bdz_teorver
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский университет «МИЭТ»
В.В. Бардушкин, И.В. Бардушкина, Л.М. Гафарова, И.В. Лавров, А.М. Ревякин
Сборник заданий для самостоятельной работы студентов по курсу «Теория вероятностей
и математическая статистика»
Утверждено редакционно-издательским советом университета
Москва 2011
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
УДК 519.2 (075.8)
Рецензент докт. техн. наук, проф. А.М. Терещенко
Бардушкин В.В., Бардушкина И.В., Гафарова Л.М., Лавров И.В., Ревякин А.М. Сборник заданий для самостоятельной работы студентов по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика». – М.: МИЭТ, 2011. – 120 с.: ил.
Содержит систематизированную подборку заданий по основным разделам предмета, сгруппированную по 30 однотипных задач на каждую тему. Кроме задач алгоритмического характера, в сборник включены задания на проверку усвоения студентами основных понятий теории вероятностей и математической статистики.
Для студентов, изучающих курс теории вероятностей и математической статистики.
© МИЭТ, 2011
2
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Предисловие
Настоящий сборник заданий составлен на основе многолетнего опыта чтения лекций по теории вероятностей и математической статистике студентам технических и экономических специальностей Национального исследовательского университета «МИЭТ», а также проведения семинарских занятий. В него включены задачи по следующим семи разделам теории вероятностей и математической статистики: множества и комбинаторика, случайные события, случайные величины, системы случайных величин (случайные векторы), предельные теоремы, математическая статистика, случайные процессы.
Сборник заданий адресован в первую очередь студентам и преподавателям высшей математики. Однако он будет также интересен и лицам, занимающимся теорией вероятностей и математической статистикой самостоятельно.
Сборник включает систематизированную подборку заданий по основным разделам предмета, сгруппированную по 30 задач с однородным содержанием на каждую тему.
Этот принцип позволяет преподавателю формировать для студентов варианты индивидуальных семестровых заданий приблизительно равной трудности. Кроме того, из задач сборника могут составляться варианты для контрольных и самостоятельных работ.
Помимо задач алгоритмического характера, в сборник включены задания на
проверку усвоения студентами основных понятий теории вероятностей и математической статистики.
Практика преподавания показывает, что индивидуальные семестровые домашние
задания по отдельным дисциплинам или разделам высшей математики являются одной из самых эффективных форм организации самостоятельной и непрерывной работы студентов
втечение всего семестра. Поэтому уточним, как пользоваться сборником при выдаче индивидуальных семестровых заданий. Каждый студент решает одну задачу в соответствии со своим вариантом домашнего задания. Номер варианта определяется преподавателем, ведущим практические занятия. При работе со сборником не предполагается, что в семестровое задание войдут все его номера. Их количество и состав
вкаждом учебном году определяются лектором потока.
Необходимо отметить также, что выполнение большей части заданий не требует от студентов дополнительных знаний по теории вероятностей и математической статистике. Достаточно владеть материалом, излагаемым на лекциях и семинарских занятиях.
Авторы приносят искреннюю благодарность рецензенту – доктору технических
наук, профессору Национального исследовательского университета «МИЭТ» Анатолию
3
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Михайловичу Терещенко – за ценные советы и замечания, способствовавшие значительному улучшению сборника.
Авторы признательны также заведующей лабораторией кафедры «Высшая математика № 2» Национального исследовательского университета «МИЭТ» Инге Витальевне Булаховой за большую помощь в подготовке настоящего сборника к изданию.
