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Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

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[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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☆

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II.Математика (математический анализ)

12.Графики элементарных функций

12.1.Построить графики функций с помощью поэтапного преобразования графиков элементарных функций.

1)а)

б)

2)а)

б)

3)а)

б)

4)а)

б)

5)а)

б)

6)а)

y =	2	- 3
y =	x +1	- 3
	x +1		;
y =	1 ln(x -1) + 2					.
	2					.
y = -sin		æ 1	x -		π	ö
		ç				÷
		ç				÷
		è 3		12		ø ;

y = −3lg(3x + 3) −1. y = 2arctg(x +1) − 3;

y = e−3x+2 +1 .
y =	1	+ 2
y =	3x -1	+ 2
	3x -1	;
y = log2 (2x -1) +1 .
		æ	π ö
y = -3cos		ç x +		÷	+ 2
y = -3cos		ç x +		÷	+ 2
		è	3 ø		;

y = 2 ×53x−1 - 2 .

y = arctg(2x + 3) + 2 ;

б)

y = 1 e−x−2

-1

y = sinç 2x

2 ;

а)

б)

y = 4ln(−3x + e) .

а)

y = 3arctg(-2x +1) -

2 ;

2x−1

+ 2 .

б)

y = 2

×3

y = -

-1

а)

2x + 3

;

б)

y = 2log5 (2x +1) +1.

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10)а)

б)

11)а)

б)

12)а)

б)

13)а)

б)

14)а)

б)

15)а)

б)

16)а)

б)

17)а)

б)

18)а)

б)

19)а)

б)

20)а)

б)

y = 2cos(x + π) − 2 ;

y = 2e−2x+4 -1.
y =	1 arctg(3x) -1
	2	;
y = 3e2x+1 - 2 .
y =	3	- 2
y =	x -1	- 2
	x -1	;

y = 2lg(0,5x + 2) −1.

y =	1	æ	2x +	π ö
		sin ç			÷
	2			3
		è			ø ;

y = log2 (4x -1)3 + 2 . y = cos(-2x +1) - 2 ;

y = 3 ×3−2x+2 + 3 2 .

y = 2arctg(3x − π) ;

y = -2−x−3 + 2 .

y= 2cosæç 4x + π ö÷

è3 ø ;


	æ 1	ö3x+1		3
y = 4×ç		÷	-
				2 .
	è 2	ø
y = -	2		+1
	x -1
			;

y = 2ln(4x −1) + 2 .

y = -

cosç x +

2 ;

y = -2 ×52x+1 + 4 .

y = -

sinç x +

3 ;

y = 2log2 (-x +1) + 2 .

y = -2sin(3x -1)

2 ;

y = log8 (8x - 2) - 4 .

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21)а)

б)

22)а)

б)

23)а)

б)

24)а)

б)

25)а)

б)

26)а)

б)

27)а)

б)

28)а)

б)

29)а)

б)

30)а)

б)

y = 4arctg(1− 2x) − π ;

y = −5e2x−2 + 3 .

y =

3x -1

5 ;

y = 2lg(x − 3) +1.

y = -

2x +

2π

sinç

3 ;

y = log2 (4x −1)4 −1.

y = -cos(-3x) - 2 ;

y = 3−2x+4 + 2 .

y = 2arcctg(x - 2) +

4 ;

y = −23x−1 + 3 .

y= -2cosæç 2x + π ö÷

è3 ø ;

	æ	1	ö2x+2
y = 2 ×ç			÷	-1
y = 2 ×ç		2	÷	-1
	è	2	ø	.
y = -		2		+ 3
y = -	4x -1			+ 3
	4x -1			;

y = −2ln(x − 2) + 4 . y = -2cos(p - x) ;

y = −22x+1 +1 .

y = -2sin(3x) -1; y = 2log2 (1− x) + 3 . y = -sin(p - x) +1; y = −2log3 (2x −1) .

