Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.

“система векторов {ā1, ā2,…, ās}(I)”, а базис e на базис B.

Число векторов в любом базисе B системы векторов {ā1, ā2, …, ār, …, ās}(I) называется

рангом этой системы. Обозначения: rang(I) = rank(I) = r(I) = r.

Базис линейного пространства

Определение 11. Любая максимальная линейно независимая упорядоченная система векторов линейного пространства называется его базисом. Максимальная линейно независимая в том смысле, что добавление любого вектора к этой системе превращает её в линейно зависимую.

ТЕОРЕМА 1.4 (Свойства базиса).

1)Каждый вектор линейного пространства имеет единственное разложение по базису;

2)Число векторов в любом базисе одно и то же.

Доказательство. Докажем 1). Пусть e = (ē1, ē2, …, ēn) — базис линейного пространства V. Для любого ā V система векторов {ē1, ē2, …, ēn, ā} линейно зависимая по определению бази-

| β1 | + | β2 | + … + | βn | > 0, что противоречит линейной независимости базиса e. Следовательно,

β 0, и из (7) имеем ā = –(β1/β)ē1 – (β2/β)ē2 – … – (βn/β)ēn. Обозначим γi = – (βi/β), 1 ≤ i ≤ n, тогда ā = γ1ē1 + γ2ē2 + … + γnēn (8).

Покажем, что (8) единственное разложение вектора ā по базису e. Допустим, имеется еще одно разложение ā = ξ1ē1 + ξ2ē2 + … + ξnēn (9). Отнимем (9) от (8), получим (γ1 – ξ1)ē1 + (γ2 – ξ2)ē2 +

…+ (γn – ξn)ēn = 0, откуда в силу линейной независимости базиса e имеем (γ1 – ξ1) = (γ2 – ξ2) =

…= (γn – ξn) = 0, иначе γ1 = ξ1, γ2 = ξ2, …, γn = ξn, т.е. (9) — это то же самое (8). Докажем 2).

Пусть u = (ū1, ū2, …, ūm) другой базис пространства V. Положим в основной теореме о линей-

будет иметь следующие эквивалентные записи ā = e aeT = āeeT = γiēi.

Определение 13. Размерностью линейного пространства V называется число векторов в любом его базисе, обозначается dimV = n.

ТЕОРЕМА 1.5 (О базисе kn).

dim kn = n, причем одним из базисов является следующая система его векторов

ē1 = (1, 0, 0, …, 0) ē2 = (0, 1, 0, …, 0) ē3 = (0, 0, 1, …, 0)

……………... (11)

ēn = (0, 0, 0, …, 1)

которая называется стандартным базисом пространства kn.

Доказательство. Для доказательства достаточно показать, что система (11) линейно независима, и любой элемент из kn линейно выражается через (11). Допустим γ1ē1 + γ2ē2 + … + γnēn =

0 , иначе γ1(1, 0, 0, …, 0) + γ2(0, 1, 0, …, 0) + … + γn(0, 0, 0, …, 1) = (0, 0, 0, …, 0), а именно

(γ1, γ2, …, γn) = (0, 0, 0, …, 0), откуда γ1 = γ2 = … = γn = 0. Тогда по определению система (11) линейно независимая. Для любого ā = ( 1, 2, …, n) kn имеем ā = ( 1, 2, …, n) = ( 1, 0, 0, …, 0) + (0, 2, 0, …, 0) + … + (0, 0, 0, …, n) = 1(1, 0, 0, …, 0) + 2(0, 1, 0, …, 0) + …

5

Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.

+ n(0, 0, 0, …, 1) = 1ē1 + 2ē2 + … + nēn.

ТЕОРЕМА 1.6 (О координатах линейной комбинации векторов).

Пусть e = (ē1, ē2, …, ēn) — базис линейного пространства V. Если ā = γ1ā1 + γ2ā2 + … + γsās, где ā = βiēi, āj = ij ēi, тогда βi = γ1 1i + γ2 2i + … + γs si . Иначе, координаты линейной комбинации

векторов являются линейными комбинациями соответствующих координат этих векторов с теми же коэффициентами.

Доказательство. βiēi = ā = γ1ā1 + γ2ā2 + … + γsās = γ1 1i ēi + γ2 2i ēi + … + γs si ēi = (γ1 1i + γ2 2i + … + γs si )ēi, т.е. βiēi = (γ1 1i + γ2 2i + … + γs si )ēi, откуда в силу единственности разложения

по базису βi = γ1 1i + γ2 2i + … + γs si .

СЛЕДСТВИЕ (Координаты суммы, разности векторов и произведения вектора на число). Координаты суммы векторов равны суммам соответствующих координат слагаемых. Координаты произведения вектора на число равны произведениям соответствующих координат на это число.

Определение 14. Пусть даны два базиса линейного пространства V: e = (ē1, ē2, …, ēn) и u = (ū1, ū2, …, ūn). Выразим векторы базиса u через базис e.

разложения по базису e: aeT = Qeu auT .

ТЕОРЕМА 1.7 (О матрице перехода).

