 вытекает, что ac > bc:

16.Каково бы ни было число a; найдется натуральное число n такое, что n > a (свойство Архимеда).

Эти свойства называют основными. Все другое алгебраические свойства могут быть извлечены как логические следсвия из указанных 16 свойств.

Рассмотрим геомотрическую прямую. Отметим на ней точку O (наало отсчета), масштабный отрезок OE; длину которого примем равной единице, и положителное направление отсчета от O к E: Будем назы-

вать такую прямую числовой осью или числовой прямой. Очевидно, что каждому рациональному числу на числовой прямой соответствует определенная точка.

Заметим, что не каждой точке числовой оси соответствует рацоинаьное число. Так, например, длина диагонали квадрата со стороной OE является корнем уравнения x2 = 2 и, как известно, это число не являет-

ся рациональным.

Естественно, возникает потребность расширить множество рациональных чисел так, чтобы каждой точке числовой оси соответствовало некоторое число из этого более широкого множества. Посредством измерения длины отрезка OM каждой точке M числовой оси можно поставить

в соответствие вполне определенную положительную беконечную десятичную дробь a0; a1a2 : : : an : : : ; если точка M лежит правее точки O; и отрицательную a0; a1a2 : : : an : : : ; если точка M лежит левее точки O: (Если в процессе измерения мы получаем конечную десятичную дробь, то припосываем далее нули a0; a1a2 : : : an000 : : :.) Заметим, что перевести рациональное число m

n в бесконечную десятичную дробь можно просто, поделив m на n столбиком .

Важно отметить, что рациональное число a0; a1a2 : : : an; ãäå an 6= 0; можно записать в виде двух бесконечных десятичных дробей:

1) a0; a1a2 : : : an000 : : : ; 2)a0; a1a2 : : : (an 1)999 : : : .

Естественно, что мы должны отождествить указанные две бесконеч- ные десятичные дроби.

Рассмотрим два числа a и b; представленных бесконечными десятич- ными дробями

a = a0; a1a2 : : : an : : : ; b = b0; b1b2 : : : an : : : ;

10