lektsii_141_matan1

то в силу порядкового признака существования предела последователь-

ности сушествует lim h(xn) = A: Согласно определению предела по

n!x0

Гейне lim h(x) = A:

x!x0

Теорема 4.4.4. Функция, имеющая предел в точке x0; ограничена в

некоторой проколотой окрестности

O(x0) точки x0:

Доказательство. Воспользуемся определением предела по Коши, взяв конкретное число : Остальное очевидно.

Теперь обсудим вопрос вычисления пределов сложных функций.

Теорема 4.4.5. Пусть lim g(x) = y0 и для всех x из некторой проко-

x!x0

лотой окрестности точки x0 g(x) 6= y0; и пусть

lim f(y) = A

y!y0

Тогда

lim f(g(x)) = A:

x!x0

Доказательство. Воспользуемся определением предела по Гейне. Возьмем произвольную последовательность (xn) точек из упомянутой в формулировке проколотой окрестности такую, что xn ! x0; xn 6= x0:

Тогда имеем

yn = g(xn) ! y0 è yn 6= y0:

И далее

f(g(xn)) = f(yn) ! A:

Это означает, что

lim f(g(x)) = A:

x!x0

При вычислении пределов чаще сталкиваются с ситуацией, описанной в следующей теореме.

lim f(g(x)) = f(y0):

x!x0

Доказательство. Доказать самостоятельно!

41

4.5Предел функции в бесконечно удаленной точке

Определение 4.9. (предела по Коши)

Замечание. Все, что было доказано по отношению к пределу функции в конечной точке, справедливо для предела в бесконечно удаленной точке.

42

4.6Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 4.12. Функцию f называют бесконечно малой в точке x0 2 R (или говорят при x ! x0), åñëè lim f(x) = 0:

Сформулируем несколько очевидных утверждений.

2. Сумма конечного числа бесконечно малых в точке x0 есть беско- нечно малая в этой точке.

3. Произведение функции, бесконечно малой в точке x0; и функции,

ограниченной в некоторой проколотой окрестности

O(x0); åñòü ôóíê-

ция бесконечно малая в точке x0:

4.Произведение конечного числа функций, бесконечно малых в точке x0; есть функция бесконечно малая в точке x0:

Определение 4.13. Пусть x0 2 R:

1)Функция f называется положительно бесконечно большой в точ- ке x0; åñëè

8 9 8 2

M > 0 O(x0) : x O(x0) f(x) > M:

Этот факт выражают формулой lim f(x) = +1:

x!x0

2) Функция f называется отрицательно бесконечно большой в точке x0; åñëè

3) Функция f называется бесконечно большой в точке x0; åñëè

Этот факт выражают формулой lim f(x) = 1:

x!x0

43

Теорема 4.6.1. Пусть функция f отлична от нуля в некоторой проколотой окрестности точки x0 2 R: Тогда

Замечание. Иногда приходится уточнять: говорить о бесконечно больших функциях при x ! x0 + 0; èëè x ! x0 0:

Лекция 6

5Глава. Непрерывность функции

5.1Непрерывность функции в точке

Определение 5.1. Пусть функция f определена на множестве X и точка x0 - предельная точка множества X: Функция f называется непрерывной в точке x0; если выполнено одно из следующих эквивалентных условий:

1) 8 > 0 9 > 0 8x 2 X (jx x0j < ) jf(x) f(x0)j < ) (ïî Êîøè);

2) 8O(f(x0)) 9O(x0) : f(O(x0)) O(f(x0));

3) для любой последвательности (xn) точек множеcтва X такой, что xn ! x0; выполняется условие f(xn) ! f(x0) при n ! 1 (по Гейне);

4) lim f(x) = f(x0);

x!x0

5) f(x) = f(x0) + (x); где (x) - бесконечно малая при x ! x0:

Эквивалентность этих условий следует из доказанных ранее теорем о пределах.

Замечание.Точка, принадлежащая множеству X и не являющаяся

предельной точкой этого множества, называется изолированной точкой множества. Если применить определение непрерывности по Коши (т.е. условие 1) предыдущего определения), то любая функция, область определения которой имеет изолированную точку, будет непрерывна в ней. Таким образом, это мало содержательный случай, и мы не будем больше о нем говорить.

44

Определение 5.2. Функция f называется непрерывной справа в точке x0; åñëè

непрерывной слева½ если

Из доказанного ранее об односторонних пределах также вытекает следующая теорема.

