lektsii_141_matan1

ãäå

Mk0 (x xk 1) + Mk00(xk x ) Mk[(x xk 1) + (xk x )] = Mk xk:

Так как все другие слагаемые в выражении для верхней суммы сохранятся, то мы доказали, что при добавлении точки x верхняя

сумма может только уменьшиться.

s(P1) s(P ) S(P ) S(P2)

Следствие. Множество нижних сумм fs(P )g ограничено сверху, а множество верхних сумм fS(P )g ограничено снизу.

4. 8P 8 > 0 9 P 0 S(P ) (P; P ) < (0 (P; P ) s(P ) < ):

Доказательство. Согласно определению верхней грани для любо-

81

Следствие. Для любого разбиения P

S(P ) = sup (P; P ); s(P ) = inf (P; P ):

Определение 8.5. Верхний интеграл Дарбу от функции f определяется равенством

I := inf S(P );

P

нижний интеграл Дарбу -

I := sup s(P ):

P

Заметим, что определение верхнего и нижнего интегралов корректно с силу следствия свойства 3.

Лемма 8.2.1. Справедливо неравенство I I:

Доказательство. Воспользуемся свойством 3 и в неравенстве s(P1) S(P2); зафиксировав разбиение P2; перейдем к верхней грани по всем разбиениям P1: Получим неравенство I S(P2): Осталось перейти к нижней грани по всевозможным разбиениям P2:

Лемма 8.2.2. Пусть разбиение P получено из разбиения P добавлением l новых точек, d- диаметр разбиения P;

M = sup f(x); m = inf f(x):

Доказательство. Пусть к точкам разбиения P добавлена одна точка x 2 (xk 1; xk): Тогда, используя обозначения из доказательства свойства 2, имеем

S(P ) S(P ) = Mk xk [Mk0 (x xk 1) + Mk00(xk x )]

M xk m[(x xk 1) + (xk x )] = (M m) xk (M m)d:

Остальное очевидно.

82

Определение 8.6. Число A называют пределом верхних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения d к нулю и обозначают A = lim S(P );

d!0

åñëè

8 > 0 9 > 0 8P (d(P ) < ) jS(P ) Aj < ):

Аналогично определяется lim s(P ):

d!0

Лемма 8.2.3. (Основная лемма Дарбу). Верны равенства

Доказательство. Докажем первое равенство.

Заметим, что если f(x) = c = const; то для любого разбиения P S(P ) =

= c(b a) = I: Поэтому I = lim S(P ):

Возьмем произвольное число > 0: По определению верхнего интеграла найдется разбиение P такое, что S(P ) I < =2: Обозначим через l число точек разбиения P ; не совпадающих с концами отрезка [a; b]:

Пусть теперь P - произвольное разбиение отрезка, диаметр которого удовлетворяет неравенству d < = =[2l(M m)]: Построим разбиение P 0 = P SP : По предыдущей лемме

0 S(P ) S(P 0) (M m)ld < =2:

Òàê êàê P P 0; òî I S(P 0) S(P ); и следовательно,

0 S(P 0) I S(P ) I < =2:

Тогда

0 S(P ) I = (S(P ) S(P 0)) + (S(P 0) I) < =2 + =2 =

для любого разбиения P; диаметр которого d < : То есть I = lim S(P ):

d!0

Аналогично доказывается второе равенство.

83

8.3Критерий интегрируемости. Некоторые классы интегрируемых функций

Теорема 8.3.1. (критерий интегрируемости). Пусть функция f определена и ограничена на отрезке [a; b]: Тогда следующие условия эквивалентны:

1)f интегрируема;

2)8 > 0 9P S(P ) s(P ) < ;

3)I = I:

Доказательство. I) Пусть выполняется условие 1), т.е. функция f интегрируема. Тогда

8 > 0 9 > 0 8(P; P ) (d(P ) < ) j (P; P ) Ij < =4):

Согласно свойству 4 сумм Дарбу для разбиения P найдутся системы

При этом также выполняются неравенства

j (P; P0 ) Ij < =4; j (P; P00 ) Ij < =4:

Тогда

jS(P ) s(P )j = j(S(P ) ( (P; P0 ))+( (P; P0 ) I)+(I (P; P00 ))+( (P; P00 ) s(P ))j

jS(P ) ( (P; P0 )j + j (P; P0 ) Ij + jI (P; P00 )j + j (P; P00 ) s(P )j < < 4 + 4 + 4 + 4 = ;

то есть выполняется условие 2).

II) Пусть теперь выполняется условие 2), т.е. 8 > 0 9P S(P ) s(P ) < : Так как при этом s(P ) I I S(P ); òî

0 I I S(P ) s(P ) < : В силу произвольности числа > 0 приходим к равенству

I I = 0 , I = I:

84

Таким образом выполняется условие 3).

III) Пусть выполняется условие 3), т. е. I = I = A: Согласно основной лемме Дарбу

8 > 0 9 > 0 8P (d(P ) < ) (S(P ) A < ^ A s(P ) < )):

Так как при любом выборе системы промежуточных точек P выполня- ется условие s(P ) (P; P ) S(P ); òî

A < s(P ) (P; P ) S(P ) < A +

и, следовательно,

j (P; P ) Aj < :

Таким образом доказано, что существует предел

lim (P; P ) = A;

d!0

а значит функция f интегрируема и

b

Z

f(x)dx = A = I = I:

a

Теорема полностью доказана.

