BDZ_linal_matan
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский университет «МИЭТ»
И.В. Бардушкина, А.М. Ревякин
Сборник заданий для самостоятельной работы студентов по курсам «Линейная алгебра» и «Математика (математический анализ)»
Утверждено редакционно-издательским советом университета
Москва 2011
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
УДК 517 (076.1)
Рецензент докт. техн. наук, проф. А.М. Терещенко
Бардушкина И.В., Ревякин А.М.
Сборник заданий для самостоятельной работы студентов по курсам «Линейная алгебра» и «Математика (математический анализ)». – М.: МИЭТ, 2011. – 156 с.
Сборник состоит из двух разделов и приложения. Раздел I включает задания по линейной алгебре, раздел II – по математике. Каждое задание содержит 30 вариантов. Из заданий сборника формируются семестровые домашние задания. В приложении даны справочные материалы, полезные для решения задач сборника.
Для студентов первого курса факультета ИнЭУП по дисциплинам «Линейная алгебра» и «Математика (математический анализ)».
ã МИЭТ, 2011
2
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Бардушкина Ирина Вячеславовна
Ревякин Александр Михайлович
Сборник заданий для самостоятельной работы студентов по курсам «Линейная алгебра» и «Математика (математический анализ)»
Редактор Н.А. Кузнецова. Технический редактор Л.Г. Лосякова. Корректор Л.Г. Лосякова. Верстка авторов.
Подписано в печать с оригинал-макета 11.11.2011. Формат 60×84 1/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 9,05. Уч.-изд. л. 7,8. Тираж 200 экз. Заказ 166.
Отпечатано в типографии ИПК МИЭТ.
124498, Москва, Зеленоград, проезд 4806, д. 5, МИЭТ.
3
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Предисловие
Настоящий сборник заданий составлен на основе многолетнего опыта чтения лекций и проведения семинарских занятий по математическому анализу и линейной алгебре для студентов экономических специальностей в Национальном исследовательском университете «МИЭТ».
О степени усвоения студентом курса высшей математики часто судят по умению самостоятельно решать задачи. Одной из эффективных форм организации
самостоятельной работы студентов по овладению навыками решения задач являются индивидуальные семестровые домашние задания по отдельным дисциплинам или разделам высшей математики.
Сборник издан в качестве дополнения к учебникам и учебным пособиям по курсам «Линейная алгебра» и «Математика», читаемым студентам экономических специальностей на первом курсе МИЭТ. Для успешного освоения математических дисциплин кроме чтения теоретического материала (конспект лекций, учебники [1, 2], учебное пособие [3], дополнительная литература [4, 6]) студенты отрабатывают практические навыки решения задач [5], а также получают индивидуальное задание.
Большое домашнее задание является одной из наиболее эффективных форм самостоятельной работы студентов и обязательно для выполнения. Все выполненные задачи проверяются преподавателем, в случае неправильного решения указываются ошибки, даются разъяснения. Методы решения задач отрабатываются на практических занятиях. Примеры решенных задач можно найти также в конспектах лекций и на веб-
странице http://orioks.miet.ru/oroks-miet/srs.shtml.
Настоящий сборник заданий содержит задачи для самостоятельного решения. В каждом задании имеется 30 вариантов одинаковой сложности.
В отличие от традиционных тем высшей математики, в сборник включены темы, имеющие экономическую направленность: задачи на использование формул сложных процентов и потока платежей математики финансов; вычисление оптимальных значений функции прибыли; определение эластичности по различным параметрам.
Пособие разбито на два раздела: «Линейная алгебра» и «Математика (математический анализ)». Разделы соответствуют курсам, читаемым студентам в первых двух семестрах. Раздел «Линейная алгебра» содержит 11 глав, раздел «Математика (математический анализ)» состоит из 9 глав. В каждой главе содержится не менее двух
4
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
задач по указанным темам. Кроме того, имеется приложение, в котором приведены основные формулы, используемые при решении заданий, включенных в сборник.
Сборник содержит большое количество заданий, поэтому не предполагается, что в семестровое задание войдут все номера заданий. Их количество в каждом учебном году определяется лектором потока. Выполнение большей части заданий не требует дополнительных знаний, достаточно владеть материалом, излагаемым на лекциях и на семинарских занятиях.
5
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
I.Линейная алгебра
1.Множества
1.1.На экзамене по математике были предложены три задачи: одна по алгебре, одна по геометрии, одна по тригонометрии. Из 1000 абитуриентов задачу по алгебре решили A, по геометрии – B, по тригонометрии – C. При этом задачи по алгебре и геометрии решили D абитуриентов, по алгебре и тригонометрии – E, по геометрии и тригонометрии – F, а G абитуриентов решили все задачи. Сколько абитуриентов не решили ни одной задачи?
