Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.

ТЕОРЕМА 1.16 (О классах ориентации). Отношение одинаковой ориентированности является абстрактным отношением эквивалентности, и существует только два класса одинаково ориентированных базисов: B+, B-.

Доказательство. Действительно, e = eE, где |E| = 1 > 0, т.е. всякий базис одинаково ориенти-

Векторное произведение

Определение 17. Векторным произведением векторов ā и b называется вектор [ā, b ], оп-

ределяемый следующими тремя условиями:

1)|[ā, b ]| = |ā|| b |sin( āb );

2)(ā, b ,[ā, b ]) B+ (образуют правую тройку);

3)ā [ā, b ] & b [ā, b ].

Свойства векторного произведения

1. [ā, b ] = 0 ā|| b (обращение в нуль); 2. [ā, b ] = – [ b , ā] (антикоммутативность);

3. |[ā, b ]| = S площадь параллелограмма, построенного на этих векторах (геометрический

смысл длины [ā, b ]).

Доказательство. Следуют из определения векторного произведения, правила ориентации и формулы площади параллелограмма через синус угла.

Смешанное произведение

Определение 18. Смешанное произведением векторов ā, b и c определяется следующим выражением: āb c := [ā, b ] c .

10

Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.

Свойства смешанного произведения

. Геометрические

1)(Обращение в нуль). āb c = 0 Cp(āb c ).

2)(Знак смешанного произведения). āb c > 0 āb c B+; āb c < 0 āb c B-.

3)(Модуль смешанного произведения). |āb c | = V параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах.

. Алгебраические

1)āb c = – b āc = – āc b = – c b ā (антикоммутативность). Следствие: āb c = c ā = b c ā (цикличность); ā āb = āb b = āb ā = 0 (признак равенства нулю).

2) (āb c ) = ( ā) b c = ā( b ) c = āb ( c ) (ассоциативность относительно числового множителя).

3) (ā1 + ā2) b c = ā1 b c + ā2 b c ; ā( b 1+ b 2) c = āb 1 c + āb 2 c ; āb ( c 1+ c 2) = āb c 1 + + āb c 2 (дистрибутивность относительно суммы по каждому сомножителю).

Доказательство. Свойство 1) следует из геометрических свойств 2) и 3). Свойства 2) и 3) следуют из аналогичных свойств скалярного произведения с учетом свойства антикоммута-

тивности. Например, ā( b 1 + b 2) c = – āc ( b 1 + b 2) = – [ā, c ] ( b 1+ b 2) = – [ā, c ] b 1 – [ā, c ] b 2 =

– āc b 1 – āc b 2 = āb 1 c + āb 2 c .

Формулы вычисления смешанного и скалярного произведения в ортонормированном базисе позволяют получить следующие замечательные формулы для произведения двух смешанных произведений:

Грама для базиса (ē1, ē2, ē3). Поэтому выражение (17) часто записывают в следующем виде:

11

Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.

где + или – выбирается в соответствии ориентации базиса (положительной или отрицательной).

Вычисление векторного произведения в координатах и дополнительные его свойства

Поскольку координаты ā в ортонормированном базисе ( i , j , k ) равны скалярным произведениям вектора ā соответственно на векторы i , j , k , то справедливы следующие равенства: [ā, b ]x = [ā, b ] i , [ā, b ]y = [ā, b ] j , [ā, b ]z = [ā, b ] k , т.е. [ā, b ]x = āb i , [ā, b ]y = āb j , [ā, b ]z = āb k . Вычисляя смешанные произведения в координатах:

Дополнительные свойства векторного произведения

4)[āb ] = [( ā) b ] = [ā( b )] (ассоциативность). Векторное произведение является однородным по каждому из сомножителей.

5)[(ā1+ ā2) b ] = [ā1 b ] + [ā2 b ]; [ā( b 1 + b 2)] = [āb 1] + [āb 2] (дистрибутивность). Векторное произведение векторов распределительно относительно суммы векторов по каждому из сомножителей.

6) [[ā, b ], c ] = b (ā, c ) – ā( b , c ); [ā,[ b , c ]] = b (ā, c ) – c (ā, b ) (формулы двойного векторно-

го произведения).

Доказательство. Свойство 4) следует из (20) и однородности определителя. Свойство 5) следует из (20) и аддитивности определителя (заметим, что доказательства свойств 1) и 2) также можно связать соответствующими свойствами определителя). Свойство 6) доказать самостоя-

12

Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.

2. Вычисление площадей многоугольников: S = 12 |[ā, b ]| и в координатах декартовой систе-

3. Выражение условий коллинеарности и компланарности: [ā, b ] = 0 ā|| b ;

āb c = 0 Cp(āb c ).

4.Определение ориентации:

āb c > 0 āb c B+ (положительная или правая тройка <базис>);

āb c < 0 āb c B- (отрицательная или левая тройка <базис>).

5.Вычисление объемов многогранников: Vтет.= 16 Vпар.= 16 |āb c |, где Vтет. — объем тетраэдра,

Vпар. — объем параллелепипеда, построенных на этих векторах, как на ребрах, и в координатах декартовой системы координат

6.Вычисление момента силы. Моментом силы F относительно точки O называется вектор M , который проходит через точку O и:

1)M (OAB)плоскости (см. рис. 9);

7.Нахождение линейной скорости вращения. Пусть – угловая скорость вращения твердого тела вокруг оси (см. рис.10), O – некоторая неподвижная точка оси, v – линейная скорость точки M.

Тогда v = [ , r ] — формула Эйлера.

13