lektsii_141_matan1

Замечание. Если функция f монотонна на отрезке [a; b] или монотонна и ограничена на интервале (a; b); то у нее существуют также односторонние пределы f(a + 0) и f(b 0):

Следствие 1. Монотонная на интервале или отрезке функция может иметь лишь точки разрыва первого рода.

Следствие 2. Множество точек разрыва функции монотонной на интервале или отрезке не более, чем счетно.

Доказательство. Рассмотрим случай f " : Пусть x1; x2 -точки разрыва è x1 < x2: Тогда имеем

f(x1 0) < f(x1 + 0) f(x2 0) < f(x2 + 0):

Выберем рациональные числа r1 è r2

f(x1 0) < r1 < f(x1 + 0) f(x2 0) < r2 < f(x2 + 0):

Таким образом мы установим взаимно однозначное соответствие между множеством точек разрыва функции f и некоторым множеством рацио-

нальных чисел. Поскольку все множество рациональных чисел Q счетно, то его подмножество не более, чем счетно.

Теорема 5.4.2. (критерий непрерывности монотонной функции). Пусть функция f монотонна на отрезке [a; b]: Тогда функция f непрерывна то-

гда и только тогда, когда f([a; b]) есть отрезок с концами f(a) и f(b):

Доказательство. Рассмотрим случай f " :

Необходимость. Утверждение справедливо в силу теоремы Коши о промежуточеых значениях функции, непрерывной на отрезке.

Достаточность.Будем рассуждать от противного. Пусть точка c 2 [a; b] является точкой разрыва функции f " : Следователно, f(c 0) 6= f(c) или f(c) 6= f(c + 0): То есть xотя бы один из интервалов (f(c 0); f(c)) или (f(c); f(c+0)) не пуст, и в нем нет значений функции. Ввиду

монотонности функции такой интервал содержится в отрезке с концами f(a) и f(b): Полученное противоречие доказывает теорему.

(о непрерывности обратной функции). Пусть функция f строго монотонна и непрерывна на отрезке [a; b]: Тогда существует

обратная функция строго монотонная того же типа, определенная и непрерывная на отрезке с концами f(a) и f(b):

51

Доказательство. Пусть f "" : В силу предыдущей теоремы функция f взаимно однозначно отображает отрезок [a; b] на отрезок [f(a); f(b)]: Следовательно, существует обратная функция f 1; очевидно, также возрастающая, отображающая отрезок [f(a); f(b)] на отрезок [a; b]: И опять в силу предыдущей теоремы делаем вывод, что функция f 1 непрерыв- íà.

5.5 Основные элементарные функции. Замечательные пределы.

Основными элементарными обычно функциями называют функции: y = x ; y = ax; y = loga x; y = sin x; y = cos x; y = tg x; y = ctg x; y =

arcsin x; y = arccos x; y = arctg x; y = arcctg x:

Следует заметить, что вопрос об определении этих функций далеко не прост. Используя полученные знания предела и свойств монотонных функций, можно дать строгое определение степенной, показательной и логарифмической функций.

Определение тригонометрических функцийy = sin x и y = cos x с по-

мощью наглядных геометрических соображений имеет логический пробел. Возможность определитьэти функции для всех вещественных зна- чений аргумента сводится к возможности установления взаимно однозначного соответствия между точками единичной окружности и всеми вещественными числами полуинтервала [0; 2 ):

На данном этапе изучения математического анализа мы не будем этого делать. Вы можете самостоятельно разобрать эти вопросы по рекомендуемым учебникам.

Позже, когда мы познакомимся с теорией степенных рядов, мы дадим строгие определения этих функций, используя понятие степенного ряда.

Поскольку мы используем эти функции в качестве материала для применения общей теории, приведем, оставив пока без доказательства,так называемые первый и второй замечательные пределы.

Утверждение.Имеют место следующие соотношения:

a) lim sin x = 1;

x!0 x

b) lim(1 + x)1=x = e;

x!0

c) lim ln(1+x) = 1;

x!0 x

52

d) lim ex 1 = 1:

x!0 x

Предел пункта а) называют первым замечательным пределом, остальные три предела - разные формы второго замечательного предела.