Теорема 5.1.1. Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в ней одновременно справа и слева.

Следующие свойства непрерывных функций вытекают из соответствующих свойств пределов.

Пусть функции f; g непрерывны в точке x0: Тогда в точке x0 имеем:

1)af + bg непрерывна при любых a; b 2 R;

2)fg непрерывна;

3)f=g непрерывна, если g(x0) 6= 0;

4)åñëè f(x0) 6= 0; то найдется окрестность O(x0) такая, что 8x 2

O(x0) f(x)f(x0) > 0 (т.е. f(x) сохраняет знак);

5)функция f ограничена в некоторой окресности точки x0 (ò.å. ôóíê- ция f локально ограничена).

Èнаконец, теорема о непрерывности сложной функции.

Теорема 5.1.2. Если функция g непрерывна в точке x0; а функция f непрерывна в точке y0 = g(x0); то функция f g непрерывна в точке x0:

5.2Непрерывность функции на множестве

Определение 5.3. Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого мнжества.

Функцию называют непрерывной, если она непрерывна на всей своей области определения.

45

Теорема 5.2.1. (об обращении функции в нуль). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a; b] и f(a)f(b) < 0: Тогда найдется точка c 2 [a; b] такая, что f(c) = 0:

Доказательство. Разделим отрезок [a; b] пополам точкой x1 = a+2 b : Åñëè f(x1) = 0; то все доказано. Если нет, то из двух отрезков [a; x1] è [x1; b]

выберем тот, на концах которого функция принимает значения разных знаков. Переобозначим его симолом [a1; b1]:

Ñотрезком [a1; b1] поступим аналогичным образом. И так далее. Если

âпроцессе деления очередного отрезка мы так и не получим точку, в которой фукция обращается в нуль, то образуется последовательность ([an; bn]) стягивающихся отрезков. Пусть x0 - их общая точка. Тогда an !

x0 è bn ! x0: Поскольку функция f непрерывна, то f(an) ! f(x0) è f(bn) ! f(x0): Òàê êàê f(an)f(bn) < 0; òî

lim f(an)f(bn) = f2(x0) 0:

n!1

Следовательно, f(x0) = 0; что и требовалось доказать.

Теорема 5.2.2. (Коши о промежуточеых значениях функции). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a; b]; f(a) = A; f(b) = B; A 6= B и

C - любое число, промежуточное между A и B: Тогда найдется точка c 2 [a; b] такая, что f(c) = C:

Доказательство. Нужно рассмотреть функцию g(x) = f(x) C и применить к ней предыдущую теорему.

Если функция непрерывна на множестве, а само множество обладает некоторыми особыми свойствами, то функция, как оказавается, приобретает дополнительные свойства. Так происходит в случае, когда функция определена на отрезке, или (более общий случай) на компакте.

Определение 5.4. Множество X R называют компактом, если лю-

бая последовательность (xn) точек этого множства содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке x0 2 X:

Определение 5.5. Множество называют замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Определение 5.6. Точка x 2 X называется внутренней точкой множества, если существует окрестность O(x) X:

46

Определение 5.7. Множество называют открытым, если все его точ- ки являются внутренними.

Пример. Отрезок [a; b] - замкнутое, а интервал (a; b) - открытое множество.

Теорема 5.2.3. Всякий компакт является ограниченным множеством.

Доказательство. От противного. Пусть компакт X является неограни- ченным. Тогда 8n 2 N 9xn 2 X jxnj > n: Очевидно, что любая подпоследовательность последовательности (xn) неограничена, а следовательно не сходится. Это противоречит компактности множества. Теорема доказана.

Теорема 5.2.4. (критерий компактности). Множество является компактом тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть X - компакт. Ограниченность

компакта доказана в предыдущей теореме. Осталось доказать замкнутость множества. Пусть x0 - предельная точка множества X: Тогда найдется последовательность (xn) точек множества X; отличных от точки

x0; сходящаяся к точке x0: Согласно компктности множества найдется

подполедовательность (xnk ); сходящаяся к некоторой точке x00 2 X: С другой стороны, так как xn ! x0; òî xnk ! x0: Следовательно, x0 = x00 2

X:

2)Достаточность. Пусть множество X ограничено и замкнуто, а (xn)

-последовательность точек этого множесва. Тогда последовательность ограничена, и согласно теореме Больцано-Вейерштрасса у нее существует сходящаяся подпоследовательность (xnk ); xnk ! x0: Åñëè x0 совпа- дает с каким-либо членом xnk ; òî x0 2 X автоматически; если нет, то

x0 - предельная точка множества X: В силу замкнутости множества и в

этом случае x0 принадлежит X: Итак, xnk ! x0 2 X: Следовательно, X - компакт.

