bdz_teorver
.pdf16.Первый прибор состоит из 10 узлов, второй – из 8 узлов. За время T каждый из узлов первого прибора выходит из строя независимо от других с вероятностью 0,1, второго – с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что за время T в первом приборе выйдет из строя хотя бы один узел, а во втором – не менее двух узлов.
17.Сколько нужно взять деталей, чтобы наивероятнейшее число годных деталей было равно 50, если вероятность того, что наудачу взятая деталь будет бракованной, равна 0,1?
18.Игральная кость подбрасывается до тех пор, пока не выпадет 6 очков. Найти вероятность того, что кость придется подбрасывать не менее 4 раз.
19.Какова вероятность, что при многократном независимом бросании «правильной» игральной кости первая шестерка выпадет при третьем или четвертом бросании?
20.Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча в корзину при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго.
21.В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток времени в 7,5 с испускало в среднем 3,87 α-частицы. Найти вероятность того, что за 1 с это вещество испустит хотя бы одну α-частицу.
22.В аэропорту производят посадку в среднем три самолета в минуту. Какова вероятность того, что в течение 2 мин произведут посадку не менее четырех самолетов?
23.На прядильной фабрике работница обслуживает 800 веретен (внешне практически ничем не отличимых). Вероятность обрыва пряжи на одном веретене в течение 1 мин примерно равна 0,0005. Найти вероятность того, что в течение 10 мин произойдет не более двух обрывов.
24.Первый прибор состоит из 10 узлов, второй из 8 узлов. За время T каждый из узлов первого прибора выходит из строя независимо от других с вероятностью 0,1, второго – с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что за время T в обоих приборах выйдет из строя не менее двух узлов.
25.Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Найти наиболее вероятное число библиотек, которые посетит студент и вероятность этого числа.
26.Торговый агент имеет пять телефонных номеров потенциальных покупателей. При поступлении нового товара он обзванивает клиентов по очереди до тех пор, пока не
получит заказ на его покупку. Вероятность того, что потенциальный покупатель
41
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
сделает заказ, равна 0,3. Найти наиболее вероятное число телефонных разговоров, которые предстоит провести агенту и вероятность этого числа.
27.Из поступивших в ремонт 6 штук часов 2 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно, и, найдя, прекращает дальнейший просмотр. Найти наиболее вероятное число просмотренных часов и вероятность этого числа.
28.Вероятность сбить самолет одиночным винтовочным выстрелом составляет порядка 0,004. Какова вероятность сбить самолет при одновременной независимой стрельбе из 250 винтовок?
29.В микрорайоне 9 машин технической службы. Для бесперебойной работы необходимо, чтобы не менее 8 машин были в исправном состоянии. Считая вероятность исправного состояния для всех машин одинаковой и равной 0,9, найти вероятность бесперебойной работы технической службы в микрорайоне.
30.Три игральные кости подбрасываются 8 раз. Найти вероятность того, что не менее 2 раз ровно на двух костях появится по одному очку.
Основные распределения непрерывных случайных величин (нормальное, равномерное, показательное)
З а д а н и е 3.4. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее математическое ожидание равно m, среднее квадратическое отклонение равно σ (табл.3.2). Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (a; b) .
Таблица 3.2
Вариант |
m |
σ |
a |
b |
|
Вариант |
m |
σ |
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
10 |
1 |
8 |
14 |
|
10 |
30 |
1 |
27 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
12 |
2 |
8 |
14 |
|
11 |
32 |
3 |
30 |
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
14 |
3 |
10 |
15 |
|
12 |
34 |
1 |
30 |
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
16 |
2 |
15 |
18 |
|
13 |
36 |
2 |
34 |
37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
18 |
1 |
16 |
21 |
|
14 |
38 |
3 |
37 |
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
20 |
2 |
17 |
22 |
|
15 |
40 |
2 |
39 |
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
24 |
1 |
20 |
26 |
|
16 |
40 |
4 |
36 |
43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
26 |
3 |
23 |
27 |
|
17 |
38 |
2 |
35 |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
28 |
2 |
24 |
30 |
|
18 |
42 |
4 |
40 |
43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Вариант |
m |
σ |
a |
b |
Вариант |
m |
σ |
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
44 |
5 |
41 |
45 |
25 |
54 |
3 |
53 |
56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
45 |
5 |
43 |
48 |
26 |
56 |
4 |
55 |
58 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
46 |
4 |
44 |
48 |
27 |
58 |
5 |
56 |
61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
48 |
5 |
45 |
49 |
28 |
60 |
6 |
58 |
63 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
50 |
6 |
48 |
53 |
29 |
62 |
5 |
59 |
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
52 |
4 |
50 |
55 |
30 |
64 |
6 |
60 |
66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З а д а н и е 3.5. Плотность вероятности случайной величины X имеет |
вид |
||||||
f |
X |
(x) = g ×eax2 + bx + c |
(табл.3.3). Найти: а) константу |
γ |
; б) математическое ожидание |
M[X ] |
; |
|
|
|
|
||||
в) дисперсию D[X ]; г) вероятность выполнения неравенства x1 < X < x2 .
