lektsii_141_matan1

Доказательство. Пусть lim xn = a и > 0: Тогда найдется номер n

n!1

такой, что при всех n n выполняется условие jxn aj < . Очевидно, что kn n: Следовательно, при всех n n yn = xkn удовлетворяет

неравенству jyn aj < . Это означает, что lim yn = a:

n!1

Определение 3.15. Пусть (xn) - ограниченная числовая последовательность.

Верхнй предел последовательности определим равенством

Нижний предел последовательности определим равенством

limn!1xn = lim inf xk:

n!1 k n

Нам остается доказать корректность этих определений.

Докажем корректность определения верхнего предела. Обозначим yn =

sup xk: В силу свойства монотонности верхней грани последовательность

k n

(yn) - невозрастающая. Поскольку последовательность (xn) ограничена, то и (yn) ограничена. Тогда, согласно теореме Вейерштрасса, она сходится.

Корректность определения нижнего предела доказывается аналогич-

íî.

Теорема 3.5.2. Для любой ограниченной последовательности справедливо неравенство

limn!1xn lim xn:

n!1

Доказательство. Обозначим

Очевидно, что 8n 2 N zn yn: Осталось перейти к пределу в этом неравенстве.

Теорема 3.5.3. У любой ограниченной последовательности предел существует тогда и только тогда, когда

limn!1xn = lim xn:

n!1

31

Причем

Доказательство. Докажем необходимость . Пусть

lim xn = a;

n!1

ò.å.

Это означает, что

limn!1xn = lim xn = a:

n!1

Докажем достаточность. Пусть

limn!1xn = lim xn = a;

n!1

ò.å.

Осталось воспользоваться порядковым признаком существования предела последовательности и необходимость доказана. Теорема полностью доказана.

Теорема 3.5.4. (Больцано-Вейештрасса .)

У любой ограниченной последовательности существует сходящаяся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть последовательность xn ограничена, т.е. найдет- ся M > 0 такое, что jxnj M при всех n. Разделим отрезок I0 = [ M; M] пополам. Один из получившихся отрезков содержит бесконечное число членов послеовательности. Обозначим его I1 и в качестве первого члена искомой подпоследовательности возьмем какой-либо элемент xn1 2 I1:

32

Затем отрезок I1 снова разделим на два и обозначим через I2 òó åãî ïî- ловину, которая содержит бесконечно много членов последовательности xn: Среди них выберем такой член xn2 ; номер которого n2 > n1: Повторяя эту процедуру далее, мы получим последовательность вложенных отрез-

система отрезков является стягивающейся. Согласно лемме о вложенных отрезках существует единственная точка c; принадлежещая всем отрез-

кам. Обозначим Ik = [ak; bk]: Òàê êàê ak ! c; bk ! c ïðè k ! 1; à ak xnk bk; òî xnk ! c ïðè k ! 1:

Задание. Доказать, что нижний предел последовательности является наименьшим частичным пределом последовательности, а верхний предел - наибольшим.

3.6 Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходомости последовательности.

Определение 3.16. Последовательность (xn) называется фундаментальной, если

8 > 0 9n 2 N 8n n 8m n jxn xmj < :

Отметим, что условие из определения фундаментальности последовательности равносильно следующему условию:

8 > 0 9n 2 N 8n n 8p 2 N jxn+p xnj < :

Теорема 3.6.1. Всякая фундаментальная последоательность ограни- чена.

Доказательство. Из условия фундаментальности, взяв = 1; имеем

9n1 2 N 8n n1 jxn xn1 j < ;

ò.å.

xn1 1 xn xn1 + 1 ïðè âñåõ n n1:

Последнее означает ограниченность последовательности (см. достаточ- ное условие ограниченности последовательности).

33

Теорема 3.6.2. (критерий Коши сходимости последовательности). Последовательности сходится тогда и только тогда, когда она фун-

даментальна.

Доказательство. Докажем необходимость. Пусть последовательность xn ! a при n ! 1: Возьмем произвольное число > 0. Тогда найдется номер n такой, что при n n и m n выполняются условия

jxn aj < =2 è jxm aj < =2:

Следовательно,

jxn xmj = j(xn a) + (a xm)j jxn aj + jxm aj < =2 + =2 = :

То есть последовательность (xn) -фундаментальна.

