lektsii_141_matan1

где из двух знаков в каждом представлении берется какой-то один.

Называем два числа a и b равными, если дроби имеют одинаковые знаки и если либо справедлива цепочка равенств

либо дроби являются двумя представлениями одного и того же рациональноо числа,представимого конечной десятичной дробью.

Будем называть модулем числа a; представимого бесконечной де-

сятичной дробью, число, представимое той же самой дробью, что и число a; но всегда взятой со знаком +:

Модулем числа a будем обозначать символом jaj: Пусть даны два неравных числа a и b:

1.Пусть оба числа неотрицательные. Будем считать, что a > b;

åñëè

a0 = b0; a1 = b1; : : : ; ak 1 = bk 1; ak > bk:

2.Пусть оба числа отрицаельные. Будем считать, что a > b; если jbj > jaj:

3.Пусть теперь a неотрицательно, а b отрицательно. Тогда a > b

Чтобы сформулированное правило упорядочения было корректным, докажем следующую теорему.

Теорема 2.1.1. Åñëè a0; a1a2 : : : an : : :- неотрицательное число, а b0 = b0; b1b2 : : : bn 1bn000 : : : è b00 = b0; b1b2 : : : bn 1(bn 1)999 : : : ïðè bn > 0-äâà

различных представления рационального числа b0; b1b2 : : : bn; то условие a < b0 эквивалентно условию a < b00; а условие a > b0 эквивалентно

условию a > b00:

Доказательство. Докажем,что 1) из a < b0 вытекает a < b00 è 2) èç a < b00 вытекает a < b0:

Пусть a < b0: Тогда

a0 = b0; a1 = b1; : : : ; ak 1 = bk 1; ak < bk:

Очевидно, что k n:

Если k < n; то, поскольку при k < n все десятичные знаки до порядка k у b0 è b00 совпадают, условия a < b0 è a < b00 эквивалентны.

11

Пусть k = n; тогда a0 = b0; a1 = b1; : : : ; an 1 = bn 1; an < bn: Ñëå-

довательно, an bn 1: Åñëè ïðè ýòîì an < bn 1; то по правилу упорядочения a < b00:

Åñëè æå an = bn 1; то все десятичные знаки у чисел a и b00 äî порядка n совпадают. Так как у числа b00 все десятичные знаки порядка,

большего n; равны девяти, то и в этом случае a < b00, поскольку у числа a все десятичные знаки порядка, большего n; не могут быть равны девяти (в силу того, что a не равноb). Итак, утверждение 1) доказано.

Докажем утверждение 2). Пусть a < b00. Переобозначим

b0 = b00; b01b02 : : : b0n : : : è b00 = b000; b001b002 : : : b00n : : :

. Тогда

b00 = b000; b01 = b001; : : : ; b0n 1 = b00n 1; b0n > b00n:

Òàê êàê a < b00; то найдется ноиер k такой, что

a0 = b000; a1 = b001; : : : ; ak 1 = b00k 1; ak < b00k:

Åñëè k < n; òî

a0 = b00; a1 = b01; : : : ; ak 1 = b0k 1; ak < b0k:

Åñëè k n; òî

a0 = b00; a1 = b01; : : : ; an 1 = b0n 1; an < b0n:

То есть в любом случае a < b0 и утверждение 2) доказано. Остальное доказать самостоятельно.

Эта теорема позволяет при упорядочении двух неравных чисел не заботиться о том, какое из двух возможных представлений в виде бесконечной десятичной дроби взято для числа, представимого конечной десятичной дробью.

Нетрудно доказать свойство транзитивности знаков > и = (свойство 4 из перечисленных ранее 16 свойств). Доказать самостоятельно!

12

2.2Ограниченные множества чисел. Верхняя и нижняя грани числовых множеств

Пусть X- множество чисел, представимых бесконечными десятичными дробями.

Определение 2.1. Множество X называется ограниченным сверху, если сучествует число M такое, что любой элемент x 2 X удовлетво-

ряет условию

x M:

Число M называем при этом мажорантой.