Матрица перехода является невырожденной, и на всякую невырожденную матрицу можно смотреть как на матрицу перехода от данного базиса к некоторому новому, причем справедли-

Свободные векторы на плоскости и в пространстве

ТЕОРЕМА 1.8 (Признак коллинеарности векторов).

Векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы. Доказательство. Из теории линейного пространства векторы a и b линейно зависимы тогда

виде линейной комбинации двух неколлинеарных векторов, причем это представление опре-

6

Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.

делено однозначно с точностью порядка слагаемых.

Доказательство. Пусть ā произвольный вектор и ē1, ē2 два неколлинеарных вектора. Отложим представители векторов ē1, ē2 и ā от одной точки (см. рис. 5). Дополним их до параллело-

грамма: ā = AC = AB + AD , По теореме 1.8, AD = λ1ē1, AB = λ2ē2, откуда

ā = λ1ē1 + λ2ē2. (13)

Допустим, есть еще одно разложение вектора ā по векторам ē1 и

ē2: ā = β1ē1 + β2ē2. (14)

Вычтем (14) из (13), получим (λ1 – β1)ē1 + (λ2 – β2)ē2 = 0 , что противоречит линейной независимости векторов ē1 и ē2.

ТЕОРЕМА 1.11 (О разложении вектора в пространстве).

Всякий вектор в пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации трех некомпланарных векторов, причем это представление определено однозначно с точностью порядка слагаемых.

Доказательство. Пусть ā произвольный вектор и ē1, ē2, ē3 три некомпланарных вектора. Отложим представители векторов ē1, ē2, ē3 и ā от одной точки (см. рис. 6). Дополним их до парал-

лелепипеда: ā = AC1 = AB + AD + AA1 . По теореме 1.8, AD = λ1ē1, AB = λ2ē2, AA1 = λ3ē3, откуда

ā = λ1ē1 + λ2ē2 + λ3ē3. (15)

Допустим, есть еще одно разложение вектора ā по векторам ē1, ē2, ē3: ā = β1ē1 + β2ē2 + β3ē3. (16) Вычтем (16) из (15), получим (λ1 – β1)ē1 + (λ2 – β2)ē2 + (λ3 – β3)ē3 = 0 , что противоречит линей-

ной независимости векторов ē1, ē2, ē3.

Напомним, что базисом в произвольном линейном пространстве называется любая максимальная линейно независимая упорядоченная система векторов. Таким образом, по предыдущим результатам:

1)Базис на прямой состоит из одного произвольного ненулевого вектора.

2)Базис на плоскости состоит из любой упорядоченной пары неколлинеарных векторов.

3)Базис в пространстве состоит из любой упорядоченной тройки некомпланарных векторов.

Напомним также, что координатами вектора относительно некоторого базиса называется упорядоченный набор коэффициентов разложения этого вектора по данному базису. ТЕОРЕМА 1.12 (Признак коллинеарности векторов в координатах).

Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны.

Доказательство. По соответствующему признаку два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны. А это по теореме о координатах линейной комбинации

векторов тогда и только тогда, когда пропорциональны их координаты. ТЕОРЕМА 1.13 (Признак компланарности векторов в координатах).

7

Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.

Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координатных столбцов, равен нулю.

Доказательство. По соответствующему признаку три вектора компланарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы. А это по теореме о координатах линейной комбинации векторов тогда и только тогда, когда их кординатные столбцы линейно зависимы. По критерию из курса алгебры определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его столбцы ли-

нейно зависимы.

3. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов.

Определение 15. Проекцией вектора ā на орт ē0 называется число, равное длине вектора ā, умноженной на косинус угла между векторами ā и ē0 т.е.

pre 0 a = | ā | cos( āē0).

Базис называется ортонормированным, если он состоит из взаимно перпендикулярных единичных векторов. Примем стандартное обозначение такого базиса ( i , j ) на плоскости и

( i , j , k ) в пространстве.

ТЕОРЕМА 1.14. Координаты вектора ā(ax, ay, az) в ортонормированном базисе есть проекции этого вектора на базисные векторы ( i , j , k ), т.е.

Доказательство. Вытекает непосредственно из теорем о разложении вектора на плоскости и в пространстве, с учетом того, что базисы в данном случае ортонормированные (подробное

доказательство привести самостоятельно).

ТЕОРЕМА 1.15. Проекция линейной комбинации векторов есть линейная комбинация проекций этих векторов с теми же коэффициентами, т.е.

pre 0 ( 1a1 2 a2 ... s as ) 1 pre 0 a1 2 pre 0 a2 ... s pre 0 as .

Доказательство. Рассмотрим орт ē0 как один из базисных векторов, тогда pre 0 a есть коор-

дината вектора ā относительно ē0, и доказательство следует из теоремы о координатах линей-

ной комбинации векторов.

ЗАМЕЧАНИЕ. Это свойство называют также линейностью проекции.

Определение 16. Скалярным произведением векторов ā иb называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

Доказательство. Доказательства этих свойств следуют непосредственно из определения скалярного произведения.

. Алгебраические

1)āb = b ā (коммутативность).

2)(āb ) = ( ā) b = ā( b ) (ассоциативность относительно числового множителя).

8