5.6 Сравнение асимптотического поведения функций

Определение 5.15. Пусть функции f; g и определены в некоторой проколотой окрестности точки x0 è f(x) = (x)g(x):

1) f = o(g) в точке x0 , (x) бесконечно малая в точке x0;

2) f = O(g) в точке x0 , (x) ограничена в окрестности точки x0;

3) f g в точке x0 , lim (x) = 1:

x!x0

Âслучае 1) если f и g являются бесконечно малыми в точке x0; то говорят, что f - бесконечно малая более высокого порядка, чем g:

Âслучае 1) если f и g являются бесконечно большими в точке x0; то говорят, что g - бесконечно большая более высокого порядка, чем f:

Говорят, что f и g одного порядка в точке x0; если f = O(g) и g = O(f) в точке x0:

Нетрудно заметить, что

а f и g одного порядка в точке x0 тогда и только тогда, когда

9 9 8 2 j j j j j j

C1 > 0 C2 > 0 x O(x0) C1 g(x) f(x) C2 g(x) :

Если в случае 1) взять g 1; то

f = o(1) , f бесконечно малая в точкеx0:

То есть o(1) с указанием точки - естественное обозначение бесконечно малой функции. Тогда O(1) с указанием точки - обозначение функции

ограниченной в окрестности точки. Поскольку

lim (x) = 1 , (x) = 1 + o(1);

x!x0

53

то в случае 3) имеем

f g , f = (1 + o(1))g = g + o(g)

Первый и второй замечательные пределы можно выразить в виде асимптотических равенств:

1)sin x = x + o(x) ïðè x ! 0;

2)ln(1 + x) = x + o(x) ïðè x ! 0;

3)ex = 1 + x + o(x) ïðè x ! 0:

Записав (1 + x) = e ln(1+x) и применив второй замечательый предел, получим равенство

(1 + x) = 1 + x + o(x) ïðè x ! 0:

Лекция 8

6Глава. Дифференциалное исчисление функций одной переменной

6.1Дифференцируемость функции в точке

Определение 6.1. Пусть функция f определена на множестве X и точка x0 - предельная точка этого множества.

Функцию f называют дифференцируемой в точке x0; если найдется непрерывная в точке x0 функция A такая, что 8x 2 X выполняется равенство

Производной функции f в точке x0 назовем значение A(x0) и обозначим

символом

f0(x0) = A(x0):

Поскольку, как нам уже известно, условие непрерывности функции A в точке x0 равносильно представлению A(x) = A(x0) +(x); ãäå (x) ! 0 ïðè x ! x0; то можно дать следующее эквивалентное определение дифференцируемости.

54

Функцию f называют дифференцируемой в точке x0; если 8x 2 X выполняется равенство

f(x) f(x0) = A (x x0) + (x)(x x0);

где A -некоторое число, а функция (x) ! 0 при x ! x0:

Замечание 2. Разность x x0 называют в этой ситуации приращением аргумента, а разность f(x) f(x0) - приращением функции.

Теорема 6.1.1. Функция f дифференцируема в точке x0 тогда и только

Доказательство. Доказать самостоятельно.

Теорема 6.1.2. (о непрерывности дифференцируемой функции). Если функция f дифференцируема в точке x0; то f непрерывна в точке x0:

Доказательство. Перепишем равенство (2) в виде

f(x) = f(x0) + A(x)(x x0)

и воспользуемся утверждением об арифметических действиях над непрерывными функциями.

Теорема 6.1.3. (о дифференцируемости композиции). Если функция g

дифференцируема в точке x0; а функция f дифференцируема в точке y0 = g(x0); то функция f g дифференцируема в точке x0 è

(f g)0(x0) = f0(y0)g0(x0):

Доказательство. Согласно определению дифференцируемости имеем

f(y) f(y0) = A(y)(y y0); g(x) g(x0) = B(x)(x x0);

где функции A и B непрерывны в точках y0 è x0 соответственно; причем f0(y0) = A(y0); g0(x0) = B(x0):

55

Рассмотрим приращение функции f g

(f g)(x) (f g)(x0) = f(g(x)) f(g(x0)):

Обозначив y = g(x); имеем далее

f(g(x)) f(g(x0)) = f(y) f(y0) = A(y)(y y0) =

= A(g(x))(g(x) g(x0)) = (A g)(x)B(x)(x x0):

Обозначим C(x) = (A g)(x)B(x): Поскольку функция g; будучи дифференцируемой, является непрерывной в точке x0; а функция A непрерывна в точке y0 = g(x0); то в силу теоремы о непрерывности композиции функция A g непрерывна в точке x0: Тогда произведение непрерывных в точке x0 функций (A g)(x)B(x) = C(x) непрерывно в этой точке.

Итак, имеем равество

(f g)(x) (f g)(x0) = C(x)(x x0);

где функция C непрерывна в точке x0: Согласно определению дифференцируемости функция f g дифференцируема в точке x0 и ее производная

(f g)0(x0) = C(x0) = A(g(x0))B(x0) = f0(y0)g0(x0):

Пример. Рассмотрим функцию f(x) = x1 ; x 6= 0: Пусть x0 6= 0; тогда

f0(x0) = A(x0) = 12 : x0

По отношению к произвольной точке x 6= 0 можем записать равенство

x1 0 = x12 :

