dx |
2 |
≠ 0 |
, а λ = − |
1 |
< 0 , то достаточные условия максимума не выполняются. Так как |
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d 2 L(B) ≥ 0 |
при всех dx2 , то и необходимое условие максимума второго порядка в |
|||||||||||||||||||||
точке |
B |
не |
|
|
выполняется. |
Поэтому |
в |
ней нет |
экстремума. |
Так как |
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
2 |
|
|
при dx2 ≠ 0 , |
то |
достаточные условия |
максимума |
||||||
d |
|
L(C) = − (− |
|
)dx2 |
− dx2 < 0 |
|||||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выполняются. В точке C условный локальный максимум. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
5. Вычислим значения функций в точках экстремума |
f ( A) = 0, f (C) =117 . |
||||||||||||||||||
|
|
|
Графическое решение задачи приведено на рис.7.9. ■ |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.7.9. Графическое решение задачи из примера 7.10
Вопросы и задания для самопроверки
1.Что называется обобщенной (классической) функцией Лагранжа задачи условного экстремума?
2.Что называется градиентом обобщенной (классической) функции Лагранжа?
3.Что называется вторым дифференциалом обобщенной (классической) функции Лагранжа?
4.Что называется первым дифференциалом ограничения g j (x) ?
149
5.Когда ограничение g j (x) ≤ 0 называется активным в точке x ?
6.Когда ограничение g j (x) ≤ 0 называется пассивным в точке x ?
7.При каких условиях градиенты ограничений g1 (x), ..., gm (x) называются
линейно зависимыми в точке x , линейно независимыми в точке x ?
8.Сформулировать необходимые условия экстремума первого порядка с ограничениями типа равенств.
9.Какие точки x называются условно-стационарными в задаче экстремума с ограничениями типа равенств?
10.Какие точки экстремума x называются регулярными, а какие − нерегулярными при ограничениях типа равенств?
11.В каком случае антиградиент целевой функции является линейной комбинацией градиентов ограничений?
12.Сформулировать необходимые условия экстремума второго порядка; достаточные условия экстремума в случае ограничений типа равенств.
13.В каких точках x проверяются необходимые условия второго порядка и достаточные условия в случае ограничений типа равенств?
14.Сформулировать алгоритм решения задачи нахождения экстремума в случае ограничений типа равенств.
15.Сформулировать необходимые условия минимума (максимума) первого порядка с ограничениями типа неравенств.
16.В каком случае необходимые условия минимума (максимума) первого порядка с ограничениями типа неравенств являются одновременно и достаточными условиями минимума (максимума)?
17.Сформулировать достаточные условия минимума (максимума) первого порядка в случае ограничений типа неравенств.
18.Сформулировать необходимое условие минимума (максимума) второго порядка в случае ограничений типа неравенств.
19.Сформулировать достаточные условия экстремума второго порядка в случае ограничений типа неравенств.
20.Сформулировать алгоритм решения задачи нахождения экстремума в случае ограничений типа неравенств.
150