ОГЛАВЛЕНИЕ

От редактора перевода

5

Предисловие

7

Предварительные сведения

11

Литература

14

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

ГРУППЫ,КОЛЬЦА И МОДУЛИ

Глава I. Группы

§ 1. Моноиды

17

§ 2. Группы

21

§ 3. Циклические группы

25

§ 4. Нормальные подгруппы

27

§ 5. Действие группы на множестве

32

§ 6. Силовские подгруппы

36

§ 7. Категории и функторы

39

§ 8. Свободные группы

47

§ 9. Прямые суммы и свободные абелевы группы

55

§ 10. Конечно порожденные абелевы группы

61

§ 11. Дуальная группа

66

Упражнения

69

Глава II. Кольца

§ 1. Кольца и гомоморфизмы

73

§ 2. Коммутативные кольца

80

§ 3. Локализация

85

§ 4. Кольца главных идеалов

89

Упражнения

92

Глава III. Модули

§ 1. Основные определения

93

§ 2. Группа гомоморфизмов

95

§ 3. Прямые произведения и суммы модулей

98

§ 4. Свободные модули

103

§ 5. Векторные пространства

105

§ 6. Дуальное пространство

108

Упражнения

111

Глава IV. Гомологии

§ 1. Комплексы

114

§ 2. Гомологическая последовательность

116

§ 3. Эйлерова характеристика

118

§ 4. Теорема Жордана — Гёльдера

122

Упражнения

126

Глава V. Многочлены

§ 1. Свободные алгебры

127

§ 2. Определение многочленов

131

§ 3. Элементарные свойства многочленов

136

§ 4. Алгоритм Евклида

141

§ 5. Простейшие дроби

145

§ 6. Однозначность разложения на простые множители многочленов от

148

нескольких переменных

§ 7. Критерии неприводимости

151

§ 8. Производная и кратные корни

153

§ 9. Симметрические многочлены

155

§ 10. Результант

158

Упражнения

162

Глава VI. Нётеровы кольца и модули

§ 1. Основные критерии

166

§ 2. Теорема Гильберта

169

§ 3. Степенные ряды

170

§ 4. Ассоциированные простые идеалы

172

§ 5. Примарное разложение

177

Упражнения

181

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ

Глава VII. Алгебраические расширения

§ 1. Конечные и алгебраические расширения

185

§ 2. Алгебраическое замыкание

191

§ 3. Поля разложения и нормальные расширения

198

§ 4. Сепарабельные расширения

202

§ 5. Конечные поля

208

§ 6. Примитивные элементы

211

§ 7. Чисто несепарабельные расширения

213

Упражнения.

217

Глава VIII. Теория Галуа

§ 1. Расширения Галуа

219

§ 2. Примеры и приложения

227

§ 3. Корни из единицы

232

§ 4. Линейная независимость характеров

237

§ 5. Норма и след

239

§ 6. Циклические расширения

243

§ 7. Разрешимые и радикальные расширения

246

§ 8. Теория Куммера

248

§ 9. Уравнение Xn-a=0

252

§ 10. Когомологии Галуа

255

§ 11. Алгебраическая независимость гомоморфизмов

256

§ 12. Теорема о нормальном базисе

260

Упражнения

260

Глава IX. Расширения колец

§ 1. Целые расширения колец

268

§ 2. Целые расширения Галуа

275

§ 3. Продолжение гомоморфизмов

282

Упражнения

284

Глава X. Трансцендентные расширения

§ 1. Базисы трансцендентности

286

§ 2. Теорема Гильберта о нулях

288

§ 3. Алгебраические множества

290

§ 4. Теорема Нётера о нормализации

294

§ 5. Линейно свободные расширения

295

§ 6. Сепарабельные расширения

298

§ 7. Дифференцирования

301

Упражнения

305

Глава XI. Вещественные поля

§ 1. Упорядоченные поля

307

§ 2. Вещественные поля

309

§ 3. Вещественные нули и гомоморфизмы

316

Упражнения

321

Глава XII. Абсолютные значения

§ 1. Определения, зависимость и независимость

322

§ 2. Пополнения

325

§ 3. Конечные расширения

332

§ 4. Нормирования

336

§ 5. Пополнения и нормирования

345

§ 6. Дискретные нормирования

346

§ 7. Нули многочленов в полных полях

350

Упражнения

353

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Глава XIII. Матрицы и линейные отображения

§ 1. Матрицы

361

§ 2. Ранг матрицы

363

§ 3. Матрицы и линейные отображения

364

§ 4. Определители

368

§ 5. Двойственность

378

§ 6. Матрицы и билинейные формы

383

§ 7. Полуторалинейная двойственность

388

Упражнения

393

Глава XIV. Структура билинейных форм

§ 1. Предварительные сведения, ортогональные суммы

396

§ 2. Квадратичные отображения

399

§ 3. Симметрические формы, ортогональные базисы

400

§ 4. Гиперболические пространства

402

§ 5. Теорема Витта

403

§ 6. Группа Витта

403

§ 7. Симметрические формы над упорядоченными полями.