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13.Предел и непрерывность функции

13.1.Найти пределы рациональных выражений.

lim

7x2 - 28

(5x

+ 2)(8x -16) .

x→2

lim

x2 - 6x + 8

x3 - 8 .

x→2

lim

(1+ 2x)3 - (1+ 3x)2

x→0

lim (1+ x)(1+ 2x)(1+ 3x)

7) x→0

lim

(1- x)3 - (1+ 3x)

x3 - x

x→0

lim

(1+ 4x)2 - (1+ 2x)2

11)

x→0

limç

13)

- x

- x2

x→1è1

ø .

lim

(x -1)(x - 2)(x - 3)

(2x -1)3

15)

x→∞

lim

- 4x + 3

(x -1)2

17)

x→1

lim

x2 - 3x + 2

-1)3 - x +1

19)

x→1 (x

lim

x3 - 2x2 - 4x + 8

21)

x→2 (x - 2)2 - 8x +16

lim

x2 (x + 3)

23)

x2 - 9 .

x→−3

lim

- x2 + x -1

25)

x -1

x→1

lim

x2 - x - 2

27)

x2 - 4 .

x→2

lim

- 4x + 3

29)

x3 - x .

x→1

-1

lim

-1

2) x→−1 x3 +1 .

lim

x2 + x - 6

x3 - 8 .

x→2

lim

x2 - 6x + 8

6) x→4 x2 - 3x - 4 .

lim

(2 + x)2 - 4 - 2x

x2 + x

8) x→0

lim

- 7x +10

10)

x→5 x2 - 2x -15 .

lim

12)

1- x

x→1

è1- x

ø .

lim

- 5x + 6

14)

x2 - 9 .

x→3

lim

(x3 - 8) -12(x - 2)

(x - 2)2

16)

x→2

lim

x2 - 5x + 6

18)

x→3 x2 - 8x +15 .

lim

(2x -1)2 - 2x +1

20)

x2 - 4x + 3 .

x→1

lim

x3 - 2x -1

22)

2x + 2 .

x→−1

lim

+ x - 6

24)

x - 2 .

x→2

lim

-1

26)

x→1 x3 -1 .

lim

x3 - x2

- 2x

(x - 2)2

28)

x→2

lim

x2 + 7x +10

30)

x3 + 8 .

x→−2

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13.2. Найти пределы иррациональных выражений.

		3								− 3
		3	1+ x							− 3			1− x
	lim
1)	lim									x						.
1)	x→0									x						.
			(3											− 3													)
3)		lim	(3					(x +1)2						− 3				(x −1)2									)		.
3)	x→+∞																												.
			(																												)
5)		lim	(					x2 − 2x −1 −													x2 − 7x + 3										)	.
5)	x→+∞																															.
			(																			)
7)		lim	(					x2 +1 −								x2 −1						)		.
7)	x→+∞																							.
			3						(						−											)
9)		lim	x2						(		x3 +1				−				x3 −1							)		.
9)	x→+∞																											.
												− 3
		lim				1+ 2x						− 3
		lim
11)		x→4							x − 2 .
												− 2
		lim				x +13						− 2					x +1
13)		lim									x2 − 9									.
13)		x→3									x2 − 9									.
			4						− 2
		lim	4				x		− 2
		lim
15)		x→16						x − 4 .
		lim			1− 2x − x2 − (1+ x)
17)		lim											x											.
17)		x→0											x											.
		lim									x2
		lim
19)		x→0	3 1+ 3x − (1+ x)																	.
19)																				.
																									− 8
																							x
		lim			x −1											lim							x
					x −1
																					3 x − 4
21)		x 1		x −1 .22)												x→64					3 x − 4									.
21)		→		x −1 .22)																										.

lim

x −1

− 2

x − 5 .

x→5

lim

x2 +1 −1

4) x→0 x2 +16 − 4 .

−1

lim

1+ x

x→0

− x)

lim

x2 +1

x→+∞

lim

(

−

)

10)

x + 5

x→+∞

− 3

lim

1− x

12)

x→−8

2 + 3 x .

+ 2

lim

x − 6

14)

x3 + 8 .

x→−2

− 5

lim

9 + 2x

16)

x→8

3 x − 2 .

lim

8 + 3x − x2 − 2

18)

x + x2

x→0

lim

3 + x2 −

5 − x2

20)

x −1

x→1

3 x2 − 23

lim

2 −

lim

x − 3

(x −1)2

23)

24)

x2 − 49 .

x→1

x→7

3 −

x − 8

lim

5 + x

lim

25)

x→4

1−

5 − x .

26)

x→8

3 x − 2 .

(

− x)

27)

lim

x2 − 5x − 6

x→+∞

− 3

)

lim

(x +1)2

(x −1)2

28)

x→+∞

− 3

)

29)

lim

x3 + x2 +1

x3 − x2 +1

x→+∞

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	(		+ x)3 - (		- x)3
lim		1+ x2		1+ x2
			x
x→0
30)	.