56

(об арифметических действиях над дифференцируемыми функциями) Пусть функции f и g дифференцируемы в точке x0: Тогда функции f + g; fg; и f=g (при дополнотельном условии, что

g в нуль не обращается) дифференцируемы в точке x0: Причем справедливы равенства:

1)(f + g)0(x0) = f0(x0) + g0(x0);

2)(fg)0(x0) = f0(x0)g(x0) + f(x0)g0(x0);

3)(fg )0(x0) = f0(x0)g(x0) f(x0)g0(x0) :g2(x0)

Доказательство. Согласно определению дифференцируемости имеем:

f(x) f(x0) = A(x)(x x0); g(x) g(x0) = B(x)(x x0);

где функции A и B непрерывны в точке x0 ; причем f0(x0) = A(x0); g0(x0) = B(x0):

Тогда

(f+g)(x) (f+g)(x0) = (f(x) f(x0))+(g(x) g(x0)) = (A(x)+B(x))(x x0):

Так как функция A+B непрерывна в точке x0; то f +g дифференцируема в точке x0 è

(f + g)0(x0) = A(x0) + B(x0) = f0(x0) + g0(x0):

Далее, перемножив равенства

f(x) = f(x0) + A(x)(x x0); g(x) = g(x0) + B(x)(x x0);

имеем

f(x)g(x) = f(x0)g(x0)+[A(x)g(x0)+B(x)f(x0)+A(x)B(x)(x x0)](x x0)

Осталось заметить, что функция

C(x) = A(x)g(x0) + B(x)f(x0) + A(x)B(x)(x x0)

непрерывна в точке x0: Поэтому fg дифференцируема в этой точке и

(fg)0(x0) = C(x0) = f0(x0)g(x0) + f(x0)g0(x0):

57

Для доказательства дифференцируемости частного функций преобразуем его

fg = f1 g:

Используя рассмотренный выше пример и теорему о производной композиции функций, имеем дифференцируемость функции 1

f и равен-

Осталось восползоваться доказанным утверждением теоремы относительно произведения функций.

Теорема 6.1.5. (о дифференцируемости обратной функции). Пусть функ-

имеем

y y0 = A(f 1(y))(f 1(y) f 1(y0));

58

6.2 Дифференциал функции. Геометрический смысл производной и дифференциала

Пусть функция f дифференцируема в точке x0: Обозначим приращение аргумента h = x x0: Тогда

f(x0 + h) f(x0) = f0(x0)h + (x0; h);

ãäå (x0; h) = o(h) ïðè h ! 0:

Определение 6.2. Функция df(x0) : R ! R такая, что 8h 2 R df(x0)(h) = f0(x0)h;

называется дифференциалом функции f в точке x0:

Если функция f дифференцируема в точке x; то, очевидно,

df(x)(h) = f0(x)h:

В частности, если f(x) x; то f0(x) 1 è dx(h) = 1 h = h;

поэтому иногда говорят, что дифференциал независимой переменной

совпадает с ее приращеием .

Учитывая это равенство, имеем

df(x)(h) = f0(x)dx(h);

т.е. как равенство для функций

df(x) = f0(x)dx:

Очевидно, что для дифференциалов имеют место формулы аналогич- ные формулам теоремы об арифметических действиях над дифференцируемыми функциями

8

>d(f + g) = df + dg;

<

d(fg) = gdf + fdg;

>d(f ) = gdf fdg :

:

g g2

59

Теперь обратим внимание на геометрической смысл производной и дифференциала.

Как нам уже известно, равенство

f(x) = c0 + o(1) ïðè x ! x0

равносильно тому, что lim f(x) = c0: Если функция непрерывна в точке

x!x0

x0; òî c0 = f(x0):

Попробуем теперь подобрать число c1 такое, что выполняется равен- ñòâî

f(x) = c0 + c1(x x0) + o(x x0) ïðè x ! x0:

Из равенства следует, что c0 = lim f(x) = f(x0) при условии непре-

x!x0

рывности функции в точке x0: Тогда приходим к соотношению

f(x) = f(x0) + c1(x x0) + o(x x0) ïðè x ! x0;

равносильному условию дифференцируемости функции f в точке x0: Таким образом, доказано

Утверждение. Функция f, непрерывная в точке x0; допускает линейное приближение

f(x) = c0 + c1(x x0) + o(x x0) ïðè x ! x0

в том и только том случае, когда она дифференцируема в этой точке. Причем c0 = f(x0); c1 = f0(x0):

Таким образом, прямая с уравнением

y = f(x0) + f0(x0)(x x0)

доставляет наилучшее линейное приближение графика функции y = f(x) в окрестности точки (x0; f(x0)):

Определение 6.3. Прямая, задаваемая уравнением

y = f(x0) + f0(x0)(x x0);

называется касательной к графику этой функциив точке (x0; f(x0)):

Задание. Прибегнув к графику функции, проиллюстрируйте рассмотренные понятия.

60