Определение 2.2. Множество X называется ограниченным снизу, если сучествует число m такое, что любой элемент x 2 X удовлетво-

ðÿåò

x m:

Число m называем при этом минорантой.

Определение 2.3. Множество X называется ограниченным , если оно ограниченно и сверху, и снизу.

Очевидно, что ограниченное сверху (снизу) множество имеет бесконечное множество мажорант (минорант). Нас будет интересовать вопрос существования наименьшей мажоранты (наибольшей миноранты).

Наименьшая из всех мажорант ограниченного сверху множества называется верхней гранью этого множества и обозна- чается символом sup X.

Наибольшая из всех минорант ограниченного снизу множества называется нижней гранью этого множества и обознача- ется символом inf X.

Сформулируем последние определения по-другому: a = sup X; ес-

ëè

13

Теорема 2.2.1. У любого непустого ограниченного сверху множества существует верхняя грань.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, кода среди элементов множества X есть х о т я б ы о д н о неотрицательное число.

Рассмотрим целые части неотрицательных чисел, принадлежащих множеству X. В силу неравенства x M все целые части не превосходят

M; а поэтому найдется наибольшее число среди них, которое обозначим через a0: Рассмотрим множество элементов x 2 X; целые части которых равны a0; и первые десятичные знаки после запятой этих элементов. Наибольший среди них обозначим через a1: Рассмотрим множество элементов x 2 X; целые части которых равны a0; а первый десятичный знак после запятой равен a1: Наибольший второй десятичный знак этих чисел обозначим через a2: Продолжая далее аналогичные действия, мы последовательно определим десятичные знаки некоторого числа

a = a0; a1a2 : : : an : : : :

Докажем, во-первых, что число a является мажорантой множества X: Так как a 0; то любое любое отрицательное число из множества X меньше a: Остается доказать, что любой неотрицательный элемент x 2 X удовлетворяет условию x a:

Предположим, что некоторый неотрицательный элемент x = x0; x1x2 : : : xn : : :

множества X не удовлетворяет неравенству x a: Тогда x > a; и найдется номер k такой, что x0 = a0; x1 = a1; : : : ; xk 1 = ak 1; xk > ak: Но последние соотношения противоречат построению числа a: Итак, мы доказали, что число a - мажоранта множества X:

Докажем теперь, что число a - наименьшая мажоранта. Пусть a0 =

a00; a01a02 : : : a0n : : : -призвольное число, удовлетворяющее условию a0 < a: Åñëè a0 является отрицательным, то неравенству x > a удовлетворяет

любой неотрицательный элемент множества X ( по предположению хотя

бы один такой элемент существует).

Остается рассмотреть случай, когда число a0; удовлетворяющее условию a0 < a; является неотрицательным. Так как a0 < a; то найдется номер m такой, что

a00 = a0; a01 = a1; : : : ; a0m 1 = am 1; a0m < am:

С другой стороны, из построения числа a вытекает, что для любого номера m найдется элемент x 2 X такой, что

x0 = a0; x1 = a1; : : : ; xm = am;

14

и, значит, x > a0: Таким образом мы доказали, что число a является наименьшей мажорантой, т.е. a = sup X:

Нетрудно сообразить, как изменится доказательство в случае, когда все элементы множества X отрицательные (Доказать самостоятельно!)

Очевидно, что справедлива аналогичная теорема о существовании нижней грани.

Теорема 2.2.2. У любого непустого ограниченного снизу множества существует нижняя грань.

2.3 Приближение вещественных чисел рациональными числами

Рассмотрим ради определенности неотрицательное число

a = a0; a1a2 : : : an : : : : Тогда два рациональных числа 1 = a0; a1a2 : : : an è 2 = a0; a1a2 : : : an + 10 n удовлетворяют неравенству

1 a 2 è 2 1 = 10 n:

Убедимся в том, что для любого положительного рационального числа ; начиная с некоторого номера, справедливо неравенство 10 n < :

Действительно, в силу аксиомы Архимеда (свойство 16) найдется лишь конечное число натуральных чисел, не превосходящих числа 1= :

Значит, лишь для конечного числа номеров n справедливо неравенство 10n 1= èëè 10 n : Для всех остальных номеров n справедливо противоположное неравенство 10 n < ; что и требовалось доказать.