Пример. Отрезок [a; b] является компактом.

Теорема 5.2.5. В любом компакте существуют наименьший и наибольший элементы.

Доказательство. Поскольку компакт является ограниенным множетвом, то у него существуют нижняя и верхняя грани. Из определения нижней,

47

а также верхней грани следует, что грань множества является его предельной точкой. В силу замкнутости компакта они принадлежат множеству, а следовательно являются наименьшим и наибольшим элементами множества.

Теорема 5.2.6. (о непрерывном образе компакта). Пусть функция f непрерывна на множестве X и X - компакт . Тогда Y = f(X) тоже компакт.

Доказательство. Пусть (yn) - последовательность точек множества Y = f(X); и 8n 2 N xn 2 X такое, что f(xn) = yn: Поскольку X - компакт, то найдется подпоследовательность xkn ! x0 2 X при n ! 1: В силу непрерывности функции в точке x0 последовательность ykn = f(xkn ) ! f(x0) = y0 2 Y: Это означает, что Y - компакт.

Следствие 1. (первая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на компакте, то она ограничена на нем.

Следствие 2. (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на компакте, то она принимает на нем наименьшее и наибольшее значения.

5.3Равномерная непрерывность функции на множестве и теорема Кантора

Определение 5.8. Функция f называется равномерно непрерывной на множестве X; если

8 > 0 9 > 0 8x 2 X 8x0 2 X (jx x0j < ) jf(x) f(x0)j < ):

Замечание. Из равномерной непрерывности функции на множестве очевидным образом вытекает непрерывность функции в каждой точке этого множества.

Теорема 5.3.1. (Кантора). Пусть функция f непрерывна на множестве X и X - компакт. Тогда функция f равномерно непрерывна на множестве X:

Доказательство. От противного. Предположим, что f непрерывна на X; но не является равномерно непрерывной на нем. Тогда

9 0 > 0 8 > 0 9x0; x00 2 X такие, что jx0 x00j < ; íî jf(x0) f(x00)j 0:

48

Возьмем последовательность n = n1 è 8n 2 N найдем x0n; x00n; такие, что jx0n x00nj < n1 ; íî jf(x0n) f(x00n)j 0:

Так как X является компактом, то найдется подпоследовательность x0kn ! x0 2 X: Очевидно, что x00kn ! x0 2 X также. В силу непрерывности функ-

ции f имеем

f(x0kn ) ! f(x0); f(x00kn ) ! f(x0):

Следовательно, f(x0kn ) f(x00kn ) ! 0; что противоречит условию jf(x0n) f(x00n)j 0 > 0: Теорема доказана.

Лекция 7

5.4Точки разрыва функции. Монотонные функции. Непрерывность обратой функции

Определение 5.9. Пусть f : X ! R; x0 2 X: Точка x0 называется точкой разрыва функции f; если функция не является непрерывной в этой точке.

Определение 5.10. Точка x0; являющаяся точкой разрыва функции f; называется устранимой точкой разрыва, если существует предел

lim f(x) 6= f(x0):

x!x0

Определение 5.11. Точка разрыва x0 называется точкой разрыва пер- вого рода, если существуют конечные односторонние пределы f(x0 0); f(x0 + 0); íî f(x0 0) 6= f(x0 + 0):

Остальные точки разрыва называют точками разрыва второго рода, т.е. в этом случае хотя бы один из односторонних конечных пределов не существует.

Определение 5.13. Функция f называется неубывающей (невозрастающей) на множестве X; если

8x1; x2 2 X (x1 < x2 ) f(x1) f(x2) (f(x1) f(x2)) ):

Будем обозначать f " и f # соответственно.

49

Такие функции называют монотонными.

Определение 5.14. Функция f называется возрастающей (убываающей) на множестве X; если

8x1; x2 2 X (x1 < x2 ) f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)) ):

Будем обозначать f "" и f ## соответственно.

Такие функции называют строго монотонными.

Пусть функция f является монотонной на интервале

(a; b): Тогда в каждой точке x0 2 (a; b) у функции существуют односторонние пределы. Более того,

Множество ff(x) : x < x0g ограничено сверху (f(x0) - îäíà èç åãî

Остальное доказывается аналогично.

50