Докажем достаточность. Пусть (xn) -фундаментальна. Следовательно, (xn) -ограничена. Тогда в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса су-

ществует сходящаяся подпоследовательность xn1 ; xn2 ; : : : ; xkn ; : : :. Пусть xkn ! a при n ! 1: Из условия фундаментальности следует вывод, что

xn xkn ! 0 ïðè n ! 1:

Поэтому

xn a = (xn xkn ) + (xkn a) ! 0;

ò.å. xn ! a при n ! 1: Теорема полностью доказана.

3.7Расширенная числовая прямая

Определение 3.17. Расширенной числовой прямой или расширенным множеством вещественных чисел называют объдинение множества R

и символических объектов 1 и = 1: Обозначают символом

[

R = R f 1; = 1g:

При этом для любого x 2 R выполняется условие

1 < x < +1:

Нетрудно видеть, что

1. Åñëè xn " и неограничена сверху, то x ! +1 при n ! 1:

34

2. Åñëè xn # и неограничена снизу, то x ! 1 при n ! 1:

3.У любой последовательности существуют нижний и верхний пределы, причем

1 limn!1xn lim xn +1:

n!1

4.Во множестве R любая монотонная последовательность имеет предел.

5.У любой поñледовательности существует подпоследовательность, имеющая в R предел.

Лекция 5

4Глава . Предел функции в точке

4.1Определение предела по Гейне и по Коши

Âэтой главе мы будем изучать числовые функции числового аргу-

мента, т.е. f : X ! R; где X R:

Определение 4.1. Интервал (x0 ; x0 + ) с выколотой точкой x0, ò.å. (x0 ; x0 + ) n fx0g; называют проколотой - окрестностью точки a

и обозначают символом

O (x0):

Определение 4.2. Любой интервал (a; b), содержащий точку x0, íà- зывают окрестностью этой точки и обозначают символом O(x0).

Если точка x0 2 (a; b); то множество (a; b) n fx0g называем проколотой окрестностью точки x0 и обозначаем символом

Определение 4.3. Пусть X R: Точка x0 называется предельной точкой множества X; если в любой проколотой окрестности точки xo есть точки множества X.

Определение 4.4. ( предела функции по Коши).

Пусть функция f определена на множестве X и точка x0 является предельной точкой множества X:

35

Число A называют пределом функции f в точке x0; åñëè

8 > 0 9 > 0 8x 2 X (0 < jx x0j < ) jf(x) Aj < )

Формулой это записывается так

lim f(x) = A:

x!x0

Замечание. Используя понятие окрестности точки, данное определение можно переформулировать так:

!

Определение 4.5. ( предела функции по Гейне).

Пусть функция f определена на множестве X и точка x0 является предельной точкой множества X:

Число A называют пределом функции f в точке x0; если для любой последвательности (xn) точек множеcтва X такой, что xn ! x0 ïðè n ! 1 è xn 6= x0 8n 2 N; выполняется условие f(xn) !

A ïðè n ! 1:

Теорема 4.1.1. Определение предела функции в точке по Коши равносильно определению предела по Гейне.

Доказательство. 1)Необходимость. Пусть сначала число A является пределом функции f(x) в точке x0 ïî Êîøè è (xn) -последовательность точек множества X, отличных от точки x0, сходящаяся к точке x0:

Пусть число > 0: Согласно определению Коши найдется число > 0 такое, что jf(x) Aj < ; если 0 < jx x0j < : Поскольку xn ! x0; то найдется номер n0 такой, что при всех n n0 выполняется условие

Гейне.

2)Достаточность. Пусть теперь число A является пределом функции f(x) в точке x0 по Гейне. Докажем, что число A является пределом функции f(x) в точке x0 по Коши. Предположим, что это не так. Тогда для некоторого числа 0 > 0 и любого > 0 найдется x такое, что

0 < jx x0j < ; íî jf(x ) Aj 0:

36

Возьмем последовательность n = n1 ; n 2 N; и найдем xn такие, что

1

0 < jxn x0j < n; íî jf(xn) Aj 0:

Построенная последовательность xn ! x0 è xn 6= x0: Тогда согласно определению Гейне f(xn) ! A; что протоворечит условию jf(xn) Aj0 > 0: Полученное противоречие доказывает теорему.