На основании доказанного мы можем сформулировать лемму.

Лемма 2.3.1. Для любого числа a и любого рационального числа > 0 найдутся два рационаьных числа 1 è 2 такие, что 1 a 2 è 2

1 < :

Докажем еще две леммы.

Лемма 2.3.2. Для любых двух чисел a и b; удовлетворяющих условию a > b; найдется рациональное число такое, что a > > b:

15

Доказательство. Пусть числа a = a0; a1a2 : : : an : : : è b = b0; b1b2 : : : bn : : :

неотрицательны, причем в случае, если a является рациональным, возь-

мем его представление десятичной дробью, заканчивающейся бесконеч- ным числом девяток. Тогда найдется номер k такой, что

a0 = b0; a1 = b1; : : : ; ak 1 = bk 1; ak > bk;

и все десятичные знаки an при n > k не могут быть равны нулю. Тогда число a можно записать в виде

a = a0; a1a2 : : : ak00 : : : 0ap : : : (ap > 0):

Тогда в качестве искомого числа можно взять число

= a0; a1a2 : : : ak00 : : : 0(ap 1)999 : : : :

Случай, когда оба числа неположительны рассматривается аналогич- но. Если b < 0; а a > 0; то в качестве числа можно взять ноль.

Лемма 2.3.3. Пусть x1 è x2-два числа, и для любого положительного рационального числа найдутся два рациональных числа 1 è 2 такие, ÷òî

1 x1 2; 1 x2 2; 2 1 < :

Тогда x1 = x2:

Доказательство. Предположим противное, т. е. предположим, что x1 6= x2: Пусть x1 < x2: В силу леммы 2 найдутся два рациональных числа 1 è 2 такие, что

x1 < 1 < 2 < x2:

Пусть теперь 1 è 2 - какие угодно рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам 1 x1 2; 1 x2 2: Тогда 1 < 1 < 2 < 2 è 2 1 > 2 1; что противоречит тому, что разность 2 1 может быть сделана меньше любого наперед взятого положительного рационального числа :

2.4Операции сложения и умножения

Суммой двух чисел a и b; представимых бесконечными десятичными дробями, назовем число c; представимое бесконечной

16

десятичной дробью, такое, что для любых рациональных 1; 2; 1; 2; удовлетворющих условиям 1 a 2; 1 b 2; выполняются неравенства

1 + 1 c 2 + 2:

Это число c обозначим символом a + b:

Определение 2.7. Произведением двух положительных чисел a и b; представимых бесконечными десятичными дробями, назовем число c;

представимое бесконечной десятичной дробью, такое, что для любых рациональных 1; 2; 1; 2; удовлетворющих условиям 0 < 1 a2; 0 < 1 b 2; выполняются неравенства

1 1 c 2 2:

Это число c обозначим символом ab:

Множество чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, для которых определены операции упорядочения, сложения и умножения, будем называть множеством вещественных чисел и обозначать буквой R или числовой прямой и обозначать символом (1; +1):

Докажем теорему о существовании и единственности суммы вещественных чисел.

Теорема 2.4.1. Для любых вещественных чисел a и b существует и причем единственное число c; являющееся их суммой.

