Лекции по аналитической геометрия

В.Е. Новиков

Саратов ۩ 2010

Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.

Обозначения:

— дизъюнкция, заменяет союз «или»;

— конъюнкция, заменяет союз «и»;

— эквивалентность, заменяет словесное выражение «тогда и только тогда»;

— объединение; — пересечение. — окончание утверждения или доказательства.

Нумерацияопределений, формулирисунковвкаждойглавеновая.

Глава 1. Алгебра свободных векторов

1. Свободные векторы и действия с ними.

Определение 1. Связным вектором в евклидовой плоскости или пространстве называется упорядоченная пара точек, первая называется началом, а вторая — концом вектора.

Связный вектор с началом в точке А и концом в точке В (см. рис. 1) обозначают символом AB . Вектор характеризуется длиной | AB | (длина отрезка АВ) и направлением от A к B.

AB CD , а если их направления противоположны, то — AB CD .

Связный вектор, у которого начало и конец совпадают, считают вектором нулевой длины и без направления (или произвольного направления) и называют нулевым связным вектором.

Определение 2. Два связных вектора AB и CD называются конгруэнтными, если они одинаковой длины и одинаково направлены, то есть | AB |=| CD | и AB CD . Обозначение:

AB CD .

Отношение конгруэнтности связных векторов обладает следующими свойствами:

1.Любой связный вектор конгруэнтен сам себе, то есть AB AB (рефлексивность конгруэнтности).

2.Если AB CD , то CD AB (симметричность конгруэнтности).

3.Если AB CD и CD EF , то AB EF (транзитивность конгруэнтности).

Таким образом, отношение конгруэнтности связных векторов является абстрактным отношением эквивалентности и разбивает всё множество связных векторов на классы конгруэнтных между собой векторов. Любой связный вектор из класса конгруэнтных между собой векторов называют представителем этого класса.

Определение 3. Класс конгруэнтных между собой векторов называется свободным век-

тором.

Свободные векторы будем обозначать строчными буквами латинского алфавита с чертой сверху ( a,b ,c,d ,...), иногда опуская слово «свободный».

Длиной и направлением свободного вектора a называется длина и направление любого его представителя. Длина свободного вектора обозначается | a | .

Если | a | =| b | и a b , то говорят, что вектор a равен вектору b и записывают a = b . Класс связных нулевых векторов называют нулевым вектором и обозначают 0 .

Если | a | =| b | и a b , то говорят, что векторы a и b называются противоположными, и это записывается a = – b или b = – a .

Определение 4. Векторы a и b называются коллинеарными, если их представители, отложенные от одной точки, располагаются на одной прямой, что записывается a || b .

Определение 5. Векторы a , b , c называются компланарными, если их представители, отложенные от одной точки, располагаются на одной плоскости. Запись Cp( a , b , c ) означает компланарность векторов a , b и c .

1

Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.

Определение 6. Пусть AB есть представитель вектора a , а BC — представитель вектора b , тогда вектор, определяемый представителем AС , называется суммой векторов a и b и

обозначается ( a + b ). См. рис. 2, 3, 4, правило «треугольника», «параллелограмма» и «многоугольника».

0 называется вектор a , длина которого равна | || a |, и одинаково направленный с вектором a , если > 0, противоположно направленный вектору a , если < 0. При этом полагаем

a = 0 тогда и только тогда, когда = 0 или a = 0 . Умножение вектора a на обратное число

2. Разложение вектора, базис и координаты.

Определение 8. Алгебраическая система на множестве V, с внутренней бинарной операцией (сложение) и внешней операцией (умножение на элементы некоторого поля k) называется линейным пространством V над k, если для этих операций выполняются свойства 1)-8) сложения векторов и умножения векторов на скаляры. При этом элементы базисного множества V линейного пространства называют векторами, а элементы поля k — скалярами.

Примеры.

