bdz_teorver
.pdfкачества равна 0,9, а элемента первого сорта – 0,8. Известно, что 10% используемых для сборки устройств элементов – первого сорта, а остальные – высшего качества. Какова вероятность, что устройство, вышедшее из строя до окончания гарантийного срока, содержало хотя бы один элемент первого сорта?
27.В двух ящиках находятся белые и черные шары: в первом – 2 белых и 3 черных шара, во втором – 3 белых и 1 черный. Из первого ящика достают, не глядя, 2 шара и перекладывают во второй ящик. Шары во втором ящике перемешивают и достают из него 2 шара. Вынутые шары оказались разного цвета. Какова вероятность того, что из первого ящика во второй переложили 2 черных шара?
28.Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: I класс – малый риск, II класс – средний, III класс – большой риск. Среди этих клиентов 50% – I класса риска, 30% – II и 20% – III класса. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для I класса риска равна 0,01, II – 0,03, III класса – 0,08. Какова вероятность того, что получивший денежное вознаграждение застрахованный относится к I классу риска?
29.После осмотра больного врач считает, что равновозможно одно из двух заболеваний – C или D. Для уточнения диагноза больного направляют на анализ, исход которого дает положительную реакцию при заболевании C в 30% случаев,
апри заболевании D – в 20% случаев. Анализ дал положительную реакцию. Какое заболевание становится более вероятным?
30.Две машинистки печатали рукопись, посменно заменяя друг друга. Первая в
конечном итоге напечатала 1
3 всей рукописи, а вторая – остальное. Первая машинистка делает ошибки с вероятностью 0,15, а вторая – с вероятностью 0,1. При проверке на 13-й странице обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая машинистка.
31
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
3. Случайные величины
Законы распределения и числовые характеристики случайных величин
З а д а н и е 3.1. Дано распределение дискретной случайной величины X (табл.3.1). Найти a, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X. Составить ряд распределения случайной величины X 2 .
Таблица 3.1
Вариант |
Ряд распределения |
|
||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
–5 |
2 |
3 |
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
pi |
0,4 |
a |
0,1 |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
–5 |
4 |
5 |
9 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
pi |
0,1 |
0,5 |
a |
0,2 |
||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
–6 |
–2 |
1 |
6 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
pi |
0,3 |
a |
0,1 |
0,2 |
||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
–2 |
0 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
pi |
a |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
–8 |
–2 |
1 |
8 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
pi |
0,1 |
0,3 |
a |
0,2 |
||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
–2 |
1 |
2 |
5 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
pi |
0,3 |
a |
0,1 |
0,2 |
||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
xi |
–3 |
2 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
Вариант
8
9
10
11
12
13
14
Ряд распределения
xi |
– |
2 |
3 |
10 |
|
10 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pi |
0,1 |
0,4 |
a |
0,4 |
xi |
–4 |
–1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
pi |
0,3 |
a |
0,4 |
0,2 |
xi |
–3 |
2 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
pi |
a |
0,4 |
0,1 |
0,2 |
xi |
–6 |
–2 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
pi |
0,2 |
a |
0,1 |
0,3 |
xi |
–6 |
2 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
pi |
0,5 |
0,1 |
a |
0,1 |
xi |
–5 |
–3 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
pi |
a |
0,1 |
0,1 |
0,6 |
xi |
–5 |
5 |
6 |
8 |
|
|
|
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Вариант |
Ряд распределения |
|
||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pi |
a |
0,4 |
0,1 |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
–12 |
6 |
8 |
12 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
pi |
0,3 |
0,1 |
a |
0,3 |
||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