1)A = 800 , B = 700 , C = 600 , D = 600 , E = 500 , F = 400 , G = 300 .
2)A = 300 , B = 400 , C = 300 , D = 150 , E = 100 , F = 100 , G = 50 .
3)A = 450 , B = 500 , C = 450 , D = 100 , E = 200 , F = 250 , G = 50 .
4)A = 450 , B = 550 , C = 350 , D = 350 , E = 150 , F = 250 , G = 100 .
5)A = 400 , B = 500 , C = 500 , D = 300 , E = 200 , F = 300 , G = 200 .
6)A = 500 , B = 400 , C = 600 , D = 300 , E = 200 , F = 300 , G = 200 .
Из 100 опрошенных студентов 24 не изучают ни английский, ни немецкий, ни французский языки. A студентов изучают английский язык, B – английский и немецкий, C
– французский, D – французский и английский, E – французский и немецкий, F – немецкий. Сколько студентов среди опрошенных изучают английский, немецкий и французский языки?
7)A = 36 , B =11, C = 41 , D = 21, E =11, F = 36 .
8)A = 60 , B = 40 , C = 41 , D = 30 , E = 25 , F = 50 .
9)A = 21, B = 10 , C = 45 , D = 10 , E = 30 , F = 55 .
10)A = 41, B = 15 , C = 26 , D =11, E = 15 , F = 45 .
11)A = 55 , B = 30 , C = 35 , D = 20 , E = 20 , F = 41.
12)A = 48 , B = 8 , C = 26 , D = 8 , E = 13 , F = 28 .
Предположим, что, согласно исследованию, из 200 людей, смотрящих телевизор, A человек смотрят спортивную передачу, B – комедии, C предпочитают драмы, D смотрят драмы и спорт, E – комедии и спорт, F смотрят комедии и драмы и G человек смотрят все три вида передач. Сколько человек: а) смотрят спорт, комедии или драмы? б) не смотрят ничего из вышеперечисленного?
13)A = 110 , B = 120 , C = 85 , D = 50 , E = 70 , F = 55 , G = 30 .
14)A = 70 , B = 120 , C = 120 , D = 40 , E = 50 , F = 75 , G = 25 .
15)A = 110 , B = 75 , C = 125, D = 90 , E = 50 , F = 60 , G = 40 .
6
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
16)A = 100 , B = 125 , C = 110 , D = 30 , E = 50 , F = 80 , G = 10 .
17)A = 110 , B = 75 , C = 130 , D = 95 , E = 50 , F = 65 , G = 45 .
18)A = 105 , B = 80 , C = 100 , D = 60 , E = 50 , F = 20 , G = 10 .
Предположим, что из 100 опрошенных студентов A изучают химию, B – математику, C – физику, D – химию и физику, E занимаются физикой и математикой, F – математикой и химией и 5 изучают все три предмета. Сколько студентов: а) изучают хотя бы один из трех перечисленных предметов? б) не изучают ни один из трех перечисленных предметов? в) изучают только математику? г) изучают физику или химию, но не изучают математику? д) не изучают ни математику, ни химию?
19)A = 50 , B = 53 , C = 42 , D = 15 , E = 20 , F = 25 .
20)A = 45 , B = 35 , C = 65 , D = 35 , E = 25 , F = 5 .
21)A = 40 , B = 35 , C = 55 , D = 25 , E = 15 , F = 5 .
22)A = 65 , B = 30 , C = 45 , D = 35 , E = 5 , F = 15 .
23)A = 40 , B = 45 , C = 55 , D = 25 , E = 20 , F = 10 .
24)A = 70 , B = 45 , C = 35 , D = 25 , E = 5 , F = 35 .
Согласно опросу 250 телезрителей, A из них нравится смотреть новости, B предпочитают смотреть спорт, C – комедии, D – новости и комедии, E – спорт и комедии, F – новости и спорт, 5 любят все три вида программ. Сколько телезрителей: а) смотрят новости, но не смотрят спорт? б) смотрят новости или спорт, но не любят комедии? в) не любят смотреть ни новости, ни спорт? г) смотрят все кроме спорта? д) смотрят спорт и комедии, но не смотрят новости?
25)A = 95 , B = 125 , C = 125, D = 25 , E = 45 , F = 35 .
26)A = 110 , B = 95 , C = 85 , D = 30 , E = 30 , F = 25 .
27)A = 65 , B = 115 , C = 115, D = 15 , E = 45 , F = 35 .