1. Координатное линейное пространство kn = {(a1, a2, …, an) | ai k, 1 i n} над произволь-

ным полем k, где операции соответствующие определяются следующим образом: пусть k,

a, b kn, т.е. a = (a1, a2, …, an), b = (b1, b2, …, bn), тогда a + b := (a1 + b1, a2 + b2 , …, an + bn),

a := ( a1, a2, …, an).

(Свойства 1)-8) для этих операций проверить самостоятельно.)

2. Линейное пространство C[0,1] действительных функций, непрерывных на отрезке [0,1], для

которых операции определяются следующим образом: пусть R, f(x), g(x) C[0,1], тогда

(f + g)(x) := f(x) + g(x),

2

Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.

( f)(x) := f(x).

(Свойства 1)-8) для этих операций проверить самостоятельно.)

3.Линейное пространство R[x] многочленов с действительными коэффициентами относительно операций сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа.

4.Линейное пространство Mm n(k) матриц размерности m n над произвольным полем k относительно сложения матриц и умножения матриц на элементы поля k.

5.Линейное пространство свободных векторов на плоскости (V2) или в пространстве (V3). (Таким образом, все понятия и результаты, рассмотренные в линейных пространствах, естественно переносятся и на пространство свободных векторов).

Линейная зависимость и независимость

Определение 9. Вектор ā называется линейной комбинацией векторов ā1, ā2, …, ās, если найдутся такие скаляры λ1, λ2, …, λs, что выполняется следующее равенство:

ā= λ1ā1 + λ2ā2 + …+ λsās.

Вэтом случае также говорят, что вектор ā линейно выражается через векторы ā1, ā2, …, ās,

или линейно разложим по векторам ā1, ā2, …, ās.

Определение 10. Система векторов ā1, ā2, …, ās называется линейно зависимой, если существуют скаляры λ1, λ2, …, λs не все равные нулю (т.е. удовлетворяющие неравенству | λ1 | + | λ2 | + … + | λs | > 0), такие что выполняется следующее равенство

λ1ā1 + λ2ā2 +…+ λsās = 0 . (1)

Другими словами система векторов ā1, ā2,…, ās называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов равная нулю.

В противном случае система векторов ā1, ā2, …, ās называется линейно независимой. Подробнее, система векторов ā1, ā2, …, ās называется линейно независимой, если из равенства

(1) следует равенство λ1 = λ2 = … = λs = 0. Другими словами система векторов ā1, ā2, …, ās называется линейно независимой, если существует только тривиальная линейная комбинация этих векторов равная нулю.

ТЕОРЕМА 1.1 (Признак линейной зависимости).

Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один её вектор является линейной комбинацией других её векторов.

Доказательство. Докажем необходимость. Пусть система векторов ā1, ā2, …, ās линейно за-

висима. По определению существует λ1ā1 + λ2ā2 + … + λsās = 0 (2), где | λ1 | + | λ2 | + …

+ | λs | > 0. Пусть, не теряя общности, λ1 ≠ 0. Тогда из (2) следует ā1 = (– λ2/λ1)ā2 + (–λ3/λ1)ā3+ … + (– λs/λ1)ās, т.е. вектор ā1 является комбинацией других векторов этой системы.

Докажем достаточность. Пусть, не теряя общности, вектор ā1 линейно выражается через остальные векторы системы ā1, ā2,…, ās, т.е. ā1 = γ2ā2 + γ3ā3 + … +γsās. Тогда ā1– γ2ā2 – γ3ā3 – …

– γsās = 0 , где | 1 | + | –γ2 | + … + | –γs | > 0, следовательно, система векторов ā1, ā2, …, ās линейно зависима.

ТЕОРЕМА 1.2 (Свойства линейной зависимости).

1)Если какая-либо подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система этих векторов линейно зависима;

2)Если система векторов линейно независима, то и любая её подсистема линейно независима.