408

§ 8. Алгебра Клиффорда

411

§ 9. Знакопеременные формы

415

§ 10. Пфаффиан

417

§ 11. Эрмитовы формы

419

§ 12. Спектральная теорема (эрмитов случай)

421

§ 13. Спектральная теорема (симметрический случай)

423

Упражнения

425

Глава XV. Представление одного эндоморфизма

§ 1. Представления

429

§ 2. Модули над кольцами главных идеалов

432

§ 3. Разложение над одним эндоморфизмом

442

§ 4. Характеристический многочлен

446

Упражнения

452

Глава XVI. Полилинейные произведения

§ 1. Тензорное произведение

456

§ 2. Основные свойства

461

§ 3. Расширение основного кольца

466

§ 4. Тензорное произведение алгебр

468

§ 5. Тензорная алгебра модуля

470

§ 6. Знакопеременные произведения

473

§ 7. Симметрические произведения

477

§ 8. Кольцо Эйлера — Гротендика

478

§ 9. Некоторые функториальные изоморфизмы

481

Упражнения

486

Глава XVII. Полупростота

§ 1. Матрицы и линейные отображения над некоммутативными кольцами

488

§ 2. Условия, определяющие полупростоту

491

§ 3. Теорема плотности

493

§ 4. Полупростые кольца

496

§ 5. Простые кольца

498

§ 6. Сбалансированные модули

501

Упражнения

502

Глава XVIII. Представления конечных групп

§ 1. Полупростота групповой алгебры

504

§ 2. Характеры

506

§ 3. Одномерные представления

511

§ 4. Пространство функций классов

512

§ 5. Соотношения ортогональности

516

§ 6. Индуцированные характеры

520

§ 7. Индуцированные представления

523

§ 8. Положительное разложение регулярного характера.