28)A = 100 , B = 90 , C = 110 , D = 30 , E = 25 , F = 30 .
29)A = 75 , B = 85 , C = 120 , D = 45 , E = 35 , F = 15 .
30)A = 95 , B = 85 , C = 110 , D = 25 , E = 30 , F = 30 .
1.2. Найти A È C, A È B, A Ç (B È C),(A Ç B) È C, A´ A, A´ B . |
|
|
|
1) |
A ={1,2,3,4}, B = {3,4,5,6}, C = {2,4,6}. 2) A ={1,3,5,7}, |
B ={2,3,4,5}, |
C ={2,4,5,7}. |
3) |
A ={1,2,5}, B ={2,3,4,5}, C ={1,2,4,5,7}. 4) A ={a,b,c}, |
B ={b,c,d,e}, |
C ={a,d,e}. |
5) |
A ={a,b}, B ={a,d,e}, C ={a,b,c,d,e}. 6) A ={a,d}, B ={a,d,e}, C ={b,c,d,e}. |
||
7) |
A ={1,2,3,4,5}, B ={3,4,5,6}, C = {1,2,4,6}. 8) A = {1,3,5}, |
B = {2,3,4,5}, |
C = {2,4,5}. |
|
7 |
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
9) A = {a,b,d}, |
B = {c,d,e}, |
C = {a,d,e}. 10) A = {a,b,e}, |
B = {c,d,e}, C = {b,c,d,e}. |
||||||
11) |
A = {b,e}, B = {a,c,d,e}, |
C = {b,c,e}. 12) A = {1,3,4}, |
B = {3,4,5,6}, |
C = {1,2,4,6}. |
|||||
13) |
A = {1,2,3,5}, B = {3,5,6}, |
C = {2,4,6}. |
14) A = {1,2,3}, |
B = {3,4,5,6}, |
C = {1,2,4,6}. |
||||
15) |
A = {1,5,7}, |
B = {2,4,5}, |
C = {2,4,5,7}. |
16) A = {a,b,c}, B = {b,d,e}, |
C = {a,d,e}. |
||||
17) |
A = {2,3,6}, |
B = {2,3,4,5,6}, C = {1,2,4,5,6}. 18) A = {b,d,e}, B = {c,d,e}, C = {a,d,e}. |
|||||||
19) |
A = {a,d,e}, |
B = {b,c,d,e}, |
C = {a,d,e}. 20) A = {a,b,c}, B = {b,c,d}, C = {a,c,e}. |
||||||
21) |
A = {1,2,6}, |
B = {3,4,5,6}, |
C = {1,2,4,5,6}. 22) A = {3,5,7}, |
B = {2,3,4,5}, |
C = {1,2,4,5,7}. |
||||
23) |
A = {1,2,6}, |
B = {2,3,4,6}, |
C = {1,2,4,6}. 24) A = {a,b,d}, |
B = {a,c,d,e}, |
C = {a,c,e}. |
||||
25) |
A = {a,b,c}, |
B = {a,c,d,e}, |
C = {a,c,d,e}. 26) A = {1,3,5}, |
B = {2,3,4,5}, |
C = {1,2,5}. |
||||
27) |
A = {1,2,6}, |
B = {2,3,4,6}, |
C = {1,2,4,5,7}. 28) A = {1,2,5}, |
B = {2,3,4,5}, |
C = {1,4,5}. |
||||
29) |
A = {1,3,7}, |
B = {2,3,4}, |
C = {2,4,5,7}. 30) A = {2,6}, |
B = {2,4,5,6}, |
C = {1,2,4,5,6}. |
||||
1.3. Проверить справедливость тождества.
1)(A Ç B Ç C) È (A Ç B Ç C) È (A Ç B ÇC) È È(A Ç B Ç C) È (A Ç C) = A.
2)(A Ç B Ç C) È (A Ç B ÇC) È (A Ç B Ç C) È È(A Ç B Ç C) È (A Ç C) = C.
3)(A Ç B Ç C) È (A Ç B Ç C) È (A Ç B Ç C) È È(A Ç B Ç C) È (A Ç C) = C.
4)((A Ç B Ç C) È (A Ç B ÇC) È (A Ç B Ç C)) È È(A Ç B ÇC)) È A = A.
5)(A Ç B Ç C) È (A Ç B Ç C) È (A Ç B ÇC) È È(A Ç B ÇC) È (B Ç B) = B.
6)((A È B ÈC) Ç (A È B ÈC) Ç (A È B ÈC) Ç Ç(A È B ÈC)) Ç (A È C) = A.
