BDZ_linal_matan
.pdf
23) Стоимость производства хоккейных коньков определяется функцией C(x) = 600 + 8x
− x
, где х – количество пар коньков в неделю. Зависимость цены и спроса p = 900e 3 . Найти максимальный доход недельной продажи коньков.
24)Горнолыжный клуб дает в прокат горные лыжи в среднем за сутки 80 пар по цене 150 руб. за пару. Изучение спроса показало, что увеличение стоимости проката на 20 руб. ведет к уменьшению спроса на пять пар. Считая, что уравнение зависимости спрос-цена линейно, определить цену за прокат так, чтобы доход клуба был максимален.
25)Зависимость спроса от цены одного вида продукции задается равенством
x = 
7200 − p2 , где х – количество проданных единиц (спрос); р – цена единицы продукции. Определить максимальный доход.
26) Себестоимость производства x изделий в неделю определяется формулой
C(x) =12 + 8x − 5ln x (руб.), x ³1 . Определить минимум средней себестоимости одного изделия. Каково количество изделий, при котором он достигается?
27) Зависимость спроса от цены одного вида продукции задается равенством
x = p3 +120 , где х – количество проданных единиц (спрос); р – цена единицы продукции. Определить максимальный доход.
28)Фирма сдает в аренду автомобили: ежедневно 100 машин по 1000 руб. в день за аренду одного автомобиля. Если тариф поднять на 60 руб., спрос на аренду упадет на 30 машин в день. По какому тарифу выгодно предлагать в аренду автомобили? Какова ежедневная выручка фирмы?
29)Себестоимость производства x спутниковых антенн (в неделю) определяется
уравнением C(x) = 200 +15x (руб.). Доход от продажи составляет R(x) = 4x − |
x2 |
200 |
(руб.). Найти максимальную прибыль.
30) Себестоимость продукции определяется функцией C(x) = 200 +15x , доход
R(x) = 750x − x2
4 . При каких значениях спроса х прибыль возрастает?
91
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
15.Модели финансовых операций
15.1.Решить задачу с использованием формулы сложных процентов.
1)Фирма предлагает услуги по мытью окон по тарифу 45 руб. за 1 м2. Каждый квартал тариф увеличивается на 3%. Определить стоимость мытья витрины магазина площадью 30 м2 через 2 года.
2)Недвижимость, купленная за 400 тыс. долл., ежегодно прибавляет в цене 10%. Определить ее стоимость через 5 и 8 лет.
3)Аренда помещения стоит 9 тыс. руб. за 1 м2 и ежегодно растет на 8%. Вычислить стоимость аренды офиса площадью 100 м2 через 3 года.
4)Население Конго составляет 3300 тыс. чел. и ежегодно растет на 5%. Вычислить численность населения через 5 и 10 лет.
5)Такси предоставляет свои услуги по тарифу 90 руб./км. Ежеквартально тариф возрастает на 2%. Определить стоимость поездки в 30 км в настоящее время и через 2 года.
6)Клиент банка вкладывает 100 тыс. руб. под 8% годовых с ежемесячным начислением процентов. Какова будет сумма вклада через полгода, через год?
7)Вкладчик кладет 150 тыс. руб. под 9% годовых на 2 года. Какова будет сумма вклада, если проценты начисляются: а) каждые полгода; б) ежеквартально; в) ежемесячно?
8)На каких условиях выгоднее разместить вклад сроком на 2 года: под 9% годовых с ежемесячным начислением процентов или под 9,3% с полугодовым начислением?
9)Фирма предлагает услуги по очистке крыш от снега по тарифу 90 руб. за 1 м2. Каждый год тариф увеличивается на 6%. Определить стоимость очистки крыши здания в 200 м2 через 4 года.
10)Недвижимость, купленная за 350 тыс. долл., ежегодно прибавляет в цене 12%. Определить ее стоимость через 4 года и через 6 лет.
11)Аренда помещения стоит 10 тыс. руб. за 1 м2 и ежегодно растет на 9%. Вычислить стоимость аренды офиса площадью 150 м2 через 3 года.