Доказательство. Фиксируем произвольные рациональные числа 2 è2; удовлетворяющие неравенствам a 2; b 2; и рассмотрим всевозможные рациональные 1 è 1; удовлетворяющие условиям 1 a;1 b: Тогда справедливо неравенство

1 + 1 2 + 2;

которое означает огранниченность сверху множества f 1 + 1g è òîò факт, что число 2 + 2 является одной из мажорант этого множества. В силу теоремы о существовании верхней грани у множества f 1 + 1g существует верхняя грань, которую обозначим через c: Очевидно, что выполняется неравенство

1 + 1 c 2 + 2;

17

и значит, число c является суммой a + b:

Осталось доказать единственность суммы. Предположим, что существуют два числа c1 è c2; удовлетворяющих неравествам

1 + 1 c1 2 + 2

è

1 + 1 c2 2 + 2

для любых рациональных 1; 2; 1; 2; удовлетворющих условиям

1 a 2; 1 b 2:

Фиксируем произвольное положительное рациональное число : В силу леммы 1 из п.3 найдутся рациональные 1 è 2 такие, что 1 a 2;2 1 < =2; и рациональные 1 è 2 такие, что 1 b 2; 2 1 < =2: Тогда, положив 1 = 1 + 1; 2 = 2 + 2; имеем

1 c1 2; 1 c2 2;

а также

2 1 = ( 2 1) + ( 2 1) < :

В силу леммы 3 п.3 приходим к заключению, что c1 = c2:

Аналогично доказывается существование и единственность произведения положительных чисел.

Далее, для любого числа a полагаем

a 0 = 0 a = 0

и для произвольных отличных от нуля чисел a и b полагаем

З а м е ч а н и е. Нетрудно убедится, что в применении к двум рациональным числам данные определения суммы и произведения вещественных чисел приводят к тому же результату, что и прежние определения суммы и произведения рациональных чисел.

18

Нетрудно убедиться в справедливости для вещественных чисел всех перечисленных ранее 16 основных свойств, к которым добавим еще одно, уже доказанное, свойство полноты:

17. У всякого ограниченного сверху (снизу) множества существует верхняя (нижняя) грань.

Отметим, что свойством полноты множество рациональных чисел не обладает.

2.5Свойства верхних и нижних граней

Построив теорию вещественного числа, обратим еще внимание на понятия верхней и нижней грани числового множества.

Во-первых, сами определения можно сформлировать в следующем виде:

2) 8 > 0 9x 2 X x > a ;

è a = inf X; åñëè

1)8x 2 X x a;

2)8 > 0 9x 2 X x < a + :

Во-вторых, сформулируем несколько свойств граней:

1.8x 2 X x a(x a) ) sup X a(inf X a)

переход к грани в неравенстве ;

Лекция 3

2.6Счетные и несчетные множества

Важным вопросом при изучении множеств является вопрос о том, как сравнивать между собой два множества, имея в виду

количество элементов, в них содержащихся.

19

Определение 2.8. Назовем два множества A и B равномощными или

эквивалентными, если между ними существует взаимно однозначное соответствие. Эквивалентность множеств A и B будем обозначать

A v B:

Определение 2.9. Множество называем счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

Пример . Множество целых чисел Z является счетным (Доказать!)

Другими словами, элементы счетного множества можно занумеровать каким-нибудь способом.

Теорема 2.6.1. Всякое бесконечное подмножество счетного множества является счетным.

Доказательство. Пусть множество A - счетное и B - его бесконечное подмножество. Расположим элементы множества A в виде последовательности: a1; a2; : : : ; an; : : : : Åñëè a1 2 B; то этот элемент обозначим через b1; åñëè a1 2= B; переходим к рассмотрению элемента a2: Åñëè a2 2 B; то обозначим a2 через b2 при улсловии,что a1 2 B; и через b1 в противном случае. Продолжая таким образом далее, мы расположим все элементы множества B в виде последовательности, что означает счетность множества B:

Теорема 2.6.2. Объединение последовательности счетных множеств является счетным множеством.

Доказательство. Пусть A1; A2; : : : ; An; : : : - последовательность счетных множеств. Тогда

n=1

образом:

a1 = a11; a2 = a21; a3 = a12; a4 = a31; a5 = a22; a6 = a13 è ò. ä.

У некоторых множеств Ai è Aj(i 6= j) могут оказаться общие элементы. В этом случае учитываем их только один раз.

Таким образом, элементы множенства A будут занумерованы.

20