528

§ 9. Сверхразрешимые группы

530

§ 10. Теорема Брауэра

533

§ 11. Поле определения представления

539

Упражнения

541

Добавление. Трансцендентность e и π

546

Указатель

553

УКАЗАТЕЛЬ

Абсолютное значение 322

р-адические числа 348

— — р-адическое 323

— — целые 348

— — неархимедово 322

р-адическое разложение 348

— — тривиальное 322

— — многочлена 148

Абсолютные значения зависимые 322

Алгебра 127

— — независимые 322

— внешняя 474

Абстрактная чепуха 126

— групповая 130

Автоморфизм 23, 40

— знакопеременная 474

— гильбертов 428

— Клиффорда 411

— пары 381

— конечно порожденная 127

— формы 389

— Ли 393

— многочленов 132

— одночлена 155

— моноидная 130

Вещественное замыкание поля 310

— некоммутативных многочленов

Взаимно простые элементы 91

471

Вложение 24

— свободная 127

— колец 78

— симметрическая 477

— полей 191

— тензорная 470

Внешнее произведение 474

Алгебраическая независимость

Внешняя алгебра 474

133,138

Встречается 138

Алгебраически зависимые

Высота рационального числа 165

гомоморфизмы 256

Гильбертово пространство 428

— независимые гомоморфизмы 259

Гиперболическая пара 402, 415

— — множества 297

— плоскость 402, 415

Алгебраический элемент 185

Гиперболическое пространство 402

Алгебраическое замыкание поля 197

415

Алгоритм Евклида 141

— — нулевое 415

Аннулятор 174

— расширение 406

Антимодуль 388

Гипотеза Шенуэла 552

Аппроксимационная

теорема

Гомология 116

Артина—Уэплза 324

Гомоморфизм главный 174

Ассоциативность 17

— группы 22

Ассоциированный (об идеале) 290

— канонический 51

Базис группы 58

— кольцевой 76

— дуальный 109

— локально нильпотентный 174

Базис модуля 103

Гомоморфизм модулей 94

— ортогональный 397

— моноидов 22

— ортонормальный 409, 419

— нулевой 94

— трансцендентности 287

— целый 272

— — сепарирующий 298

G-гомоморфизм 479

Башня абелева 31

Граница 116

— нормальная 31

Группа 21

— подгрупп 31

— абелева 18

— полей 187

— — конечно порожденная 61

— циклическая 31

— — свободная 57

Бесконечно большой 308

— алгебраическая 393

— малый 308

— без кручения 65

Бесконечный в точке элемент 339

— вещественная унитарная 382

Блок 431

— Витта 407

Вектор Витта 264

— Витта — Гротендика 408

Векторное пространство 105

— Галуа 217, 219

— — конечномерное 106

— — многочлена 227

Вес многочлена 155

— гомологии 116

Изоморфизм 11, 22, 40

— факториальное 89

Инвариант 443

— частных 85

Инвариант матрицы 443

— Эйлера — Гротендика 478

— модуля 439

— G-градуированное 470

— пары 443

Коммутативность 18

— подмодуля 441

Комплекс ацикличный 120

— полиномиальный 443

— замкнутый 114

Индекс подгруппы 24

— открытый 114

Индуцированная функция 521

Комплексификация 424

Категория 39

Композит 187

— абелева 122

Композиция отображений 11

— аддитивная 121

Компоненты матрицы 361

Квадратичный символ 236

— — диагональные 362

Кватернионы 394

Конечный в точке элемент 339

Китайская теорема об остатках 82

Копроизведение 46

Класс вычетов по модулю 78

Корень из единицы 145, 232

— сопряженных элементов 512

— — — первообразный 145, 232

р-класс 535

— — — примитивный 145, 232

Когомологии Галуа 255

— многочлена 142

Кограница 255

— — кратный 153

Кольцо 73

— простой 204

— артиново 502

Коцикл 255

— главных идеалов 75

Коэффициент линейной комбинации

— Гротендика 480

100

— классов вычетов 78

— матрицы 361

— коммутативное 74

— многочлена 132

— конечно порожденное 77

— Фурье 519

— локальное 88

Коядро 122

— многочленов 132

Кратность 491, 509

— нётерово 168

— корня 153

— нормирования 308, 338

Критерий Маклейна 300

— — определенное упорядочением

— Эйзенштейна 151

309

2-кручение 399

— отношений 85

Лежит над 274, 342

— полупростое 496

Лемма Гаусса 149

— простое 85, 497

— Накаямы 273

— с делением 73

— о бабочке 122

— целое 270

— Цассенхауза 122

— целозамкнутое 272

— Цорна 13

— целостное 79

— Шура 490

— целостности 79

Линейная комбинация 99

— целых чисел по модулю 81

— независимость 100

— переменные 136

— линейного отображения 377

— элементы модуля 436

Орбита 35

Неподвижное поле группы 219

Ортогонализация Грама — Шмидта

Неприводимый элемент кольца 89

411

Неравенство треугольника 410, 420

Ортогональная сумма 397

— Шварца 410, 420

Ортогональный 68

Несепарабельная степень 206

Открытое подмножество спектра 292

Нильпотентный элемент 173

Отмеченный класс 189, 270

Нильрадикал 173

Относительный инвариант 262

Н.о.д 90

Отношение Эрбрана 71

Н.о.к. 91

Отображение антилинейное 388

Норма 239, 327

— биективное 11

— эндоморфизма 427

— билинейное 68, 110

Нормализатор 28

— — ассоциированное с

Нормирование 322, 337

квадратичным 400

— дискретное 345, 346

— индуцирования 521

— тривиальное 337

— инъективное 11

Нулевой элемент 17

— каноническое 28, 130

Нуль многочлена 142

— квадратичное 399

— множества многочленов 289

— — однородное 400

— порядка r 347

— линейное 94

Нуль-пространство 405

— — ассоциированное с

Область 79

квадратичным 400

— целостности 79

— — метрическое 399

Оболочка комплексная 424

— n-линейное 369

Образ 11

— r-линейное каноническое 473

Образующая 23, 48, 100

— ограничения 520

— группы 26

— полилинейное 369

— идеала 76

— — знакопеременное 369

— кольцевая 77

— полулинейное 388

— свободная 51

— редукции 466

Образующие и соотношения 52

— самосопряженное 421

Обратный предел 71

— симметрическое 423

— элемент 21

— сопряженное 381

— — левый 21

— — относительно формы 421

G-объект 41

— сюръективное 11

Ограничение отображения 11

— Эйлера—Пуанкаре 118

Однородный элемент степени 470

— эрмитово 421

Одночлен 138

Отрицательный элемент 307

— примитивный 131

Перестановка 22

Одночлены некоммутативные 472

Период 26, 435

Определитель 370

— бесконечный 26