Доказательство. Докажем 1). Пусть в системе ā1, ā2, …, ār, ār+1, …, ās подсистема ā1, ā2,…,

ār линейно зависима. По определению существует λ1ā1+ λ2ā2+…+ λrār = 0 (3), где | λ1 | + | λ2 | + … + | λr | > 0. Перепишем равенство (3) следующим образом: λ1ā1 + λ2ā2 + …+ λrār + 0ār+1 + …

+ 0ās = 0 , где | λ1 | + | λ2 | + … + | λr | > 0, тогда по определению система ā1, ā2,…, ār, ār+1, …, ās линейно зависима. Докажем 2). Пусть система ā1, ā2, …, ār, ār+1, …, ās линейно независима.

Допустим, в ней нашлась линейно зависимая подсистема ā1, ā2, …, ār. Но тогда по первому утверждению и вся система линейно зависима, что противоречит нашему предположению. Сле-

довательно, таких подсистем не существует.

ЗАМЕЧАНИЕ. Эти свойства показывают, что добавлением векторов линейно независимую

3

Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.

систему можно превратить в линейно зависимую.

СЛЕДСТВИЕ. Система векторов, содержащая нулевой вектор или два пропорциональных вектора является линейно зависимой.

Доказательство. Для доказательства достаточно показать, что система из одного вектора линейно зависима, только если это нулевой вектор, и система из двух векторов линейно зави-

сима, только если они пропорциональны. Первое следует из того, что λ1ā1 = 0 (λ1 = 0

ā1 = 0 ). Докажем второе. Пусть λ1ā1 + λ2ā2 = 0 и λ1 ≠ 0, тогда ā1 = (– λ2/λ1)ā2, т.е. ā1 и ā2 пропор-

циональны. Пусть ā1 = λā2, тогда ā1 – λā2 = 0 , где | 1 | + | –λ | > 0, т.е. ā1 и ā2 линейно зависимы.

ТЕОРЕМА 1.3 (Основная о линейной зависимости).

Пусть даны две системы векторов {ā1, ā2,…, āp}(I) и {đ1, đ2,…, đq}(II), причем система (I) линейно независимая и каждый её вектор линейно выражается через векторы системы (II). Тогда число векторов в системе (I) не превосходит числа векторов системы (II), т.е. p ≤ q.

Доказательство. Будем вести по индукции от числа векторов системы (II), т.е. по q.

При q = 1 имеем {đ1}(II). Допустим ā1, ā2 (I), тогда по условию ā1 = 1đ1, ā2 = 2đ1. Так

как (I) линейно независима, то 1 0 и 2 0, откуда ā1 = ( 1/ 2)ā2, что опять противоречит линейной независимости (I). Следовательно (I) не может содержать более одного вектора, т.е. p ≤ 1 = q.

Пусть теорема справедлива при q – 1 векторе системы (II). Докажем для q векторов. По условию:

āp = p1 đ1 + p2 đ2 + … + pq đq

Для выражения (4) возможны два случая, либо все коэффициенты при đq равны нулю, либо есть отличные от нуля. В первом случае векторы ā1, ā2,…, āp линейно выражаются через q – 1 вектор системы (II), и по предложению индукции p ≤ q – 1 < q. Рассмотрим второй случай. До-

пустим, не теряя общности, pq 0. Отнимем в (4) от i-того равенства последнее равенство, умноженное на iq/ pq, 1 ≤ i ≤ p – 1 . Получим выражения:

| γ2 | + … + | γp – 1 | + | γp | > 0, что противоречит линейной независимости системы (I). Следовательно, (I*) линейно независима. Тогда по предложению индукции p – 1 ≤ q – 1, откуда p ≤ q.

Ранг системы векторов

Любая максимальная линейно независимая упорядоченная подсистема B = (ā1, ā2, …, ār) системы векторов {ā1, ā2, …, ār, …, ās}(I) называется базисом системы (I). Максимальная линейно независимая в том смысле, что добавление любого вектора из (I) к подсистеме B превращает её в линейно зависимую.

Свойства базиса системы векторов

1)Каждый вектор системы (I) имеет единственное разложение по базису;

2)Число векторов в любом базисе одно и то же.

Доказательство. См. ниже доказательство теоремы 1.4, заменив всюду “пространство V” на

4