4.2Критерий Коши существования предела в точке

Определение 4.6. Говорят, что функция f удовлетворяет в точке x0 условию Коши, если выполняется условие

8 > 0 9 > 0 8x0; x00 2 X (0 < jx0 x0j < ; 0 < jx00 x0j < ) jf(x0) f(x00)j < ):

Теорема 4.2.1. Функция f имеет в точке x0 предел тогда и только тогда, когда функция f удовлетворяет в точке x0 условию Коши.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть lim f(x) = A: Возьмем про-

x!x0

извольное число > 0: Согласно определению Коши найдем > 0 такое, что при любых x0 è x00 из множества X, удовлетворяющих условию 0 < jx0 x0j < ; 0 < jx00 x0j < , справедливы неравенства

jf(x0) Aj < =2; jf(x00) Aj < =2:

Тогда

jf(x0) f(x00)j = j(f(x0) A) + (A f(x00)j jf(x0) Aj + jA f(x00)j < ;

àэто и означает, что функция f удовлетворяет в точке x0 условию Коши.

2)Достаточность. Пусть функция f удовлетворяет в точке x0 óñëî- вию Коши. Докажем, что функция f удовлетворяет условию определе-

ния предела по Гейне.

Пусть > 0, а последовательность xn ! x0 è xn 6= x0. Руководствуясь условием Коши, выберем > 0: Тогда найдется номер n0 такой, что ïðè n n0 выполняется условие 0 < jxn x0j < : Если теперь p - произвольное натуральное число, то тем более 0 < jxn+p x0j < :

Следовательно, в силу условия Коши при n n0 ральноо p справедливо неравество

jf(xn+p) f(xn)j < ;

37

а это означает фундаментальностт последовательности (f(xn)). В силу критерия Коши сходимость числовой последовательности последовательность (f(xn)) сходится к некоторому числу A.

Остается доказать, что для любой другой последовательности x0n ! x0; x0n 6= x0 выполняется условие f(x0n) ! A.

Предположим, что f(x0n) ! A0: Рассмотрим последовательность x1; x01; x2; x02; : : : ; xn; x0n; : : : ;

которая тоже сходится к точке x0: В силу доказанного выше последова-

тельность

f(x1); f(x01); f(x2); f(x02); : : : ; f(xn); f(x0n); : : :

сходится к некоторому числу A00. Тогда ее подпоследовательности (f(xn)) è (f(x0n)) тоже сходятся к числу A00. Отсюда вытекает, что A = A0 = A00. Теорема полностью доказана.

4.3Односторонние пределы функции

Определение 4.7. (левостороннего предела по Коши) Пусть A 2 R:

Для левостороннего предела используют более короткое обозначение

38

Нетрудно сообразить, как измениться определение по Гейне, если говорить об односторонних пределах.

А именно, в случае предела левостороннего последовательность (xn) должна удовлетворять условиям: xn ! x0; xn < x0; в случае предела правостороннего - xn ! x0; xn > x0:

Нетрудно доказать следующую теорему.

Теорема 4.3.1. Предел lim f(x) = A существует тогда и только то-

x!x0

гда, когда существуют оба односторонних предела и f(x0 0) = f(x0 + 0) = A:

Доказательство. Доказать самостоятельно.

4.4Свойства предела функции

Используя определение предела функции по Гейне и опираясь на свойства предела последовательности, легко установить аналогичные свойства предела функции.

Теорема 4.4.1. (арифметические свойства предела.) Пусть lim f(x) =

x!x0

A; lim g(x) = B: Тогда

x!x0

lim (f(x) g(x)) = A B;

x!x0

lim (f(x)g(x)) = AB;

x!x0

(последнее равенство справедливо при дополнительном условии B 6= 0).

Доказательство. Для будем пользоватся определением предела по Гейне. Пусть последовательность xn ! x0 è xn 6= x0. Тогда

f(xn) ! A è g(xn) ! B:

39

Воспользуемся доказанными ранее арифметическими свойствами предела последовательности. В силу этих теорем имеем

f(xn) g(xn) ! A + B; f(xn)g(xn) ! AB; f(xn) ! A : g(xn) B

Согласно определению предела по Гейне это означает, что функции f g; fg; fg имеют в точке x0 пределы, соответственно равные A B; AB и A=B:

Доказательство. Предположим противное. Тогда можно построить по-

Теорема 4.4.3. (порядковый признак существования предела функции) Пусть f(x) h(x) g(x) при всех x; принадлежащих некоторой про-

Доказательство. Пусть последовательность xn ! x0 è xn 6= x0. Тогда f(xn) h(xn) g(xn)

Поскольку

lim f(xn) = lim g(xn) = A;

n!x0 n!x0

40