–11 |
6 |
9 |
11 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
pi |
0,4 |
a |
0,3 |
0,1 |
||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
–8 |
6 |
8 |
9 |
|
17 |
|
|
|
|
|
|
pi |
0,3 |
a |
0,1 |
0,4 |
||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
–9 |
6 |
7 |
9 |
|
18 |
|
|
|
|
|
|
pi |
0,3 |
a |
0,1 |
0,2 |
||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
–14 |
10 |
12 |
14 |
|
19 |
|
|
|
|
|
|
pi |
a |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
–6 |
6 |
8 |
14 |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
pi |
0,1 |
0,1 |
a |
0,4 |
||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
–5 |
3 |
4 |
5 |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
pi |
0,4 |
a |
0,1 |
0,2 |
||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
–7 |
5 |
7 |
8 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
pi |
a |
0,5 |
0,2 |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант
23
24
25
26
27
28
29
30
Ряд распределения
|
|
|
|
|
pi |
0,2 |
0,2 |
a |
0,2 |
xi |
–6 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
pi |
0,3 |
0,1 |
a |
0,2 |
xi |
–4 |
2 |
4 |
8 |
|
|
|
|
|
pi |
0,1 |
a |
0,4 |
0,4 |
xi |
–3 |
–1 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
pi |
a |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
xi |
–9 |
4 |
6 |
9 |
|
|
|
|
|
pi |
0,1 |
a |
0,3 |
0,3 |
xi |
–5 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
pi |
0,5 |
0,1 |
a |
0,2 |
xi |
–1 |
1 |
3 |
8 |
|
|
|
|
|
pi |
a |
0,2 |
0,1 |
0,6 |
xi |
–8 |
6 |
8 |
10 |
|
|
|
|
|
pi |
0,3 |
0,2 |
a |
0,1 |
xi |
– |
8 |
12 |
16 |
|
12 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pi |
0,2 |
0,3 |
a |
0,4 |
|
|
|
|
|
33
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
З а д а н и е 3.2. Решить задачу.
1. Случайная величина X распределена по закону Коши: fX (x) = 1+Ax2 . Требуется: а) найти коэффициент A и вычислить вероятность попадания случайной величины
X в интервал (−1;1) ; б) найти медиану, моду, математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины; в) построить ее функцию распределения.
2.Случайная величина X распределена по закону Лапласа: fX (x) = Ae−λ|x| . Требуется: а) найти коэффициент A; б) найти математическое ожидание, моду, медиану и дисперсию этой случайной величины; в) построить ее функцию распределения.
3.Случайная величина X распределена по закону
Симпсона («равнобедренного треугольника») на отрезке |
|
|
fX (x) |
|
|||
[−3; 3] |
(рис.3.1). Требуется: а) найти выражение для |
|
|
|
|
||
функции плотности и вычислить вероятность попадания |
- |
3 |
0 |
3 x |
|||
случайной |
величины X в интервал (−1,5; 3) ; б) найти |
||||||
|
|
Рис.3.1. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
математическое ожидание, моду, медиану и дисперсию |
|
|
|
|
|||
этой случайной величины; в) построить ее функцию распределения. |
|
||||||
4. Дана функция |
|
|
|
|
|||
ì 0, |
при |
x < 0, |
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
fX (x) = í |
при |
x ³ 0. |
|
|
|
|
|
ïcxe−x , |
|
|
|
|
|||
î |
|
|
|
|
|
|
|
Требуется: а) установить, при каком значении параметра c эта функция является плотностью распределения некоторой случайной величины X; б) найти математическое ожидание, моду и дисперсию этой случайной величины; в) построить ее функцию распределения и найти медиану.
5.Студент разыскивает нужную ему формулу, заказав в читальном зале библиотеки три справочника. Вероятность того, что формула имеется в первом справочнике, равна 0,6, во втором – 0,7, в третьем – 0,8. Требуется: а) составить ряд распределения количества X справочников, в которых содержится нужная студенту формула; б) найти математическое ожидание, моду и дисперсию случайной величины X; в) построить ее функцию распределения.
6.Дана функция
ì2c, |
при 0 £ x £1, |
|
ï |
|
при 1£ x £ 2, |
fX (x) = í c, |
||
ï |
0, |
в остальных случаях. |
î |
||
Требуется: а) установить, при каком значении параметра c эта функция является
плотностью распределения некоторой случайной величины X; б) найти математическое
34
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ожидание и дисперсию этой случайной величины; в) построить ее функцию распределения и найти медиану.