4
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
1. Множества и комбинаторика
Операции на множествах
З а д а н и е 1.1. Имеются множества W, A, B, C ; A Ω , B Ω , C Ω (табл.1.1). Найти
следующие множества: а) |
A C ; б) A Ç B ; в) A Ç (B È C) ; г) (A Ç B) È C ; д) |
|
È |
|
; e) A \ B ; |
||||||||
A |
B |
||||||||||||
|
|
|
|
) ; к) (A B) \ C |
|
|
|
|
|
|
|
||
ж) A× B ; з) C × C ; и) A È (B ÇC |
. |
|
|
|
Таблица 1.1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Вариант |
|
Множества |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; |
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; |
|||||||||
|
1 |
|
9; 10}, |
|
|
7}, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
B = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, |
C = {2; 4; 6; 8; 10} |
|
||||||||
|
|
|
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; |
A = {1; 2; 3; 4}, |
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
9; 10}, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
C = {2; 4; 10} |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
B = {7; 8; 9; 10}, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; |
A = {1; 2; 3; 4; 5}, |
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
9; 10}, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
C = {2; 8; 10} |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
B = {8; 9; 10}, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; |
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, |
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
9; 10}, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
C = {2; 4; 6; 10} |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
B = {4; 5; 6; 9; 10}, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; |
A = {1; 2; 3}, |
|
|
|
|
|
||||
|
5 |
|
9; 10}, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
C = {4; 6; 8; 10} |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
B = {4; 5; 6; 10}, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
6 |
|
Ω = {a; b; c; d; e; f; g}, |
A = {c; d; e; f}, |
|
||||||||
|
|
B = {d; e; f; g}, |
C = {a; c; e; g} |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
7 |
|
Ω = {a; b; c; d; e; f; g}, |
A = {a; b; c; f}, |
|
||||||||
|
|
B = {e; f}, |
C = {a; c; g} |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
8 |
|
Ω = {a; b; c; d; e; f; g}, |
A = {d; e; f}, |
|
||||||||
|
|
B = {a; d; e; f}, |
C = {a; c; e; g} |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
9 |
|
Ω = {a; b; c; d; e; f; g}, |
A = {a; b; f}, |
|
||||||||
|
|
B = {b; c; d; e; f}, |
C = {a; e; g} |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Вариант |
Множества |
|
|
|
|
|
|
10 |
Ω = {a; b; c; d; e; f; g}, |
A = {a; e; f}, |
|
B = {c; d; e; f}, |
C = {c; e; g} |
||
|
|||
|
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; |
A = {1; 2; 3; 6; 7}, |
|
11 |
9}, |
||
C = {1; 3; 5; 7; 9} |
|||
|
B = {4; 5; 6; 7; 8}, |
||
|
|
||
|
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; |
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; |
|
12 |
9}, |
7}, |
|
|
B = {4; 5; 6; 7; 8}, |
C = {1; 3; 5; 7; 9} |
|
|
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; |
A = {1; 4; 5; 6; 7}, |
|
13 |
9}, |
||
C = {1; 3; 5; 7; 9} |
|||
|
B = {4; 5; 6; 7; 8; 9}, |
||
|
|
||
|
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; |
A = {1; 2; 3; 4; 5; 7}, |
|
14 |
9}, |
||
C = {1; 3; 5; 7; 9} |
|||
|
B = {4; 5; 6; 7; 8; 9}, |
||
|
|
||
|
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; |
A = {2; 3; 5; 6; 7}, |
|
15 |
9}, |
||
C = {1; 3; 5; 7; 9} |
|||
|
B = {4; 5; 6; 7; 8; 9}, |
||
|
|
||
16 |
Ω = {a; b; c; d; e; f; g}, |
A = {c; d; e; f}, |
|
B = {d; e; f; g}, |
C = {b; c} |
||
|
|||
17 |
Ω = {a; b; c; d; e; f; g}, |
A = {a; b; e; f}, |
|
B = {a; d; e; f}, |
C = {b; c} |
||
|
|||
18 |
Ω = {a; b; c; d; e; f; g}, |
A = {a; b; c; d}, |
|
B = {d; e; f}, |
C = {b; c} |
||
|
|||
19 |
Ω = {a; b; c; d; e; f; g}, |
A = {a; d; e; f}, |
|
B = {d; e; f; g}, |
C = {a; b} |
||
|
|||
20 |
Ω = {a; b; c; d; e; f; g}, |
A = {a; c; d; e; f}, |
|
B = {d; e; f; g}, |
C = {a; b} |
||
|
|||
21 |
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, |
A = {1; 2; 3; 4; 5}, |
|
B = {4; 5; 6; 7; 8}, |
C = {2; 4; 6} |
||
|
|||
22 |
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, |
A = {1; 2; 3; 6; 7}, |
|
B = {4; 5; 6; 7}, |
C = {2; 4; 6} |
||
|
|||
|
6 |
