Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.
3)ā( b + c ) = āb + āc (дистрибутивность относительно сложения).
Доказательство. Свойство 1) следует из определения скалярного произведения. Докажем 2).
(ā |
|
) = | |
|
| pr |
|
0 a |
Теорема 1.15 |
|
|
| pr |
|
0 a = ( ā) |
|
. Аналогично, (ā |
|
) = |ā| pra 0 |
|
= |ā| pra 0 |
|
||||||||||||
b |
b |
|
|
| |
b |
|
b |
b |
b |
b |
|||||||||||||||||||||
b |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||
= ā( |
|
). Докажем 3). ā( |
|
+ c ) = |ā| pra 0 ( |
|
с) |
Теорема 1.15 |
|ā| pra 0 |
|
+ |ā| pra 0 с = ā |
|
+ āc . |
|||||||||||||||||||
b |
b |
b |
|
|
|
b |
b |
||||||||||||||||||||||||
ЗАМЕЧАНИЕ. Алгебраические свойства означают линейность скалярного произведения по обоим аргумента. Например, по левому:
( 1a1 2 a2 ... s as )b 1a1b 2 a2b ... s as b.
Вычисление скалярного произведения в координатах
Пусть e = ( ē1, ē2, ē3) — произвольный базис, тогда ā = e aeT = āeeT, b = e beT = be eT. Учитывая
свойство линейности: āb = āeeT e beT = āe(eT e) beT , где Ge = eT e называется матрицей Грамма для базиса e. Таким образом,
āb = āeGe beT — выражение скалярного произведения в произвольной системе координат, где
|
|
(e e |
) |
(e e |
2 |
|||
Ge = eT e = (ēi, ēj) = |
|
|
1 1 |
|
|
1 |
|
|
|
(e2 e1 ) (e2 e2 |
|||||||
|
|
(e |
e |
) |
(e |
3 |
e |
2 |
|
|
|
3 1 |
|
|
|
||
)
)
)
(e1e3 ) (e2 e3 ) . (e3e3 )
|
Если e – ортонормированный базис, то (ēi, ēj) = 0 , еслиi j, |
Откуда Ge = E — единич- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, еслиi j. |
|
|
|
|
||||
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ная матрица, E = |
0 |
1 |
0 |
. В этом случае ā |
|
= āeGe |
|
|
|
|
beT . Если āe = (ax, ay, az), |
|||||||
b |
beT = āeE |
beT = āe |
||||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
b x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
be = (bx, by, bz), тогда āe |
beT |
= (ax, ay, az) b y |
= axbx + ayby + azbz. Откуда ā |
b |
= axbx + ayby + azbz — |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выражение скалярного произведения в декартовой системе координат (āb = axbx + ayby , если на плоскости).
Применение скалярного произведения
1.Вычисление длин векторов: | ā | = 
a 2 . Или в координатах декартовой системы координат e: | ā | = 
(a x )2 (a y )2 (a z )2 , если āe = (ax, ay, az).
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Вычисление углов: cos( ā |
|
) = |
b |
|
|
|
. Или в координатах декартовой системы координат |
|||||||
b |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
| a || b | |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
a x b x a y b y a z b z |
|
|
|||||||||
|
cos( āb ) = |
|
. |
||||||||||||
|
(a x )2 (a z )2 (a z )2 |
(b x )2 (b z )2 |
(b z )2 |
||||||||||||
3. Работа силы F при перемещении S : A := | F || S |cos( F S ) = F S .
Ориентация плоскости и пространства
Два базиса называются одинаково (противопо-
ложно) ориентированными, если определитель матрицы перехода от одного базиса к другому положительный (отрицательный). Таким образом, базисы e и u одинаково (противоположны) ориен-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
j |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( i |
, j ) — правый |
( |
|
j |
, i |
) — левый |
||||||||||
|
|
|
|
|
базис |
|
|
|
|
|
|
базис |
||||
Рис. 7
9