7.Составить ряд распределения числа X пакетов трех акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из них равна соответственно 0,5, 0,6 и 0,7. Найти математическое ожидание, моду и дисперсию случайной величины X. Построить ее функцию распределения.
8.В билете содержатся три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй – 0,8, третьей – 0,7. Требуется: а) составить ряд распределения числа X правильно решенных задач в билете; б) найти математическое ожидание, моду и дисперсию случайной величины X; в) построить ее функцию распределения.
9.Случайная величина X, сосредоточенная на интервале (1; 4) , задана функцией
распределения |
F (x) = ax2 |
+ bx + c |
, имеющей максимум при |
x = 4 . Требуется: |
X |
|
а) найти параметры a, b и c; б) вычислить вероятность попадания случайной величины X в интервал (2; 3) ; в) найти медиану, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
10.Из 10 телевизоров на выставке 4 оказались фирмы «Sony». Наудачу для осмотра выбрано 3 телевизора. Требуется: а) составить ряд распределения числа X телевизоров фирмы «Sony» среди трех отобранных; б) найти математическое ожидание, моду и дисперсию случайной величины X; в) построить ее функцию распределения.
11.Имеются четыре однотипных ключа. Из них только один подходит к замку. Требуется: а) составить ряд распределения числа X попыток открывания замка, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует; б) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X; в) построить ее функцию распределения.
12.Случайная величина X распределена по закону «прямоугольного треугольника» на отрезке [0; c] (рис.3.2).
fX (x)
|
|
|
0 |
c x |
|
Рис.3.2
35
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Требуется: а) найти выражение для функции плотности и вычислить вероятность
попадания случайной величины X в интервал (c
2; c) ожидание и дисперсию этой случайной величины; распределения и найти медиану.
13. Дана функция плотности случайной величины X:
; б) найти математическое в) построить ее функцию
ì
ï
f X (x) = ïí ï1,5(2 -
ïî 0,
x < 0 ,
0 £ x < 1, x)2 , 1 £ x < 2,
x ³ 2.
Требуется: а) вычислить вероятность попадания случайной величины X в интервал (0,5;1,5) ; б) найти математическое ожидание, моду, медиану, дисперсию, асимметрию и эксцесс этой случайной величины; в) построить ее функцию распределения.
14.Среди 15 собранных агрегатов 6 нуждаются в дополнительной смазке. Требуется: а) составить ряд распределения числа X агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке, среди трех наудачу отобранных из общего числа; б) найти математическое ожидание, моду и дисперсию случайной величины X; в) построить ее функцию распределения.
15.Дана функция плотности случайной величины X:
ì |
|
0, |
x < 0, |
ï |
|
x , |
0 £ x < 1, |
ï |
|
||
f X (x) = í |
2 |
- x , |
1 £ x < 2, |
ï |
|||
ï |
|
0, |
x ³ 2. |
î |
|
Требуется: а) вычислить вероятность попадания случайной величины X в интервал (0,5;1,5) ; б) найти математическое ожидание, моду, медиану, дисперсию, асимметрию и эксцесс этой случайной величины; в) построить ее функцию распределения.