12)Население острова составляет 800 тыс. чел. и ежегодно растет на 4%. Вычислить численность населения через 5 и 10 лет.
13)Строительная фирма делает ограду парковых зон по 4500 руб./м. Ежеквартально работа возрастает на 3%. Определить стоимость ограды парка периметром в 3000 м
внастоящее время и через 2 года.
92
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
14)Клиент банка вкладывает 500 тыс. руб. под 8,5% годовых с ежеквартальным начислением процентов. Какова будет сумма вклада через год, через 3 года?
15)Вкладчик кладет 250 тыс. руб. под 6% годовых на 2 года. Какова будет сумма вклада, если проценты начисляются: а) каждые полгода; б) ежеквартально; в) ежемесячно?
16)На каких условиях выгоднее разместить вклад сроком на 3 года: под 8% годовых с ежемесячным начислением процентов или под 8,2% с полугодовым начислением?
17)Строительная фирма предлагает услуги по окраске стен помещений по тарифу 80 руб. за 1 м2. Каждый квартал тариф увеличивается на 2,5%. Определить стоимость окраски стен в 200 м2 в настоящий момент и через 2 года.
18)Недвижимость, купленная за 600 тыс. долл., ежегодно прибавляет в цене 8%. Определить ее стоимость через 3 года и через 6 лет.
19)Аренда помещения стоит 12 тыс. руб. за 1 м2 и ежегодно растет на 6%. Вычислить стоимость аренды офиса площадью 200 м2 через 4 года.
20)Население Тувалу составляет 11 тыс. чел. и ежегодно растет на 3%. Вычислить численность населения через 6 и 8 лет.
21)Такси предоставляет услуги по тарифу 100 руб./км. Ежеквартально тариф возрастает на 2,5%. Определить стоимость поездки в 50 км в настоящее время и через год.
22)Клиент банка вкладывает 800 тыс. руб. под 6% годовых с ежемесячным начислением процентов. Какова будет сумма вклада через полгода и год?
23)Вкладчик кладет 350 тыс. руб. под 8% годовых на 2 года. Какова будет сумма вклада, если проценты начисляются: а) каждые полгода; б) ежеквартально; в) ежемесячно?
24)На каких условиях выгоднее разместить вклад сроком на 2 года: под 8,5% годовых с ежемесячным начислением процентов или под 8,8% с полугодовым начислением?
25)Лаборатория покупает белых мышей для проведения экспериментов по цене 20 руб. за особь. Каждый квартал цена возрастает на 3%. Определить расходы на покупку 200 мышей в настоящий момент и через 3 года.
26)Недвижимость, купленная за 750 тыс. долл., ежегодно прибавляет в цене 7,5%. Определить ее стоимость через 2 года и через 5 лет.
27)Аренда помещения стоит 15 тыс. руб. за 1 м2 и ежегодно растет на 5%. Вычислить стоимость аренды офиса в 300 м2 через 5 лет.
28)Количество песцов на зооферме составляет 4 тыс. и ежегодно растет на 6%. Вычислить число зверьков через 5 и 7 лет.
93
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
29)Клиент банка вкладывает 500 тыс. руб. под 10% годовых с ежеквартальным начислением процентов. Какова будет сумма вклада через 2 и 4 года?
30)Потребитель платит за электричество по тарифу 3,38 руб. за 1 кВт/ч. Ежегодно тариф возрастает на 10%. Определить стоимость оплаты 200 кВт/ч в настоящее время и через 3 года.
15.2.Решить задачу с использованием формул сложных процентов и потока платежей.
1)Вкладчик желает накопить в течение полугода сумму в 100 тыс. руб. Какой вклад он должен вносить ежемесячно в банк при условии, что годовая ставка банка составляет 6%, проценты начисляются ежемесячно?
2)Вклад в 400 тыс. руб. был положен в банк 31 мая при ставке в 10% годовых. С 1 сентября того же года банк снизил ставку до 8%. Определить сумму вклада на 31 декабря того же года, начисление процентов ежемесячное.