Таблица 3.3
Вариант |
a |
b |
c |
x1 |
x2 |
Вариант |
a b |
c |
x1 |
x2 |
|
–2 |
8 |
–2 |
1 |
3 |
–2 |
|
0 |
|
|
||
1 |
12 |
4 3 |
1 3 |
2 3 |
|||||||
2 |
–2 4 3 |
− 2 3 1 3 |
2 3 |
13 |
–2 |
–8 |
0 |
−3 2 –1 |
|||
3 |
–2 |
–8 |
2 |
−3 2 |
–1 |
14 |
–4 |
6 |
0 |
0 |
3 4 |
4 |
–4 |
6 |
2 |
0 |
3 4 |
15 |
–3 |
3 |
0 |
1 2 |
3 2 |
5 |
–3 |
3 |
–2 |
1 2 |
3 2 |
16 |
–4 |
–6 |
0 |
−3 4 1 4 |
|
6 |
–4 |
–6 |
–2 |
−3 4 |
1 4 |
17 |
–3 |
–3 |
0 |
−1 2 |
3 2 |
7 |
–3 |
–3 |
2 |
−1 2 3 2 18 –3 |
–4 |
0 |
1 3 |
4 3 |
|||
8 |
–3 |
–4 |
2 |
1 3 |
4 3 19 |
–2 − 4 3 0 |
−1 3 2 3 |
||||
9 |
–2 − 4 3 2 3 |
−1 3 2 3 20 –3 |
4 |
0 |
−1 3 5 3 |
||||||
10 |
–3 |
4 |
–2 |
−1 3 |
5 3 |
21 |
–2 |
8 |
–1 |
1 |
3 |
11 |
–2 |
8 |
0 |
1 |
3 |
22 |
–4 |
6 |
1 |
0 |
3 4 |
Вариант |
a |
b |
c |
x1 |
x2 |
Вариант |
a |
b |
c |
x1 |
x2 |
–2 |
–8 |
1 |
−3 2 |
–1 |
–3 |
–3 |
1 |
−1 2 |
|
||
23 |
27 |
3 2 |
|||||||||
24 |
–4 |
–6 |
–1 |
−3 4 |
1 4 |
28 |
–3 |
4 |
–1 |
−1 3 |
5 3 |
25 |
–3 |
3 |
–1 |
1 2 |
3 2 29 |
–2 − 4 3 1 3 |
−1 3 2 3 |
||||
26 |
–3 |
–4 |
1 |
1 3 |
4 3 30 |
–2 4 3 −1 3 1 3 |
2 3 |
||||
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
За д а н и е 3.6. Решить задачу.
1.Блок прибора построен из трех независимых, параллельно действующих одинаковых элементов. Отказ блока происходит лишь в случае, когда отказывают все три элемента. Плотность распределения времени X исправной работы каждого
|
1 |
×e− |
x |
||
fX (x) = |
200 |
|
|||
200 |
. Какова вероятность того, что блок |
||||
из элементов равна |
|
|
|||
безотказно проработает 500 ч?
2.Случайная величина имеет нормальный закон распределения. Известно, что она не превосходит 6 с вероятностью 0,5 и не превосходит 12 с вероятностью 0,9986. Найти второй начальный момент этой случайной величины.
3.Значение функции распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, в точке x = 4 равно 1- e−2 . Чему равна дисперсия случайной величины?
4.Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 540 г. Известно, что масса коробок с конфетами имеет нормальное распределение, а 5% коробок имеют массу, меньшую 500 г. Каков процент коробок, масса которых более 550 г?
5.Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [a; b], где a < 0 и b > 0 . Вероятность того, что эта случайная величина примет положительное значение, равна 0,2. Рассматривается другая случайная величина Y, равномерно распределенная на отрезке [4a; b] . Чему равна вероятность того, что случайная величина Y будет отрицательной?
6.Случайная величина подчинена нормальному закону распределения. Второй начальный и второй центральный моменты равны соответственно 9 и 8. Чему равно значение функции распределения случайной величины в точке x =1 ?
7.Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, равными соответственно 4 и 10. При каком x вероятность попадания случайной величины в интервал (−2; x) равна 0,6?
8.Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией, равными соответственно 3 и 25. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который случайная
величина попадает с вероятностью 0,5. 44
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
9.Диаметр выпускаемой детали – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией, равными соответственно 10 см и 0,16 см2. Найти вероятность того, что две взятые наудачу
детали имеют отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не более 0,16 см.