13.3. Найти пределы, используя первый и второй замечательные пределы.

lim

x - sin5x

x→0 x + sin8x .

lim(2 + x)x ×ctg3x

x→0

xlim→0 (1+ sin2 x)

lim ln x -1

x→e x - e .

æ x2 + 2x -1

öx

lim ç

- 3x - 2

9) x→∞ è x

ø .

æ x2

+ 2

öx2

lim ç

11)

x→∞ è

ø .

æ 7x + 3 ö3x−5

lim ç

13)

x→∞ è

+10 ø

æ x2

ö2x+5

lim ç

15)

-1

x→∞ è x

17)

lim ln(1+ 5x)

x→0

lim(1+ tg2

)

19)

x→0

æ x2

- 7x + 5

öx2

lim ç

21)

- 3x +

x→∞ è

ø .

23)

lim(x + ex ) x

x→0

æ 4x + 5 ö2x−6

lim ç

25)

+ 2

x→∞ è

3x2 - x +1

1−x

lim ç

+ x +1

2) x→∞ è

ø .

2x + 3 ö4x+8

lim ç

x→∞ è

2x - 5 ø

5x + 7 ö4x−15

lim ç

5x -10

x→∞ è

lim(1+ x2 )ctg2 x

x→0

10)

lim(1+ sin πx)ctg πx

x→0

æ x2

-1

x2 −1

lim ç

12)

x→∞

è x

lim

æ x + 2 öx

14)

x→∞

è x + 3 ø .

lim sin x

x→π x2

16) 1- π2 .

lim æç x2 + 5 ö÷x2 −x+1 x→∞ ç x2 +1 ÷

18) è ø .

lim ex - e

20) x→1 x -1 .

lim 4 - x2

22) x→2 sin πx .

æ	2x2		+ 2	ö	x2	+3
lim ç				÷
lim ç		2		÷
ç	2x	2	-1	÷		.
24) x→∞ è	2x		-1	ø		.

lim sin x - sin2

26) x→2 x - 2 .

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æ x2 - 2x + 2

ln(1+ 8x)

lim ç

lim

27)

- x -1

28)

x→∞ è

x→0

lim cos x - cos3

lim

3x + 3 ö2x−1

29)

30)

x→3

x - 3 .

x→∞ è

3x -1 ø

13.4. Выяснить характер точек разрыва функции.

1)y = e− 1x2 .

	y = sin		π
				.
3)			2x
5)	y = xsin 1
			x .
	y =	1
7)		1+ 21 x			.

9)y = 1+ e1(x−1) .

−1

11)y = e x3 .

	y = (1+ x)arctg	1
13)		- x2
	1
15)	y = ln sin2 x .

y = arctg 1

2) x .

4)y = e x+1 .

6)y = ln x .

8)y = 1+ 2tg x .

−1

10)y = e x+4 .

12)y = arcctg x - 2 .

y = xsin π

. 14) x .

16)y = 2x -1 .

y =

17)

y =

19)

y =

21)

y =

23)

25)y =

y =

27)

2x -1

2x +1 .

x + 2 x + 2 .

sin 2x .

7 + x - 3

x2 - 4 .

ln cos2 x .

sin 2x

x .

18)	y = ln(1+ x) - ln(1- x)			.
			x
	y =	1- cos x
20)		x2 .

	y =	ex - e−x
22)		x	.

y= 1+ x3

24)1+ x .

	−	1
	−	x2 −1
26)	y = e	x2 −1	.
26)			.

28)y = ln(x -1) .

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y = xarctg	1	30)	y = cos x
29)	x .	30)	x .

13.5. Вычислить пределы, используя эквивалентные функции.

lim

sin x3

x→0 x ln(1+ 2xsin x) .

lim

arctg6x

(3x −1)cos3x

x→0

lim

ex2 −1

3x arcsin 4x .

x→0

x(1− cos(2

))

lim

ln (1+ 2x

) .

x→0

lim

sin (e2x −1)

x→0

1+ 3x − 1− 3x .

1− cos x2

lim ( 4 )

11) x→0 x2 5x2 −1 .

	lim		1− cos5x
	lim
2)	x→0 x(	1	+ 2x	−	1− 2x	) .

	lim	(e2x −1)(2 − x)
		tg5x
4)	x→0		.
6)	lim ln(4 + x) − ln 4		.
	x→0	sin x

8) xlim→0(4x −1)ctg 2x .

