lektsii_141_matan1

bb

ZZ

f(x)dx g(x)dx:

aa

Доказательство. Очевидно, что согласно условию теоремы для любого разбиения P и системы промежуточных точек P выполняется неравен- ñòâî

(f; P; P ) (g; P; P ):

Переходя в неравенстве к пределу при d(P ) ! 0; получим

bb

ZZ

f(x)dx g(x)dx:

aa

91

Следствие 1. Åñëè f 2 R[a; b] è ïðè âñåõ x 2 [a; b] f(x) 0; òî

b

Z

f(x)dx 0:

a

Следствие 2. Åñëè f 2 R[a; b]; òî

bb

ZZ

jf(x)dxj jf(x)jdx K(b a);

aa

ãäå K = sup jf(x)j:

x2[a;b]

Теорема 8.4.5. (первая теорема о среднем). Пусть f; g 2 R[a; b] и при

При дополнительном условии непрерывности функции f на отрезке [a; b] найдется точка 2 [a; b] такая, что

Доказательство. Рассмотрим случай, когда для всех x 2 [a; b] g(x) 0:

Тогда

mg(x) f(x)g(x) Mg(x);

и в силу монотонности интеграла

92

среднюю часть которого обозначим через : Остальное очевидно.

Ecли при этом функция f непрерывна, то в силу теоремы Коши о промежуточных значениях найдется точка 2 [a; b] такая, что f(x) = :

При дополнительном условии непрерывности функции f на отрезке [a; b] найдется точка 2 [a; b] такая, что

b

Z

f(x)dx = f( )(b a):

a

Доказательство. Нужно взять функцию g(x) 1 и воспользоваться доказанной теоремой.

93

8.5Интеграл Римана как функция верхнего предела интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция f 2 R[a; b]: Определим новую функцию

Теорема 8.5.1. (о непрерывности интеграла по верхнему пределу интегрирования).

x+h

Z

= j f(t)dtj Mjhj ! 0 ïðè h ! 0:

x

То есть F (x+h) ! F (x) при h ! 0; что означает непреравность функции F в каждой точке x 2 [a; b]:

Теорема 8.5.2. (о дифференцируемости интеграла по верхнему пределу

94

Рассмотрим последнее слагаемое. Пусть > 0 - произвольное число. В силу непрерывности функции f в точке x найдется > 0 такое, что при всех t из отрезка [a; b]; удовлетворяющих условию jt xj < ; выполняется неравенство jf(t) f(x)j < : Тогда, если jhj < ; то

Это означает, что

x+h

Z

lim 1 (f(t) f(x))dt = 0:

h!0 h

x

Поэтому существует предел

lim F (x + h) F (x) = f(x);

h!0 h

òî åñòü F 0(x) = f(x):

Следствие. Если функция f непрерывна на отрезке [a; b]; то она

имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первообразных явля-

x

R

ется функция F (x) = f(t)dt:

a

Теорема 8.5.3. (формула Ньютона-Лейбница). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a; b]: Тогда

b

Z

f(x)dx = (b) (a);

a

где - произвольная первообразная функции f:

Доказательство. Согласно следствию предыдущей теоремы произвольная первообразная функции f имеет вид

x

Z

(x) = f(t)dt + C; ãäå C = const:

a

95

Положим в этом равенстве сначала x = a; а потом x = b: Тогда

Отсюда

b

Z

f(x)dx = (b) (a):

a

Замечание. Формулу Ньютона-Лейбница часто записывают в форме

b

8.6Интегрирование по частям и замена переменний в интеграле Римана

(формула интегрирования по частям). Если функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a; b]; то справед-

ливо равенство

Эту формулу называют формулой интегрирования по частям.

Доказательство. По правилу дифференцирования произведения имеем

u(x)v(x) 0 = u0(x)v(x) + u(x)v0(x):

По условию теоремы все функции в этом равенстве непрерывны, а зна- чит, и интегрируемы на отрезке. Используя линейность интеграла и формулу Ньютона-Лейбница, получаем

96

Следствие.(интегральная форма остаточного члена формулы Тейлора). Пусть функция f имеет на отрехке с концами x0 и x непрерывные производные до порядка n + 1 включительно. Тогда справедлива формула Тейлора

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x x0) + : : : + f(n)(x0)(x x0)n + rn(x0; x): 1! n!

Доказательство. Используя формулу Ньютона-Лейбница и формулу интегрирования по частям, проделаем следующую цепочку проебразований, в которых все дифференцирования и подстановки производятся по переменной t :

xx

ZZ

97

Теорема 8.6.2. (формула замены переменной). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a; b]; функция g имеет непрерывную производную на отрезке [ ; ] и min g(t) = g( ) = a; max g(t) = g( ) = b: Тогда

ZZ

f(x)dx = f(g(t))g0(t)dt:

Доказательство. Пусть - первообразная функции f: Согласно правилу вычисления производной сложной функции для всех t 2 [ ; ] имеем ( (g(t)))0 = 0(g(t))g0(t) = f(g(t))g0(t); то есть функция g является

Лекция 14

8.7Несобственный интеграл Римана

Определение, простейшие свойства и критерий Коши.

Определение 8.7. Пусть функция f определена на промежутке [a; +1) и при любом b 2 [a; +1) f 2 R[a; b]: Предел

b

Z

lim f(x)dx;

b!+1

a

если он существует и конечен, называют несобственным интегралом первого рода и обозначают символом

+1

Z

f(x)dx:

a

98

При этом говорят, что несобственный интеграл сходится. В против-

a

расходится.

b

R

Аналогично определяют несобственный интеграл f(x)dx:

1

Определение 8.8. Пусть функция f определена на промежутке [a; B); неограничена в окрестности точки B и при любом b 2 [a; B) f 2 R[a; b]:

Предел

b

Z

lim f(x)dx;

b!B 0

a

если он существует и конечен, называют несобственным интегралом второго рода и обозначают символом

B

Z

(x)dx:

a

При этом говорят, что несобственный интеграл сходится. В противном случае говорят, что несобственный интеграл расходится.

Поскольку вопрос о сходимости несобственных интегралов двух типов решается одинаково, будем в дальнейшем рассматривать оба случая вместе, введя следующее определение.

Определение 8.9. Пусть [a; !) - конечный или бесконечный промежуток, а функция f определена на нем и интегрируема на любом отрезке [a; b] [a; !): Тогда по определению

если указанный предел существует и конечен.

Задание 1. Доказать, что

99

и интеграл расходится при 1: Задание 2. Доказать, что

и интеграл расходится при 1:

Теорема 8.7.1. (свойства несобственного интеграла). Пусть несобственные интегралы

!!

ZZ

маемого как в несобственном, так и в собственном смысле, совпадают;

b)при любых 1; 2 2 R функция 1f + 2g интегрируема в несобственном смысле на [a; !) и справедливо равенство

c) åñëè c 2 [a; !); òî

d)если функция непрерывно дифференцируема и строго монотонна на [ ; ); причем ( ) = a и ( ) ! ! при ! ; 2 [ ; ); то несобственный интеграл от функции (f ) 0 на [ ; ) существует и справедливо равенство

ZZ

f(x)dx = f( (t)) 0(t)dt:

100