10.Случайная величина X распределена по показательному закону с параметром λ = 5 . Вычислить вероятность P{X ³ 50| X ³ 48}.
11.Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией, равными соответственно 2,8 и 0,36. Какова вероятность того, что при первом испытании случайная величина окажется на отрезке [3; 4], а
при втором испытании – на отрезке [1; 2]?
12.Случайная величина равномерно распределена на отрезке [a; b]. Ее математическое ожидание равно 3, а дисперсия равна 12. Чему равна вероятность того, что случайная величина примет отрицательное значение?
13.Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным пяти. Каково должно быть среднее квадратическое отклонение этой случайной величины, чтобы с вероятностью 0,8 отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не превышало 0,2?
14.Известно, что среднее время ожидания кассиром очередного покупателя, подошедшего к кассе, равно 0,25 мин. Время ожидания кассиром очередного покупателя можно считать случайной величиной, имеющей показательный закон распределения. Кассиру нужно сменить ленту кассового аппарата. На это ему требуется 3 мин. Какова вероятность того, что за это время не образуется очередь, т.е. к кассе не подойдет ни один покупатель?
15.Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [0; b] .
Известно, что P{X > 5} = 1
9 . Найти b и начальный момент α2 .
16.Продолжительность жизни человека случайна и удовлетворительно описывается показательным законом распределения. По данным страховых агентств некоторого государства вероятность того, что гражданин этой страны доживет до 60 лет, равна 0,85. Какова вероятность того, что случайный новорожденный этой страны доживет до свадьбы, если по статистике этот возраст составляет 21 год?
17.Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, равными соответственно 1,4 и
45
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
1. Какова вероятность того, что при трех испытаниях эта случайная величина хотя бы один раз попадет в интервал (1; 2) ?
18. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Если стандартная длина детали 30 см и среднее квадратическое отклонение равно 0,5 см, то какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,9?
fX (x) = |
1 |
|
×e |
− |
(x − 10)2 |
|
|
|
|
|
8 |
||
|
|
|
|
|
||
2 2p |
|
. |
||||
19. Случайная величина X имеет плотность вероятности |
|
|
|
|||
Какова вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал |
|
(2;10) ? |
||||
Чему равен второй начальный момент этой случайной величины? |
|
|
|
|
|
|
20.Срок эксплуатации лампочки определенного типа случайно и удовлетворительно описывается показательным законом распределения. Опытами установлено, что в течение месяца выходит из строя 0,02% таких электрических лампочек. Некто для своей новой трехламповой люстры купил три лампочки этого типа. Какова вероятность того, что в течение 6 месяцев ни одна из лампочек в люстре не перегорит?
21.Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [−1; 5] . Найти точку, в
которой функция распределения равна 1
9 и вероятность P{X ³ [sX ]} (здесь [sX ] –
целая часть числа sX ).
22.Время ремонта и обслуживания автомобиля после одной поездки случайно и удовлетворительно описывается показательным законом распределения. Было замечено, что в текущем сезоне на ремонт и обслуживание автомобиля после одной поездки тратилось в среднем 6 мин. Найти вероятность того, что при очередной поездке это время не превысит 20 мин.
23.Установлено, что время ремонта телевизоров – это случайная величина, распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины.
24.Квантиль порядка 0,15 нормально распределенной случайной величины равна 12, а квантиль порядка 0,6 равна 16. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины.
46
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
25.Среднее время безотказной работы прибора равно 80 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти выражение его плотности вероятности и вероятность того, что в течение 100 ч прибор не выйдет из строя.
26.Известно, что нормально распределенная случайная величина принимает значение, меньшее 248, с вероятностью 0,975, а значение, большее 279, с вероятностью 0,005. Найти функцию распределения случайной величины.
27.Диаметр выпускаемой детали – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией, равными соответственно 5 см и 0,81 см2. В каких границах следует ожидать размер диаметра детали, чтобы вероятность не выйти за эти границы была равна 0,95?
28.Цена некой ценной бумаги нормально распределена. В течение последнего года 20% рабочих дней она была ниже 88 ден. ед., а 75% – выше 90 ден. ед. Требуется с надежностью 0,95 определить максимальное отклонение цены этой ценной бумаги от среднего (прогнозного) значения.
29.Нормально распределенная случайная величина X имеет функцию распределения
FX (x) = 0,5 + 0,5Φ(x −1) . Из какого интервала – (1; 2) или (2; 6) она примет значение
с большей вероятностью?
30.Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [a; b], где a < 0 и b > 0 . Вероятность того, что эта случайная величина примет положительное значение, равна 0,2. Рассматривается другая случайная величина Y, равномерно распределенная на отрезке [2a; b] . Чему равна вероятность того, что случайная величина Y будет положительной?