16. Случайная величина X, |
сосредоточенная на интервале (−1; 2) , |
задана функцией |
|||||
распределения |
F (x) = ax2 + bx + c |
, имеющей |
максимум |
при |
x = 2 . |
Требуется: |
|
X |
|
||||||
а) найти параметры a, |
b и c; б) вычислить |
вероятность |
попадания |
случайной |
|||
величины X в интервал (−0,5;1) ; в) найти медиану, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
17. Дана функция
ì3c, |
при -1£ x £ 0, |
ï |
при 1£ x £ 2, |
fX (x) = í c, |
|
ï |
в остальных случаях. |
î 0, |
|
|
36 |
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Требуется: а) установить, при каком значении параметра c эта функция является плотностью распределения некоторой случайной величины X; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины; в) построить ее функцию
распределения и найти медиану. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. Случайная |
величина X |
распределена |
по |
закону |
|
|
|
|
|||
«прямоугольной трапеции» |
на отрезке |
[−1;1] |
(рис.3.3). |
fX |
(x) |
|
|||||
Требуется: а) найти выражение для функции плотности и |
|
|
a |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
вычислить вероятность попадания случайной величины |
|
|
0 |
|
1 x |
||||||
X в интервал (−0,5; 0,5) ; |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) найти |
математическое |
|
Рис.3.3. |
|
|||||||
ожидание и |
дисперсию этой случайной |
величины; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
в) построить ее функцию распределения и найти медиану.
19.Сделано два высокорисковых вклада: 10 тыс. руб. – в компанию A и 15 тыс. руб. – в компанию B. Компания A обещает 50% годовых, но может обанкротиться с вероятностью 0,2. Компания B обещает 40% годовых, но может обанкротиться с вероятностью 0,15. Составить ряд распределения случайной величины X – общей суммы прибыли (убытка), полученной от двух компаний через год. Найти математическое ожидание, моду и дисперсию этой случайной величины. Построить ее функцию распределения.
20. Случайная величина X имеет функцию распределения |
FX (x) = a + barctg x , x R . |
Требуется: а) найти параметры a и b; б) вычислить |
вероятность попадания |
случайной величины X в интервал (−1;1) ; в) найти медиану, моду, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
21. Дана функция
ì c, |
при |
- 2 £ x £ -1, |
|
ï |
|
при |
1£ x £ 2, |
fX (x) = í3c, |
|||
ï |
0, |
в остальных случаях. |
|
î |
|||
Требуется: а) установить, при каком значении параметра c эта функция является плотностью распределения некоторой случайной величины X; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины; в) построить ее функцию распределения и найти медиану.
22.На шахматную доску ставится ферзь. Требуется: а) составить ряд распределения случайной величины X – числа клеток, которые стоят под ударом этого ферзя; б) найти математическое ожидание, моду и дисперсию случайной величины X; в) построить ее функцию распределения.
37
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
23.Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Оба они делают по одному выстрелу по мишени. Затем каждый из стрелков стреляет еще, но только один раз, если при первом сделанном им выстреле он промахнулся. Требуется: а) составить ряд распределения случайной величины X – суммарного числа выстрелов, произведенных обоими стрелками; б) найти математическое ожидание, моду и дисперсию случайной величины X; в) построить ее функцию распределения.
24.Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она нечетная. Требуется: а) составить ряд распределения случайной величины X – числа попыток набора номера (вплоть до попадания на нужный), если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает; б) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X; в) построить ее функцию распределения.
25.Из 5 (одинаково великолепных) гвоздик 2 белые. При покупке букета наудачу выбраны 3 гвоздики. Требуется: а) составить ряд распределения случайной
величины X – количества белых гвоздик среди отобранных; б) найти математическое ожидание, моду и дисперсию этой случайной величины; в) построить ее функцию распределения.
26.На шахматную доску ставится слон. Требуется: а) составить ряд распределения случайной величины X – числа клеток, которые стоят под ударом этого слона; б) найти математическое ожидание, моду и дисперсию случайной величины X; в) построить ее функцию распределения.
27.Дана функция
ì |
0, |
при |
x < -2, x > 0, |
ï |
|
|
|
fX (x) = í |
|
при |
- 2 £ x £ 0. |
ïa(x3 - 4x), |
|||
î |
|
|
|
Требуется: а) установить, при каком значении параметра a эта функция является плотностью распределения некоторой случайной величины X; б) найти математическое ожидание, моду и дисперсию этой случайной величины; в) построить ее функцию распределения и найти медиану.