Теорема 8.3.2. (об интегрируемости непрерывной функции). Непрерывная на отрезке функция интегрируема на нем.

Доказательство. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a; b] и > 0 - произвольное число. Согласно теореме Кантора функция f равномерно непрерывна на отрезки, следовательно, найдется число > 0 такое, что если 0 è 00 - любые точки отрезка [a; b]; для которых j 0 00j < ; òî jf( 0) f( 00)j < =(b a): Если взять разбиение P отрезка [a; b] с диаметром d < ; то Mk mk < =(b a): Тогда

Согласно предыдущей теореме функция f интегрируема.

85

Теорема 8.3.3. (об интегрируемости монотонной функции). Монотонная на отрезке функция интегрируема на нем.

Доказательство. Если функция f(x) = c = const; то, очевидно, функ-

ция интегрируема и

b

Z

f(x)dx = c(b a):

a

Пусть f не тождественно константа, и пусть f " : Возьмем произвольное число > 0 и = =(f(b) f(a)): Тогда для разбиения P с диаметром d < будем иметь

А значит, функция интегрируема.

Теорема 8.3.4. Пусть функция f определена и ограничена на отрезке [a; b]; и для любого числа > 0 найдется конечное число интервалов, по-

крывающих все точки разрыва этой функции и имеющих общую сумму длин, меньшую : Тогда функция f интегрируема на отрезке [a; b]:

кроем точки разрыва функции f конечным числом интервалов ( i; i); i = 1; : : : ; l, сумма длин которых Pli=1( i i) < =2 (M m):

Множество

l

[

A = [a; b] n ( i; i)

i=1

представляет собой конечное число непересекающихся отрезков. В силу теоремы Кантора функция f; будучи непрерывной, равномерно непре-

рывна на каждом из этих отрезков. Поскольку этих отрезков конеч- ное число, то найдется > 0 такое, что для любых двух точек x и x0;

принадлежащих любому из этих отрезков и удовлетворяющих условию jx x0j < ; выполняется неравенство

86

Построим разбиения указанных отрезков с диаметром d < : Объединение точек всех этих разбиений бедет представлять собой разбиение P отрезка [a; b]; среди отрезков k которого будут присутствовать отрезки

[ i; i]; i = 1; : : : ; l: Тогда

где в сумму с одним штрихом отнесены слагаемые, соответствующие отрезкам [ i; i]; i = 1; : : : ; l; а в сумму с двумя штрихами - все остальные.

В силу сказанного выше, имеем

что означает интегрируемость функции f:

Следствие. Ограниченная на отрезке функция, имеющая лишь конечное число точек разрыва, интегрируема на нем.

Замечание. Пусть функция f интегрируема на отрезке [a; b]; а функция g совпадает с функцией f во всех точках отрезка, кроме, быть может, конечного числа точек. Тогда функция g интегрируема на отрезке [a; b]

ZZ

f(x)dx = g(x)dx:

aa

87

Лекция 13

8.4Свойства интеграла Римана

Для сокращения формулировок далее будем обозначать класс функций, интегрируемых на отрезке [a; b]; символом R[a; b]:

Теорема 8.4.1. (линейность интеграла). Если f; g 2 R[a; b]; 2 R;

òî f + g; f 2 R[a; b] è

bb

ZZ

f(x)dx = f(x)dx:

aa

a a c

Доказательство. Необходимость. Пусть f 2 R[a; b] и > 0 - произвольное число. Тогда найдется разбиение P = P[a;b] такое, что S(P ) s(P ) < :

S(P ) s(P ) S(P ) s(P ) < :

Рассмотрим разбиение P как объединение разбиений отрезков [a; c] и [c; b];

ò. å. [ [

P = P[0a;c] P[00c;b] = P 0 P 00:

88

Очевидно, что

S(P 0) s(P 0) S(P ) s(P ) < ; S(P 00) s(P 00) S(P ) s(P ) < :

В силу критерия интегрируемости, это означает, что f 2 R[a; c] и f 2 R[c; b]:

Достаточность. Пусть f 2 R[a; c] и f 2 R[c; b] и > 0 - произвольное число. Тогда найдутся разбиения P 0 = P[0a;c] è P 00 = P[00c;b] такие, что

Это означает, что f 2 R[a; b]:

Для доказательства равенства для интегралов возьмем разбиение, содержащее точку c;

[

P = P[a;b] = P[0a;c] P[00c;b];

и систему промежуточных точек

[

P = P 0 P 00:

Очевидно равенство

(P; P ) = (P 0; P 0) + (P 00; P 00):

Осталось перейти в этом равенстве к пределу при d(P ) ! 0:

Соглашение. Будем считать:

89

Тогда для любых a; b; c имеет место равенство

Теорема 8.4.3. (другие операции над интегрируемыми функциями).

Mk(jfj) mk(jfj) Mk(f) mk(f);

и, следовательно,

S(jfj; P ) s(jfj; P ) S(f; P ) s(f; P ) < :

Согласно критерию интегрируемости, jfj 2 R[a; b]:

2. Докажем сначала, что функция f2 интегрируема. Из интегрируе- мости функции f вытекает ее ограниченность, т. е.

9A > 0 8x 2 [a; b] jf(x)j A:

Тогда если ; 2 k; òî

f2( ) f2( ) = (f( ) + f( ))(f( ) f( ))

2A(f( ) f( )) 2A(Mk(f) mk(f))

и, следовательно,

S(f2; P ) s(f2; P ) 2A(S(f; P ) s(f; P )) < 2A :

90