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
23 |
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, |
A = {3; 4; 5; 6; 7}, |
|
B = {6; 7; 8}, |
C = {2; 4; 6} |
||
|
|||
24 |
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, |
A = {1; 2; 3; 4; 7}, |
|
B = {4; 5; 6; 7}, |
C = {2; 4; 6} |
||
|
|||
Вариант |
Множества |
|
|
|
|
|
|
25 |
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, |
A = {1; 2; 4; 5; 6; 7}, |
|
B = {4; 6; 7}, |
C = {2; 4; 6; 8} |
||
|
|||
26 |
Ω = {a; b; c; d; e; f; g}, |
A = {a; c; d}, |
|
B = {d; e}, |
C = {b; c} |
||
|
|||
27 |
Ω = {a; b; c; d; e; f; g}, |
A = {c; d; e; f}, |
|
B = {d; f}, |
C = {a; b} |
||
|
|||
28 |
Ω = {a; b; c; d; e; f; g}, |
A = {a; b; e; f}, |
|
B = {d; e; f}, |
C = {a; b; c} |
||
|
|||
29 |
Ω = {a; b; c; d; e; f; g}, |
A = {c; d; e; f}, |
|
B = {d; e; f; g}, |
C = {a; b; c} |
||
|
|||
30 |
Ω = {a; b; c; d; e; f; g}, |
A = {a; c; d; e; f}, |
|
B = {d; e; f}, |
C = {a; b; c; g} |
||
|
Элементы комбинаторики
З а д а н и е 1.2. Согласно опросу N телезрителей: a из них нравится смотреть новости, b предпочитают смотреть спорт, c – комедии, d – новости и комедии, e – спорт и комедии, f
– новости и спорт, g любят все три вида программ (табл.1.2). Сколько телезрителей: а) смотрят новости, но не смотрят спорт? б) смотрят новости или спорт, но не любят комедии? в) не любят смотреть ни новости, ни спорт? г) смотрят все, кроме спорта? д) смотрят спорт и комедии, но не смотрят новости?
Таблица 1.2
Вариант |
N |
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
250 |
95 |
125 |
125 |
25 |
45 |
35 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
180 |
60 |
85 |
85 |
35 |
25 |
15 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
250 |
80 |
95 |
95 |
45 |
35 |
25 |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
220 |
60 |
105 |
100 |
30 |
40 |
35 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Вариант |
N |
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
250 |
120 |
100 |
100 |
50 |
50 |
40 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
250 |
130 |
50 |
70 |
20 |
20 |
30 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
200 |
50 |
105 |
90 |
30 |
40 |
35 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
230 |
80 |
95 |
95 |
45 |
35 |
25 |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
300 |
150 |
70 |
90 |
40 |
40 |
50 |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
230 |
130 |
50 |
70 |
20 |
20 |
30 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
220 |
100 |
80 |
80 |
30 |
30 |
20 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
300 |
160 |
80 |
110 |
50 |
50 |
50 |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
190 |
100 |
80 |
70 |
30 |
30 |
20 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
270 |
150 |
70 |
90 |
40 |
40 |
50 |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
310 |
120 |
100 |
160 |
50 |
40 |
30 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
210 |
60 |
105 |
90 |
30 |
40 |
35 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
190 |
70 |
85 |
85 |
35 |
25 |
15 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
240 |
120 |
100 |
100 |
50 |
50 |
40 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
240 |
100 |
80 |
100 |
40 |
30 |
10 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
210 |
80 |
95 |
95 |
45 |
35 |
25 |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
210 |
130 |
50 |
70 |
20 |
20 |
30 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
200 |
100 |
80 |
70 |
30 |
30 |
20 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
220 |
100 |
80 |
100 |
40 |
30 |
10 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
180 |
50 |
105 |
90 |
30 |
40 |
35 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
210 |
100 |
80 |
70 |
30 |
30 |
20 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
250 |
110 |
90 |
100 |
40 |
30 |
20 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
300 |
160 |
70 |
100 |
50 |
40 |
50 |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
300 |
110 |
90 |
150 |
40 |
30 |
20 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
200 |
70 |
85 |
85 |
35 |
25 |
15 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
160 |
40 |
95 |
80 |
20 |
30 |
25 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
За д а н и е 1.3. Ответить на вопрос, сформулированный в условии задачи.