28.Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8 и уменьшается с каждым выстрелом на 0,1. Сделано три выстрела. Требуется: а) составить ряд распределения числа X попаданий в цель; б) найти математическое ожидание, моду и дисперсию случайной величины X; в) построить ее функцию распределения.
29.Каждый поступающий в университет должен сдать три экзамена. Вероятность
успешной сдачи первого экзамена равна 0,5, второго – 0,8, третьего – 0,9. 38
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Следующий экзамен поступающий сдает только в случае успешной сдачи предыдущего. Требуется: а) составить ряд распределения случайной величины X – числа экзаменов, сдававшихся поступающим в университет; б) найти математическое ожидание, моду и дисперсию случайной величины X; в) построить
ее функцию распределения.
30.Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна: для первого станка – 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,7. Требуется: а) составить ряд распределения числа X станков, которые потребуют внимания рабочего в течение часа; б) найти математическое ожидание, моду и дисперсию случайной величины X; в) построить ее функцию распределения.
Распределения дискретных случайных величин, связанные с повторными независимыми испытаниями
За д а н и е 3.3. Решить задачу.
1.Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,8. Стрелку разрешено стрелять до тех пор, пока сумма промахов не будет равна трем. Найти вероятность того, что стрелок совершит семь выстрелов.
2.Лицензия отбирается у любого торгового предприятия, как только торговая инспекция в третий раз обнаружит серьезное нарушение правил торговли. Найти вероятность того, что лицензия будет отобрана после пятой проверки. Известно, что вероятность обнаружения нарушения при одной проверке равна 0,2 и не зависит от результатов предыдущих проверок.
3.Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча в корзину при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что у обоих баскетболистов будет одинаковое количество попаданий.
4.Известно, что контролеры проверяют каждый двенадцатый автобус. Сколько раз можно проехать зайцем, чтобы вероятность ни разу не попасться контролеру была не меньше 0,7?
5.Прибор ломается после четвертого импульса с повышенным напряжением. Найти вероятность того, что прибор сломается на девятом или десятом импульсе, если вероятность импульса с повышенным напряжением равна 0,25.
39
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
6.В урне 4 черных и 8 белых шаров. Из урны вынимают один шар, кладут обратно и перемешивают до тех пор, пока в третий раз не будет вынут белый шар. Найти вероятность того, что для этого потребуется вынуть шар 8 или 9 раз.
7.Генератор двоичных чисел выдает 1 и 0 с равными вероятностями. Найти вероятность того, что для набора суммы выданных чисел, равной пяти, потребовалось 8, 9 или 10 генераций.
8.Отдел надзора отделения центрального банка курирует деятельность ряда коммерческих банков. При сдаче квартальной отчетности серьезные финансовые нарушения обнаруживаются в среднем у 5% банков. На проверку выбрано 4 банка. Найти наиболее вероятное число банков-нарушителей (среди выбранных) и вероятность этого числа.
9.Каждый из двух генераторов случайных чисел выдает цифры 1, 2 и 3 с равными вероятностями. Выданные первым и вторым генераторами цифры формируют пару. Какова вероятность того, что набор из 12 таких случайных пар не содержит ни одной пары, состоящей из одинаковых цифр?
10.Известно, что левши составляют 3% населения. Найти вероятность того, что среди 200 человек имеется не менее трех левшей.
11.При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 5×10−4 . Найти вероятность того, что сообщение из 10000 знаков будет иметь не более трех искажений.
12.Вероятность зарегистрировать радиоактивную частицу равна 10−4 . Найти вероятность того, что зарегистрировано от 5 до 10 частиц, если из источника излучения вылетело 50000 частиц.
13.Известно, что среди 1 млн жителей некоторого города примерно 2 тыс. носят фамилию Терещенко. Какое минимальное количество жителей нужно отобрать в группу, чтобы вероятность встретить в группе хотя бы одного человека с этой фамилией была больше 0,8?
14.В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено наивероятнейшее число ошибочно укомплектованных пакетов.
15.Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.
40
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com