7)((A Ç B ÇC) È (A Ç B ÇC) È (A Ç B Ç C) È È(A Ç B Ç C)) Ç (A È C) = A.
8)((A È B ÈC) Ç (A È B È C) Ç (A È B ÈC) Ç Ç(A È B ÈC)) Ç (A È A) = A.
9)(C Ç ((A È B ÈC) Ç (A È B ÈC) Ç (A È B ÈC) Ç Ç(A È B ÈC))) Ç (B È B) = C.
10)((A È B ÈC) Ç (A È B È C) Ç (A È B ÈC) Ç Ç(A È B ÈC)) Ç (A È C) = A.
11)((A È B ÈC) Ç (A È B È C) Ç (A È B ÈC) Ç Ç(A È B ÈC)) Ç (A È A) = A.
12)((A È B ÈC) Ç (A È B ÈC) Ç (A È B È C) Ç Ç(A È B È C)) Ç (B È B È A) = C.
13)(A Ç B Ç C) È (A Ç B ÇC) È (A Ç B Ç C) È È(A Ç B Ç C) È (B Ç C) = B.
14)((A Ç B ÇC) È (A Ç B ÇC) È (A Ç B Ç C) È È(A Ç B Ç C)) Ç B = B.
15)((A È B ÈC) Ç (A È B ÈC) Ç (A È B È C) Ç Ç(A È B È C)) Ç (A È B È B) = C.
8
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
16)((A Ç B Ç C) È (A Ç B ÇC) È (A Ç B Ç C)) È È(A Ç B ÇC)) Ç (A È (A Ç C)) = A.
17)((A È B ÈC) Ç (A È B ÈC) Ç (A È B ÈC) Ç Ç(A È B È C)) Ç (A È B) = A.
18)(A Ç B Ç C) È (A Ç B Ç C) È (A Ç B ÇC) È È(A Ç B ÇC) È (B Ç A) = B.
19)(C Ç ((A È B ÈC) Ç (A È B ÈC) Ç (A È B ÈC) Ç Ç(A È B È C))) Ç (C È (A ÇC)) = C.
20)((A È B ÈC) Ç (A È B È C) Ç (A È B ÈC) Ç Ç(A È B È C)) Ç (A È B È C) = A.
21)((A Ç B Ç C) È (A Ç B Ç C) È (A Ç B Ç C) È È(A Ç B ÇC)) Ç (B ÈC) = C.
22)( (A Ç B Ç C) È (A Ç B ÇC) È (A Ç B Ç C) È È(A Ç B ÇC)) Ç (A È C) = C.
23)((A Ç B ÇC) È (A Ç B ÇC) È (A Ç B Ç C) È È(A Ç B Ç C)) Ç (A È B) = A.
24)((A Ç B Ç C) È (A Ç B ÇC) È (A Ç B Ç C) È È(A Ç B ÇC)) Ç (A È A) = B.
25)((A Ç B ÇC) È (A Ç B ÇC) È (A Ç B Ç C) È È(A Ç B ÇC)) Ç (C È C) = B.
26)((A È B ÈC) Ç (A È B ÈC) Ç (A È B ÈC) Ç Ç(A È B È C)) Ç (A È B) = A.
27)( (A Ç B Ç C) È (A Ç B ÇC) È (A Ç B Ç C) È È(A Ç B ÇC)) Ç (B ÇC) = B.
28)((A Ç B Ç C) È (A Ç B Ç C) È (A Ç B Ç C) È È(A Ç B ÇC)) Ç (A ÈC) = C.
29) ((A Ç B Ç C) È (A Ç B Ç C) È (A Ç B ÇC) È È(A Ç B ÇC)) Ç C = C.
30)((A Ç B Ç C) È (A Ç B ÇC) È (A Ç B Ç C)) È È(A Ç B ÇC)) È (A ÇC) = A.
2.Векторы
2.1.Даны координаты векторов a, b, c , x в правом ортонормированном базисе i , j , k .
Показать, что векторы a, b, c тоже образуют базис и найти координаты вектора x
в базисе a, b, c .
