lektsii_141_matan1

Лекция 9

6.3Теоремы Ферма и Ролля

Определим, так называемую, функцию знака .

Точка x0 называется точкой убывания функции f; если эта точка является точкой роста функции ( f):

Теорема 6.3.1. (достаточное условие точек роста и точек убывания) Если f0(x0) > 0 (f0(x0) < 0), то точка x0 является точкой роста

(убывания) функции f.

Доказательство. Согласно определению дифференцируемости функции имеем равенство

f(x) f(x0) = A(x)(x x0);

где функция A непрерывна в точке x0 è A(x0) = f0(x0): Åñëè A(x0) > 0; òî

9O(x0) 8x 2 O(x0) A(x) > 0:

Тогда 8x 2 O(x0)

sign(f(x) f(x0)) = sign(A(x)(x x0)) = sign(x x0);

т.е. точка x0 является точкой роста.

Случай точки убывания рассмотреть самостоятельно.

Определение 6.5. Пусть точка x0 является внутренней точкой области определения функции f:

Точка x0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f; если

9O(x0) 8x 2 O(x0) f(x) f(x0) (f(x) f(x0)):

61

В случае строгих неревенств говорят о строгом локальном максимуме (минимуме).

Точки локального максимума и минимума объединяют термином "точки локального экстремума".

Теорема 6.3.2. (теорема Ферма). Пусть точка x0 является точкой локального экстремума функции f и существует f0(x0): Тогда f0(x0) = 0:

Доказательство. Точка x0 не может быть точкой роста функции f: Тогда согласно предыдущей теореме выполняется условие f0(x0) 0:

В то же самое время точка x0 не может быть точкой убывания, а следовательно, f0(x0) 0:

Одновременное выполнение неравенств f0(x0) è f0(x0) 0 означает выполнение равенства f0(x0) = 0:

Теорема 6.3.3. (Ролля). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a; b]; дифференцируема на интервале (a; b) и f(a) = f(b): Тогда найдется точ- ке c 2 (a; b) такая, что f0(c) = 0:

Доказательство. В силу теорема Вейерштрасса функция f; непрерав-

ная на отрезке, принимает на нем наименьшее значение в некоторой точ- ке x1 и наибольшее - в некоторой точке x2:

Åñëè x1 = x2; òî f const è 8x 2 (a; b) f0(x) = 0:

Åñëè x1 6= x2; то, по крайней мере, одна из них не совпадает с концами

отрезка, и, значит, является внутренней точкой экстремума. Обозначим ее c: Согласно теореме Ферма f0(c) = 0:

Задание. Дать геометрическую и физическую интерпретацию теоремы Ролля.

6.4Теоремы Коши и Лагранжа

Теорема 6.4.1. (Коши). Пусть функции f и g непрерывны на на отрез-

62

Доказательство. Заметим, что в силу теоремы Ролля g(b) 6= g(a): Рассмотрим функцию

Теорема 6.4.2. (Лагранжа). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b): Тогда найдется точке c 2

(a; b) такая, что

f(b) f(a) = f0(c)(b a):

Доказательство. Утверждение теоремы является частным случаем теоремы Коши при g(x) = x:

Замечание. Равенство теоремы Лагранжа называют формулой конечных приращений, а равенство теоремы Коши - обобщенной формулой конечных приращений.

Задание. Дать геометрическую и физическую интерпретацию теоремы Лагранжа.

6.5Некоторые следствия формулы конечных приращений Лагранжа

Теорема 6.5.1. (о постоянстве дифференцируемой функции). Пусть

8x 2 (a; b) f0(x) = 0: Тогда f const на (a; b):

Доказательство. Пусть точка x0 - фиксированная точка интервала (a; b); а x - произвольная точка этого интервала. Условие теоремы позволяет

воспользоваться теоремой Лагранжа на отрезке с концами x и x0. Тогда

имеем

f(x) f(x0) = f0( )(x x0);

где точка лежит между точками x и x0.

Поскольку f0( ) = 0; òî f(x) = f(x0): Это и означает, что f const

íà (a; b):

63

Теорема 6.5.2. (критерий монотонности дифференцируемой функции). Пусть функция f дифференцируема на интервале (a; b): Тогда

f " (f #) , 8x 2 (a; b) f0(x) 0 (f0(x) 0):

Àзначит, f(x1) f(x2) (f(x1) f(x2)); ò.å. f " (f #):

2)Необходимость. Пусть f " : Тогда каждая точка интервала не яв-

Доказательство. Рассуждение проводится по той же схеме, что и в преды-

не является необходимым условием возрастания (убывания) функции на интервале (a; b): Привести пример.

6.6Производные высших порядков и формула Тейлора

Определение 6.6. Пусть функция f дифференцируема в некоторой

окрестности O(x0) точки x0: Тогда в точках окрестности определена, в свою очередь, функция f0:

Если функция f0 дифференцируема в точке x0; то говорят, что функция f дважды дифференцирукма в точке x0 и вторую производную функ- ции f в точке x0

f00(x0) = (f0)0(x0);

а также еще обозначают символом f(2)(x0):

По индукции, если определена производная f(n 1) в окрестности точ- êè x0; то производная порядка n в точке x0 определяется равенством

f(n)(x0) = (f(n 1))0(x0):

Условимся считать, что f(0)(x0) = f(x0):

64

Определение 6.7. Функцию называют n - непрерывно дифференцируемой на множествеX; если на этом множестве существует n-ая производная, которая непрерывна на X.

Мы уже обращали внимание на то, что дифференцируемость функции в точке означает возможность аппроксимировать функцию в окрестности этой точки линейной функцией. Теперь нас будет интересовать возможность аппроксимации функции многочленами.