1.В меню столовой имеется 7 первых, 9 вторых и 4 третьих блюда. Сколько существует способов выбрать обед из трех блюд (первое, второе и третье)?
2.Допустим, что у вас есть 4 пары туфель, 3 штуки брюк и 2 свитера. Каким числом способов вы можете одеться?
8
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
3.На гору ведут 7 дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с нее, если подъем и спуск должны осуществляться по разным дорогам?
4.Сколькими способами можно поставить на шахматную доску две ладьи (белую и черную) так, чтобы они не «били» друг друга?
5.Сколько существует четных трехзначных чисел?
6.Сколько нечетных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, …, 7, если цифры в числе не могут повторяться?
7.Сколько «слов» длины 4 можно составить, используя только 7 различных букв, если буквы в «слове» не повторяются?
8.В чемпионате участвует 16 команд. Сколькими способами между ними могут быть распределены на финише 10 первых мест?
9.В чемпионате участвует 16 команд. Сколькими способами между ними могут быть распределены места на финише турнира?
10.Сколькими способами 4 юношей могут пригласить на танец 4 из 6 девушек?
11.Сколькими способами 10 различных писем можно разложить по 10 различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?
12.Сколькими способами на шахматной доске можно расставить 8 одинаковых ладей так, чтобы они не «били» друг друга?
13.Сколько существует таких перестановок чисел 1, 2, …, 10, в которых число 1 стоит перед числом 2, причем числа 1 и 2 не обязательно соседние?
14.На чемпионате мира по легкой атлетике проводится полуфинальный забег на 100 м, в котором участвует 8 спортсменов. Четверо лучших выходят в финал. Сколько существует способов выхода в финал?
15.У вас есть 15 непрочитанных книг. Каким числом способов вы можете взять с собой в дорогу 3 книги?
16.На плоскости даны 6 точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
17.В шахматном турнире участвует 10 спортсменов. Сколькими способами из них можно составить пару для проведения стартового матча турнира?
18.Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 5 членов, можно отобрать из 9 преподавателей?
19.Сколько различных слов можно образовать, переставляя буквы в слове «КОМБИНАТОРИКА»?
9
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
20.Четыре автора должны написать книгу из 17 глав, причем первый и третий авторы должны написать по 5 глав, второй – 4, а четвертый – 3 главы книги. Сколькими способами можно распределить главы между авторами?
21.Сколько существует восьмизначных чисел, в которых цифра 1 встречается три раза, а цифры 2, 3, 4, 5, 6 по одному разу?
22.У мамы 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день в течение 9 дней подряд она выдает сыну по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано, если фрукты одного вида неотличимы друг от друга?
23.Сколько различных слов можно образовать, переставляя буквы в слове «АБРАКАДАБРА»?
24.Сколько «слов» длины 4 можно составить, используя только 7 различных букв, если буквы в «слове» могут повторяться?
25.Сколькими способами 6 различных конфет можно разделить между тремя детьми (не обязательно поровну)?
26.Четыре студента пришли сдавать экзамен по теории вероятностей. Сколькими способами могут быть распределены между ними оценки, если известно, что все они экзамен сдали?
27.Сколькими способами можно разложить в два кармана девять монет различного достоинства?
28.В кондитерском отделе имеются пирожные четырех сортов: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно совершить покупку из 7 пирожных?
29.Сколькими способами 6 одинаковых конфет можно разделить между тремя детьми (не обязательно поровну)?
30.В кошельке лежит по 10 монет достоинством в 1, 2 и 5 руб. Сколькими способами можно из этих 30 монет выбрать 10?
За д а н и е 1.4. Ответить на вопрос, сформулированный в условии задачи.
1.Сколькими способами можно рассадить за круглым столом 4 мужчин и 4 женщин, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?
2.Сколькими способами можно разделить 28 костей домино четырем игрокам так, чтобы каждый получил 7 костей?
3.На первой из двух параллельных прямых лежит 10 точек, на второй – 20. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
10
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com