3)Фирмой получен кредит в 100 тыс. долл. на 1 год на следующих условиях: ставка банка 15% годовых с ежеквартальным начислением; погашение кредита – 25 тыс. долл. плюс проценты через полгода, остальное в конце периода. Штрафные санкции составляют 0,1% просроченных сумм за каждый день просрочки по ставке сложных процентов. Фирма внесла 20 тыс. долл. через полгода. Еще через 10 дней фирма заявила, что готова погасить задолженность по кредиту. Какую сумму фирме необходимо внести?
4)Вкладчик в конце каждого месяца вкладывает в банк 5 тыс. руб. Проценты в течение первого полугода начислялись ежемесячно по годовой ставке 8%. Через полгода ставка была понижена до 6%. Определить сумму вклада через 1 год.
5)Какую сумму необходимо положить на счет в банк под 10% годовых с помесячным начислением процентов с тем, чтобы ежемесячно в течение года снимать со счета по 5 тыс. руб.? Первая сумма снимается через месяц после открытия счета, последняя – ровно через год, остаток на счету нулевой.
6)Оформляется кредит на покупку автомобиля стоимостью 20 тыс. долл. сроком на 1 год под 8% годовых. Первоначальный взнос – 20% стоимости автомобиля, порядок погашения кредита – ежемесячно 12 равными платежами, проценты начисляются на оставшуюся часть долга, первая выплата по кредиту – через месяц после покупки. Какую сумму необходимо будет вносить ежемесячно?
7)Бенджамин Франклин завещал жителям Бостона 1 тыс. фунтов стерлингов на следующих условиях: 1) деньги давать предпринимателям под 5% годовых; 2) через 100 лет из накопленных денег 100 тыс. фунтов стерлингов пустить на
94
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
строительство общественных зданий; 3) в течение следующих 100 лет отдать деньги под те же 5% годовых. Оценить сумму через 200 лет после смерти Франклина.
8)Вкладчик желает накопить в течение полугода сумму в 200 тыс. руб. Какой вклад он должен вносить ежемесячно в банк при условии, что годовая ставка банка составляет 8%, проценты начисляются ежемесячно?
9)Вклад в 300 тыс. руб. был положен в банк 31 марта при ставке в 9% годовых. С 1 сентября того же года банк снизил ставку до 8%. Определить сумму вклада на 31 декабря того же года, начисление процентов ежемесячное.
10)Фирмой получен кредит в 200 тыс. долл. на 1 год на следующих условиях: ставка банка 12% годовых с ежеквартальным начислением; погашение кредита – 50 тыс. долл. плюс проценты через полгода, остальное в конце периода. Штрафные санкции составляют 0,1% просроченных сумм за каждый день просрочки по ставке сложных процентов. Фирма внесла 40 тыс. долл. через полгода. Еще через 10 дней фирма заявила, что готова погасить задолженность по кредиту. Какую сумму ей необходимо внести?
11)Вкладчик в конце каждого месяца вкладывает в банк 15 тыс. руб. Проценты в течение первого полугода начислялись ежемесячно по годовой ставке 7%. Через полгода ставка была понижена до 6%. Определить сумму вклада через 1 год.
12)Какую сумму необходимо положить на счет в банк под 8% годовых с помесячным начислением процентов с тем, чтобы ежемесячно в течение года снимать со счета по десять тысяч рублей? Первая сумма снимается через месяц после открытия счета, последняя – ровно через 1 год, остаток на счету нулевой.
13)Оформляется кредит на покупку автомобиля стоимостью 25 тыс. долл. сроком на 1 год под 9% годовых. Первоначальный взнос – 20% стоимости автомобиля, порядок погашения кредита – ежемесячно 12 равными платежами, проценты начисляются на оставшуюся часть долга, первая выплата по кредиту – через месяц после покупки. Какую сумму необходимо будет вносить ежемесячно?