Функции от одной случайной величины
З а д а н и е 3.7. Случайная величина X является дискретной. Составить закон распределения случайной величины Y (табл.3.4).
47
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Условие задачи |
|
Вариант |
Y |
Вариант |
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
Из |
9 |
|
(одинаково |
1 |
2X |
|||||
великолепных) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
гвоздик 4 белые. При |
|
|
|
|
|
|||||
покупке |
|
|
букета |
|
|
|
|
|
||
наудачу |
|
выбрано |
5 |
|
|
|
|
|
||
гвоздик. |
|
Случайная |
|
|
|
|
|
|||
величина |
|
|
X – |
|
|
|
|
|
||
количество |
белых |
|
|
|
|
|
||||
гвоздик |
|
|
среди |
|
|
|
|
|
||
отобранных. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
7 |
||||
Вероятность |
|
|
4 |
1 |
|
|||||
попадания |
в |
мишень |
|
|
X |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
при каждом выстреле |
|
|
|
|
|
|||||
для |
первого |
стрелка |
|
|
|
|
|
|||
равна |
0,8, |
а |
для |
|
|
|
|
|
||
второго – 0,9. Оба они |
|
|
|
|
|
|||||
делают |
по |
одному |
|
|
|
|
|
|||
выстрелу по мишени. |
|
|
|
|
|
|||||
А |
затем |
каждый |
из |
|
|
|
|
|
||
стрелков |
стреляет |
|
|
|
|
|
||||
еще, но только один |
|
|
|
|
|
|||||
раз, если при первом |
|
|
|
|
|
|||||
сделанном |
|
|
им |
|
|
|
|
|
||
выстреле |
|
|
он |
|
|
|
|
|
||
промахнулся. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Случайная величина X |
|
|
|
|
|
|||||
– |
суммарное |
число |
|
|
|
|
|
|||
выстрелов, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
произведенных |
|
|
|
|
|
|
||||
обоими стрелками. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48
Y
1
X +1
X 2 − 3
Вариант
3
10
Таблица 3.4
Y
X 2 +1
2X
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Условие задачи |
|
|
Вариант |
Y |
|
Вариант |
Y |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Абонент |
|
забыл |
5 |
1 |
|
8 |
2X |
|||
последнюю |
цифру |
|
|
X |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
нужного |
ему |
номера |
|
|
|
|
|
|
|
|
телефона, |
|
однако |
|
|
|
|
|
|
|
|
помнит, |
что |
|
она |
|
|
|
|
|
|
|
нечетная. |
Случайная |
|
|
|
|
|
|
|
||
величина |
X – |
число |
|
|
|
|
|
|
|
|
попыток |
|
набора |
|
|
|
|
|
|
|
|
номера |
(вплоть |
до |
|
|
|
|
|
|
|
|
попадания |
|
на |
|
|
|
|
|
|
|
|
нужный), |
|
|
если |
|
|
|
|
|
|
|
последнюю |
цифру |
|
|
|
|
|
|
|
||
абонент |
набирает |
|
|
|
|
|
|
|
||
наудачу, а набранную |
|
|
|
|
|
|
|
|||
цифру в |
дальнейшем |
|
|
|
|
|
|
|
||
не набирает. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В билете |
содержатся |
6 |
|
X 2 + 2 |
9 |
2X |
||||
три |
|
задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правильного решения |
|
|
|
|
|
|
|
|||
первой задачи |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
||
0,8, второй |
– |
0,7, |
|
|
|
|
|
|
|
|
третьей |
– |
|
0,6. |
|
|
|
|
|
|
|
Случайная величина X
– число правильно
решенных задач в билете.
49
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Вариант
11
12
Y
X 2 − 2
3
X
Условие задачи |
|
Вариант |
Y |
Вариант |
Y |
Вариант |
Y |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
На |
шахматную |
доску |
13 |
X |
16 |
1 |
19 |
X 2 + 4 |
|||
ставится |
|
|
ферзь. |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Случайная величина X |
|
|
|
|
|
|
|
||||
– |
число |
клеток, |
|
|
|
|
|
|
|
||
которые |
стоят |
под |
|
|
|
|
|
|
|
||
ударом этого ферзя. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из |
8 телевизоров на |
14 |
3X |
17 |
X 2 − 2 |
20 |
2 |
X |
|||
выставке |
5 оказались |
|
|
|
|
|
|
|
|||
фирмы |
|
«Sony». |
|
|
|
|
|
|
|
||
Наудачу |
для |
осмотра |
|
|
|
|
|
|
|
||
выбрано 3 телевизора. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Случайная величина X |
|
|
|
|
|
|
|
||||
– |
число |
телевизоров |
|
|
|
|
|
|
|
||
фирмы «Sony» |
среди |
|
|
|
|
|
|
|
|||
трех отобранных. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
50
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com