1) |
x = (−2;4;7) , |
a = (3;1; 2) , |
|
2) |
x = (6;12;−1) , |
a = (1; 3; 0) |
, |
3) |
x = (1;−4; 4) , |
a = (2;1;−1) |
, |
b = (1; 3;1) , c = (−1; 2; 4) .
|
|
= (2; -1; 1) , |
c = (1;−1; 2) . |
b |
|||
|
|
= (4; 3; 2) , |
c = (1;−1;1) . |
b |
4) |
x = (−9; 5; 5) , |
a = (4;1;1) , |
|
b |
= (2;-1;-3) , |
c = (−1; 2;1) . |
|||
|
x = (−5;−5; 5) , |
a = (−2;3;1) , |
|
= (1; 3;-1) , |
c = (2; 4;1) . |
||||
5) |
b |
||||||||
|
x = (13;2; 7) , |
a = (5;1;1) , |
|
= (2;-1; 3) , c = (1; 2;−1) . |
|||||
6) |
b |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
7) |
x = (−9;−1; 7) , |
a = (3; 2;1) , |
|
|
b |
= (−2; 2;1) , c = (3;1;−1) . |
|
|
x = (3;−3; 4) , |
a = (3;1; 2) , |
|
= (2;1;1) , |
c = (2;−1; 4) . |
||
8) |
b |
||||||
|
x = (3; 3;−1) , |
a = (4; 2;1) , |
|
= (−1; 2;1) , |
c = (−1;1; 2) . |
||
9) |
b |
||||||
10) |
x = (−1;7;4) , |
a = (−1;2;1), |
|
|
|
|
|
b |
= (2;1; 3) , |
c = (1;1;−1) . |
||||||||||||||||||||||
|
x = (6;5;−14) , |
a = (1;1; 4) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (0;−3; 2) , |
c = (2;1;−1) . |
|||||||||||
11) |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x = (6;−1;7) , |
a = (1;−2; 0) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (1;1; 3) , |
c = (1;1; 4) . |
|||||||||||||||
12) |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x = (5;15;0) , |
a = (1; 0; 5) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−1; 3; 2) , |
c = (1;−1;1) . |
||||||||||||||||||
13) |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x = (2;−1;11) , |
a = (1; 3;−2) , |
|
|
|
|
|
= (0;−1; 2) , |
c = (3; 3; 4) . |
|||||||||||||||||||||||
14) |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x = (11;5;−3) , |
a = (1;−1; 2) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−1; 0;1) , |
c = (2; 5;−3) . |
||||||||||||
15) |
|
|
|
|
|
|
|
b |
||||||||||||||||||||||||
|
x = (8; 0; 5) , |
a = (2; 3;1) , |
|
|
|
|
|
|
= (2; 2; 3) , c = (4;1; 2) . |
|||||||||||||||||||||||
16) |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x = (3;1; 8) , |
a = (4; 2; 3) , |
|
|
|
|
|
|
= (3; 2;−1) , |
c = (4;1; 2) . |
||||||||||||||||||||||
17) |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x = (8; 1;12) , |
|
a = (1; 2;−1) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (3; 0; 2) , |
c = (−1;1;1) . |
||||||||||||||||
18) |
|
|
|
|
|
|
b |
|||||||||||||||||||||||||
19) x = (−9;−8;−3) , |
a = (1; 4;1) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−3; 2; 0) , |
c = (1;−1; 2) . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
||||||||||||||||||||||||
20) x = (−5;9;−13) , |
a = (2;1;−2) , |
|
= (3;−1;1) , |
c = (4;1; 0) . |
||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||
21) x = (−15;5;6) , |
a = (0; 5;1) , |
|
|
|
|
|
|
= (3; 2;−1) , |
c = (−1;1; 0) . |
|||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x = (8;9;4) , |
a = (2;2;−1) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (0;−2;1) , |
c = (1; 3;1) . |
|||||||||||||||||||
22) |
|
|
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||
|
x = (3;−4;0) , |
a = (2; 2;1) , |
|
|
|
= (1;−2;0) , |
c = (−3; 2; 5) . |
|||||||||||||||||||||||||
23) |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x = (3;1; 3) , |
a = (2;1; 3) , |
|
|
= (3; 5;3) , c = (4; 2;1) . |
|||||||||||||||||||||||||||
24) |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x = (−1; 7; 0), |
|
a = (2; 3;1) , |
|
|
|
= (1;−1;2) , |
c = (2;−1; 0) . |
||||||||||||||||||||||||
25) |
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x = (11;−1;4), |
|
a = (1;−1; 2) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (3; 2;0) , |
c = (−1;1;1) . |
||||||||||||||
26) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|||||||||||||||||||||
|
x = (1;3;−1), |
a = (−1;1; 2) , |
|
|
|
= (0; 3;2) , |
c = (1;−1;1) . |
|||||||||||||||||||||||||
27) |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x = (4;1; 3) , |
a = (2;1; 3) , |
|
|
= (−1;0;4) , c = (3; 2; 4) . |
|||||||||||||||||||||||||||
28) |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x = (3;−2; 0) , |
|
a = (−3;2;4), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−2;0;1), |
|
c = (2; 3;1) . |
|||||||||||||||||
29) |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com