14)Вкладчик открыл счет в банке в 100 тыс. руб. под 6% годовых с ежемесячным начислением процентов. Каждый месяц клиент вносил дополнительно по 10 тыс. руб. Определить сумму вклада через полтора года.
15)Клиент банка берет образовательный кредит на следующих условиях: банк платит за обучение в течение четырех лет 1 августа и 1 февраля по 40 тыс. руб. Клиент через 1 год после окончания обучения начинает выплачивать долг шестью равными
95
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
платежами в течение 3 лет (каждые полгода). Годовая ставка банка 8% с полугодовым начислением процентов. Какие суммы будет выплачивать клиент?
16)Заемщик получил в банке кредит в 500 тыс. руб. для покупки автомобиля.
Выплачивать по кредиту необходимо равными ежемесячными платежами в течение 2 лет, первый платеж – через полгода после получения кредита. На уменьшающуюся величину долга начисляются проценты по сложной ставке 6% годовых с ежемесячным начислением процентов. Определить сумму каждого платежа.
17)Вкладчик желает накопить в течение года сумму в 800 тыс. руб. Какой вклад он должен вносить ежемесячно в банк при условии, что годовая ставка банка составляет 8%, проценты начисляются ежемесячно?
18)Вклад в 600 тыс. руб. был положен в банк 31 мая при ставке в 9% годовых. С 1 сентября того же года банк снизил ставку до 8%. Определить сумму вклада на 31 декабря того же года, начисление процентов ежемесячное.
19)Какую сумму необходимо положить на счет в банк под 8% годовых с помесячным начислением процентов с тем, чтобы ежемесячно в течение года снимать со счета по 10 тыс. руб.? Первая сумма снимается через месяц после открытия счета, последняя – ровно через 1 год, остаток на счету нулевой.
20)Оформляется кредит на покупку автомобиля стоимостью 30 тыс. долл. сроком на 1 год под 9% годовых. Первоначальный взнос – 25% стоимости автомобиля, порядок погашения кредита – ежемесячно 12 равными платежами, проценты начисляются на оставшуюся часть долга, первая выплата по кредиту – через месяц после покупки. Какую сумму необходимо будет вносить ежемесячно?
21)Вкладчик открыл счет в банке в 200 тыс. руб. под 4% годовых с ежемесячным начислением процентов. Каждый месяц клиент вносил дополнительно по 30 тыс. руб. Определить сумму вклада через 1,5 года.
22)Клиент банка берет образовательный кредит на следующих условиях: банк платит за обучение в течение пяти лет 1 августа и 1 февраля по 35 тыс. руб. Клиент через 1
год после окончания обучения начинает выплачивать долг шестью равными платежами в течение 3 лет (каждые полгода). Годовая ставка банка 8% с полугодовым начислением процентов. Какие суммы будет выплачивать клиент?
23)Заемщик получил в банке кредит в 600 тыс. руб. для покупки автомобиля.
Выплачивать по кредиту необходимо равными ежемесячными платежами в течение двух лет, первый платеж – через полгода после получения кредита. На уменьшающуюся величину долга начисляются проценты по сложной ставке 8%
96
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
годовых с ежемесячным начислением процентов. Определить сумму каждого платежа.
24)Вкладчик желает накопить в течение года сумму в 900 тыс. руб. Какой вклад он должен вносить ежемесячно в банк при условии, что годовая ставка банка составляет 4%, проценты начисляются ежемесячно?
25)Вклад в 500 тыс. руб. был положен в банк 31 марта при ставке в 8% годовых. С 1 августа того же года банк снизил ставку до 6%. Определить сумму
вклада на 31 декабря того же года, начисление процентов ежемесячное.
26)Предприятием получен кредит в 300 тыс. долл. на 1 год на следующих условиях: ставка банка 9% годовых с ежеквартальным начислением; погашение кредита – 100 тыс. долл. плюс проценты через полгода, остальное в конце периода. Штрафные санкции составляют 0,1% просроченных сумм за каждый день просрочки по ставке сложных процентов. Предприятие внесло 80 тыс. долл. через полгода. Еще через 10 дней клиент заявил, что готов погасить задолженность по кредиту. Какую сумму необходимо внести предприятию?