10)	lim ln(1+ tg4x)
10)	x→0	2arcsin 2x .

	lim		1+ x2 − 1− x2
	lim		ln (1+ sin x2 ) .
12)	x→0		ln (1+ sin x2 ) .

lim(x −1)(x − 2)arctg3x2 ctg	x2	lim ln 1+ arctg x2		)	ctg3x2
	2 .
13) x→0		14) x→0	(		.

lim

15) x→0

lim

17) x→0

lim

x→0

19)

lim

x→0

21)

lim

x→0

23)

ln(2 − cos x)

sin3x2 .

(4x −1)cos x

1+ 4x − 1− 4x .

1+ 4x − 1− 4x arcsin (e2x −1) .

sin (e3x −1)

(3 − x)arctg 2x .

1+	x2	− 1−	x2
	2		2

ln(1+ 2x2 )			.

lim

16) x→0

lim

18) x→0

lim

x→0

20)

lim

22) x→0

lim

24) x→0

xarctg5x

tg x2 (4 − x)2 .

(esin x2 −1)ctg x42 .

	1− cos x2
xln (1+ 3xsin x2 )					.
(1− x)(2 − x)(3 − x)x2
	arctg(1− cos4x)					.
						.
(e4x −1)(4 − x2 )
		−		.
	1+ 2x	−	1− 2x	.

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lim

25) x→0

lim

27) x→0

lim

29) x→0

ln(5 - x) - ln5
tg 2x	.
	.
ln(2 - cos3x)
xsin 4x .
ln(1+ arcsin 4x2 )
1- cos x		.

	lim	3x(ex -1)
		arctg6x2
26)	x→0
		.
				-
	lim		4 + x		4 - x
						x
	x→0 (4 - x)2 arcsin
28)
		2 .
30)	xlim→0 (earcsin3x -1)ctg(5x) × (2 + x)3 .

14.Дифференциальное исчисление функций одной переменной

14.1.Найти производные от заданных функций.

1)а)

б)

2)а)

б)

3)а)

б)

4)а)

б)

5)а)

б)

6)а)

б)

y =arcctg x2 + 4 ;

y= 1 - x3

1 + x3 .

y = xsin(ln x) ;

y =

1 - 2x + x3

1+ x2 .

y = cos(tg3 x) ;

y =

2x4

4 - x2 .

y = arctg(ln x) ;

y =

+ x3

x -1 .

y = arcsin(ln 2x) ;

1 ö

y = (1+ x3 )ç

5 -

ø .

y = arctg x

x2 -1 ;

y = (1- x2 )(31- 2x3 ) .

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7)а)

б)

8)а)

б)

9)а)

б)

10)а)

б)

11)а)

б)

12)а)

б)

13)а)

б)

14)а)

б)

15)а)

б)

y= lncos x -1 x ;

y =

æ x +1

ö2

è x2 - 2

ø .

y = cosarctg e2x ;

y =

2 + x2

- 2 .

y = arcsin

x2 -1

;

y =

5 - 3x + 2x2

1- 3x .

y = arctg

x ;

y =

x +1

x - 2 .

y =

xex + x

;

y =

(x + 3)3

1- x2 .

y = arcsin

x3 ;

y =

+ 2x3 .

y =

;

1+ arcsin3x

y =

+ x .

2x -1

y = tg(0,5sin 6x) ;

y= 1- 32x2

1+ 23x .

y = arccos(sin 2x) ;

	y =	1

		x - 9 + x2 .
		x - 9 + x2 .

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#
27.03.2016120.02 Кб14bdz_2_mp_10_2015-10-29.pdf
#
05.06.2015145.28 Кб13bdz_3mp_13.pdf
#
05.06.2015146.57 Кб7bdz_5_mp_12.pdf
#
05.06.2015739.2 Кб190BDZ_linal_matan.pdf
#
05.06.2015771.45 Кб414bdz_teorver.pdf
#
23.09.201958.38 Кб0Bil_Sety(new).docx
#
16.08.2019123.22 Кб4bla_blatov_2_1.docx
#
27.03.2016208.45 Кб5buklet_2015_god.docx
#
17.12.2018337.92 Кб4C1.doc