Рассмотрим многочлен

Pn(x) = c0 + c1(x x0) + : : : + cn(x x0):

Очевидно, что c0 = Pn(x0): Дифференцируя далее многочлен последовательно n раз и подставляя x = x0, получим равенства

ck = Pn(k)(x0)=k! (k = 0; 1; : : : ; n):

Определение 6.8. Пусть функция f имеет в точке x0 все произвдные до порядка n включительно. Многочлен

Pn(x0; x) = Pn(x) = f(x0) + f0(x0)(x x0) + : : : + f(n)(x0)(x x0)n 1! n!

называют многочленом Тейлора порядка n функции f в точке x0:

Нас будет интересовать величина

rn(x0; x) = f(x) Pn(x0; x);

называемая остаточным членом формулы Тейлора:

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x x0) + : : : + f(n)(x0)(x x0)n + rn(x0; x) 1! n!

Теорема 6.6.1. (формула Тейлора). Пусть функция f n-непрерывно дифференцируема на отрезке с концами x0; x и имеет производную порядка n + 1 внутри него. Тогда при любой функции ; непрерывной на этом отрезке и имеющей внутри него призводную 0(x) 6= 0; найдется точка ; лежащая между x0 и x; такая, что

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x x0) + : : : + f(n)(x0)(x x0)n + rn(x0; x); 1! n!

ãäå

rn(x0; x) = (x)0 (x0)f(n+1)( )(x )n:( )n!

65

Доказательство. На отрезке I с концами x0; x рассмотрим вспомогательную функцию

F (t) = f(x) Pn(t; x) = f(x) [f(t) + f0(t)(x t) + : : : + f(n)(t)(x t)n] 1! n!

Очевидно, что F непрерывна на отрезке I и дифференцируема внутри

него, причем

F 0(t) = f(n+1)(t)(x t)n: n!

Применяя к паре функций F; на отрезке I теорему Коши, найдем точку между x0 и x; в которой

Поскольку F (x) F (x0) = 0 F (x0) = rn(x0; x) è

F 0( ) = f(n+1)( )(x )n; n!

то приходим к равенству

rn(x0; x) = (x)0 (x0)f(n+1)( )(x )n:( )n!

Взяв функцию (t) = (x t)p; p > 0; получаем

(форма Шлемильха-Роша остаточного члена).

Взяв (t) = x t; получаем

Следствие 2 (форма Коши остаточного члена).

rn(x0; x) = n1!f(n+1)( )(x )n(x x0):

Âçÿâ (t) = (x t)n+1; получаем

66

Следствие 3 (форма Лагранжа остаточного члена).

Отметим, что формулу Тейлора при x0 = 0 часто называют формулой Маклорена.

Вернемся к задаче о локальном приближении функции f многочленом. Мы хотим подобрать коэффициенты c0; c1; : : : ; cn òàê, ÷òî

f(x) = c0 + c1(x x0) + : : : + cn(x x0) + o((x x0)n)ïðè x ! x0:

Мы уже обращали внимание на то, что эти коэффициенты определяются однозначно

(x0) = 0(x0) = : : : = (n)(x0) = 0;

òî

(x) = o((x x0)n) ïðè x ! x0:

Доказательство. Доказательство проведем методом математической индукции.

При n = 1 утверждение вытекает из определения дифференцируемости функции в точке x0; в силу которого

(x) = (x0) + 0(x0)(x x0) + o(x x0) ïðè x ! x0;

и, поскольку (x0) = 0(x0) = 0; имеем

(x) = o(x x0) ïðè x ! x0:

67

Предположим, что утверждение доказано для n = k 1: Покажем, что оно спраедливо при n = k:

Поскольку

( 0)0(x0) = : : : = ( 0)(k 1)(x0) = 0;

то по предположению индукции

0(x) = o((x x0)(k 1)) ïðè x ! x0:

Далее, используя теорему Лагранжа, получаем

(x) = (x) (x0) = 0( )(x x0) = ( )( x0)k 1(x x0);

где точка лежит между x и x0, ò.å. j x0j < jx x0j; à ( ) ! 0 ïðè! x0: Тогда

j (x)j j ( )jjx x0jk 1jx x0j = j ( )jjx x0jk;

а значит,

назавают остаточным членом в форме Пеано.

68

Лекция 10

6.7Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей

Теорема 6.7.1. (первое правило Лопиталя). Пусть функции f и g опре-

x!a+0 g(x)

Доказательство. Доопределим функции в точке a :

f(a) = g(a) = 0:

Пусть (xn) - последовательность такая, что

Коши. Тогда найдутся точки n 2 (a; xn) такие, что

òàê êàê f(a) = g(a) = 0:

Очевидно, что n ! a: Тогда в силу определения предела по Гейне и условия существования предела отношения производных имеем:

lim f0( n) = ;

n!1 g0( n)

69

и следовательно,

Замечание 1. Если в свою очередь производные f0(x) è g0(x) óäî-

влетворяют условиям данной теоремы, то ее можно применять повторно, т.е. в это случае имеем

Замечание 2. Совершенно аналогичные утверждения справедливы и для случаев пределов при x ! a; x ! a 0; x ! +1; x ! 1; x ! 1:

x!a+0 g(x)

Отметим, что аналогичные замечания можно сделать и к этой теоре-

ìå.

6.8Достаточные условия экстремума функции

Как мы ранее выяснили, обращение в нуль производной является необходимым условием экстремума дифференцируемой функции, но не является достаточным. Точки, в которых проиводная функции равна нулю, называют стационарными.

Кроме того, экстремальными могут быть точки, в которых функция недифференцируема.

70