27)Заемщик получил в банке кредит в 2 млн. руб. для строительства коттеджа.
Выплачивать по кредиту необходимо равными ежемесячными платежами в течение 2 лет, первый платеж – через 1 год после получения кредита. На уменьшающуюся величину долга начисляются проценты по сложной ставке 8% годовых с ежемесячным начислением процентов. Определить сумму каждого платежа.
28)Вкладчик открыл счет в банке в 300 тыс. руб. под 6% годовых с ежемесячным начислением процентов. Каждый месяц клиент вносил дополнительно по 40 тыс. руб. Определить сумму вклада через 1,5 года.
29)Какую сумму необходимо положить на счет в банк под 7% годовых с помесячным начислением процентов с тем, чтобы ежемесячно в течение года снимать со счета по 20 тыс. руб.? Первая сумма снимается через месяц после открытия счета, последняя – ровно через 1 год, остаток на счету нулевой.
30)Клиент банка берет образовательный кредит на следующих условиях: банк платит за обучение в течение пяти лет 1 августа и 1 февраля по 45 тыс. руб. Клиент через 1
год после окончания обучения начинает выплачивать долг шестью равными платежами в течение трех лет (каждые полгода). Годовая ставка банка 9% с полугодовым начислением процентов. Какие суммы будет выплачивать клиент?
97
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
16. Интегральное исчисление функций одной переменной
16.1. Вычислить интегралы, непосредственно интегрируя или используя подведение под знак дифференциала.
|
ò( |
|
|
|
|
|
|
|
+1)(2 - |
3 |
|
|
)dx |
|
|||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
x |
x |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|||
|
ò |
|
|
|
|
x |
|
|
|
+ x × 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ÷dx |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3) |
ç 3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø . |
||||||||||
|
ò |
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5) |
x4 + 5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
ò |
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7) |
|
|
|
|
|
4 - 3x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
ò |
x4dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
9) |
1- x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
ò |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
11) |
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(1+ |
|
|
|
)3 dx |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
ò |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
arctg |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
ò |
|
|
|
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
15) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
17) |
òesin x cos xdx |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
19) |
|
|
|
|
|
|
4x2 +1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
21) |
3x2 + 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
ò |
æ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3 x ÷dx |
|
||||||||||||||||||||
23) |
ç |
|
5 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø . |
|
|
|||||||||||||
|
|
ò |
|
|
|
x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
25) |
|
1+ x6 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
27) |
|
|
|
|
|
1- x2 ×arccos x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
òex ×32x dx |
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ò |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4) |
x(x -1) |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 - 2x2 . |
|||||||
|
|
|
|
6) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ò |
arcsin xdx |
|
||||||||||||
8) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1- x2 . |
|||||||||||
|
|
ò |
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x +1 . |
|||||||||||
|
|
ò |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||
12) |
|
4x2 + 5 |
. |
||||||||||||
|
|
ò |
|
x2 -10 |
dx . |
||||||||||
14) |
|
x2 + 9 |
|
|
|||||||||||
|
|
ò |
e2xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
16) |
ex + 3 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
ò x2dx
18) 5 - x3 .
ò x3 +1dx
20) 
x .
22) ò
2x - 3 dx .
24) òx
7 - x2 dx .
ò |
|
dx |
||
|
|
|
||
25x2 +1 . |
||||
26) |
|
|||
28) ò(3
x -x
x5 )dx .
98
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ò |
|
x dx |
ò |
|
x dx |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
1− x4 . |
9 − x2 . |
|||||||
29) |
30) |
|
||||||
16.2. Вычислить интегралы от рациональных дробей.
