Специальные виды уравнений прямой на плоскости

L

N(x, y)

вектору a(a x ; a y ) (направляющий вектор прямой):

x x

0

y y

a(a x , a y )

0

.

a

x

a

y

M0(x0, y0 )

Доказательство. Действительно, (см. рис.2)

x x

y y

N L a || M 0 N

Рис. 2

0

0

.

a

x

a

y

y y0

a y t.

Доказательство. Поскольку

x x0

y y0

= t, где t R, то параметрические уравнения уже

a x

очевидны.

a y

6. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M1(x1, y1) , M 2 (x2 , y2 ) :

x x1

y y1

.

x

x

2

y

2

y

1

1

x a

y

x a

y

0

x

y

1.

a

b

a

b

a

b

Доказательство. (l1||l2)

A1x B1 y C1 0

(8) не имеет решений)

(по т. Кронеке-

( A x

B

y C

0

2

2

2

A

B

A

B C

A B

C

1

1

1

1

1

)

1

1

1

ра–Капели: r1 = rang A

B

< r2 = rang A

B

C

.

2

2

2

A

B

2

C

2

2

2

2

B1

2.

(l1 l2 )

A1

C1

Доказательство. (Самостоятельно).

.

A

B

C

2

2

2

A1

B1

3.

(l1 l2 ) A

B

. Доказательство. (l1 l2) (система (8) имеет единственное ре-

2

2

A1

B1

шение)

( r1 = r2 = 2)

Здесь и дальше в аналогичных местах знак

A

B

.

2

2

Доказательство. Пусть K(xk, yk) точка деления, т.е. xk

=

x1 x2

, yk

=

y1 y2

, Axk + Byk + C

1

1

= 0. Тогда A

x1 x2

+ B

y1 y2

+ C = 0, откуда =

Ax1 By1 C

.

1

1

Ax2 By2 C

Основные метрические задачи на прямую на плоскости

1. Нахождение косинуса угла между двумя прямыми

l1 : A1x B1 y C1

0,

:

l

2

: A x B

2

y C

2

0

2

n1

n2

A1A2 B1B2

l2

cos

A2

B2

.

A2 B2

l1

1

1

2

2

Доказательство. cos = cos ( n1 n2 )(см. рис. 3, угол между пря-

Рис. 3

мыми l1 и l2 полагают не больше 90 , поэтому знак выбирается для по-

ложительного значения cos ), где n1 (A1, B1),

n2 (A2, B2).

Далее см. гл. 1, применение скалярного произведения.

2. Условие взаимной перпендикулярности двух прямых A1 A2

B1 B2 0 .

Доказательство. (l1 l2) ( n1 n2 ) ( n1 n2 = 0) (в декартовой системе координат

A1 A2 B1 B2 0 ).

3. Расстояние от точки M 0 (x0 , y0 ) до прямой Ax By C 0 :

M0(x0, y0)

Ax0 By0 C

.

A2 B2

n

n

l

Доказательство. |M, l| = | prn

| = |

| = (в декартовой

NM

NM

| n

|

N(x, y)

системе координат)

A(x0 x) B( y0

y)

=

A2

B2

Рис. 4

Ax0 By0 ( Ax By)

. Так как N(x, y) l, то Ax + By + C = 0, отку-

A2 B2

да C = – Ax – By, и, следовательно, |M, l| =

Ax0 By0 С

.

A2 B2

N(x, y, z)

x x0

y y0

z z0

:

a x

a y

a z

0 .

a

b

x

b

y

b

z

M0

b

Доказательство.

N

Cp(ā

)

(по теореме 1.13, признак

Рис. 5

b

M 0 N

x x0

y y0

z z0

компланарности векторов в координатах)

a x

a y

a z

0 .

b x

b y

bz

x x0 a xt1 b xt2

4. Параметрические уравнения той же плоскости:

y y

0

a y t

1

b y t

2

.

z z0 a z t1 bz t2

x x

0

a xt b xt

2

x x

0

a x t

1

b xt

2

1

y y

0

a yt

b yt

2

, откуда

y y

0

a y t

b y t

2

.

1

1

z z

0

a zt b zt

2

z z

0

a z t

1

bz t

2

1

Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.

x a

y

z

a

b

0

0

(x – a)bc + abz + acy = 0 bcx + abz + acy = abc.

a

0

c

Поделим обе части последнего равенства на abc, получим:

x

y

z

1.

a

c

b

Взаимное расположение плоскостей и точек в пространстве

Пусть даны две плоскости

1 : A1x B1 y C1z D1

0

0

. (9)

2

: A x B

2

y C

2

z D

2

2

A1

B1

C1

D1

1.

( 1

|| 2 )

Доказательство

подобно

аналогичному

свойству

.

A

B

C

D

2

2

2

2

прямых на плоскости.

A1

B1

C1

D1

2.

Доказать самостоятельно.

( 1

2 )

.

A

B

C

D

2

2

2

2

A

B

A

C

B

C

( 1

2 )

1

1

1

1

1

1

Доказательство. ( 1 2)

(сис-

3.

.

A

B

A

C

2

B

2

C

2

2

2

2

тема (9) имеет общее решение с одним свободным параметром — параметрическое уравнение

A1

B1

A1

C1

B1

C1

прямой)

( r1 = r2 = 2)

A

B

2

A

C

2

B

2

C

2

.

Ax1 By1 Cz1 D

2

2

4.

=

—

коэффициент деления отрезка [M1(x1,

y1, z1), M2(x2, y2, z2)]

Ax2 By2 Cz2 D

плоскостью : Ax + By + Cz +D = 0. Если

< 0, то точки находятся в одном полупространстве

относительно .

Доказательство подобно аналогичной задаче для прямой на плоскости.

Основные метрические задачи на плоскость

1.

Нахождение косинуса двугранного угла между двумя плоскостями

1 : A1x B1 y C1z D1 0,

2

: A x B

2

y C

2

z D

2

0 :

2

A1A2 B1B2 C1C2

cos

.