òxdx
1)(x −1)(x + 2) .
|
ò |
|
dx |
. |
|
|
3) |
x3 + x5 |
|
||||
|
ò |
|
(3x −1)dx |
|
||
5) |
|
(x − 3)(x − 7) |
. |
|||
|
|
|
|
|
||
|
ò |
|
x3 −1 |
|
||
|
|
|
dx . |
|
||
7) |
|
4x3 − x |
|
|||
ò(2x −1)dx
9)(x + 3)(x +1) .
|
ò |
|
2x + 3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||
11) |
|
(x − 3)(x + 2) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
ò |
|
x + 3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||
13) |
|
x(2x2 −1) |
|
|||||||||
|
. |
|
||||||||||
|
ò |
dx |
|
|||||||||
15) |
x3 + 8 |
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
ò |
|
x2 + x +1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||
17) |
|
(x2 + 4)(x +1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
ò |
|
x3 +1 |
|
||||||||
|
|
|
|
dx . |
|
|||||||
19) |
|
2x3 + x |
|
|||||||||
|
ò |
x2 −1 |
|
|||||||||
|
|
|
dx |
|
||||||||
21) |
x(x + 2) |
|
||||||||||
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
ò |
|
dx |
|
||||||||
23) |
x3 −1 |
. |
|
|
|
|||||||
|
ò |
|
xdx |
|
||||||||
25) |
|
(x2 +1)(x − 2) |
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ò |
|
x2 + 3 |
|
||||||||
|
|
|
dx |
|||||||||
27) |
|
(x −1)(x + 2) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
ò |
(3x2 + 2)dx |
|
|
(x − 3)(x2 +1) |
|
. |
|
2) |
|
|
|
ò |
(x2 +1)dx |
|
|
(x +1)2 (x − 2) |
. |
||
4) |
|
|
|
ò(x2 + 3x)dx
6)(x −1)(x2 + 2) .
|
ò |
|
x2 +1 |
|
dx |
|
|
|
|||||||
8) |
(x − 4)(x + 3) |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ò |
x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10) |
(x2 −1)(x2 + 2) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x2 + 2 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||
12) |
ò x(x2 + 3) |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ò |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14) |
(x2 + 3)(x2 − 5) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ò |
2x + 3 |
|
|
|
dx |
||||||||
16) |
(x −1)(x + 8) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ò |
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
18) |
x4 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
x + 2 |
|
|
|
dx |
||||||||
20) |
(x − 3)(x +1) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ò |
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
22) |
(x +1)(x2 + 2) |
|
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ò |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
24) |
(x2 + 3)(x −1) |
|
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ò |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
26) |
(x2 +1)(x2 − 2) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
òdx
28)8x3 +1 .
.
.
.
.
.
99
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
dx |
|
|
x − 5 |
|
dx |
||
ò |
(x +1)2 (x + 3) |
|
ò x(x2 |
+ |
4) |
|||
. |
. |
|||||||
29) |
|
30) |
|
|
|
|||
16.3. Вычислить интегралы методом интегрирования по частям.
1) ò(x +1)cos3xdx .
3) ò
4 + 9x2 dx .
5) òxarccos2xdx .
7) òx2 cos xdx .
9) òx2 sin xdx .
11) òxln(5 + x)dx .
13) òe−x sin xdx .
òarctg x dx
15) x2 .
17) òarctg(2x −1)dx .
19) ò(2x +1)sin 5xdx .
21) ò(x +1)arccos xdx .
23) òx2 ln(2x +1)dx .
25) ò(x −1)arcsin 2xdx .
27) òx2e3xdx .
òx dx
29)e4x .
2) òx2 2x dx .
4) òxsin 2xdx .
6) òx2 ln xdx .
8) òex sin 2xdx .
10) òarctg5xdx .
12) òe2x cos xdx . 14) òx2e−2xdx .
16) òe−x cos3xdx .
18) òx2 arctg xdx .
20) ò(3x −1)3x dx .
22) òe2x sin 3xdx .
24) òxarctg3xdx .
26) òe5x cos xdx .
28) òxcos(3x +1)dx .
30) òe−3x sin xdx .
16.4. Вычислить определенный интеграл.
0 |
|
π |
|
|
ò4 sin3 4x dx |
|
|
ò xe−xdx |
. |
. |
|
1) −1 |
2) 0 |
100
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com