bdz_teorver
.pdf
|
y y ≤ −1 −1< y ≤ 0 0 < y ≤1 y >1 |
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 < x ≤ 1 |
0 |
0,1 |
0,3 |
0,3 |
|
|
|
|
|
x >1 |
0 |
0,3 |
0,8 |
1 |
Требуется: а) составить условные законы распределения P{X = xi | Y = y j } , P{Y = y j | X = xi}
компонент |
X и Y; б) найти условные математические ожидания |
M[X | Y = y j ] |
и |
|
|||
M[Y | X = xi ] |
компонент X и Y (изобразить графически регрессии Y на x и X на |
y); |
|
в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.
6.Двумерный случайный вектор (X ; Y ) распределен равномерно внутри трапеции с вершинами A(−6; 0) , B(−3; 4) , C(3; 4) , D(6; 0) . Требуется: а) найти выражения для условных плотностей fX (x |Y = y) , fY (y | X = x) компонент X и Y; б) найти условные математические ожидания M[X | Y = y] и M[Y | X = x] компонент X и Y; в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.
7.Функция распределения F(x, y) двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид
y y ≤ 0 0 < y ≤1 1< y ≤ 2 y > 2 |
||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ −1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
−1 < x ≤ 0 |
0 |
0,2 |
0,2 |
0,6 |
|
|
|
|
|
x > 0 |
0 |
0,3 |
0,4 |
1 |
Требуется: а) составить условные законы распределения P{X = xi | Y = y j } , P{Y = y j | X = xi}
компонент |
X и Y; б) найти условные математические ожидания |
M[X | Y = y j ] |
и |
|
|||
M[Y | X = xi ] |
компонент X и Y (изобразить графически регрессии Y на x и X на |
y); |
|
в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.
8.Двумерный случайный вектор (X ; Y ) распределен равномерно внутри треугольника с вершинами O(0; 0) , A(0; 8) , B(8; 0) . Требуется: а) найти выражения
для условных плотностей fX (x |Y = y) , fY (y | X = x) |
компонент X и Y; б) найти |
условные математические ожидания M[X | Y = y] и |
M[Y | X = x] компонент X и Y; |
в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми. |
|
9. Функция распределения F(x, y) двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид
71
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
y y ≤ −1 −1< y ≤ 0 0 < y ≤1 y >1 |
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 < x ≤ 1 |
0 |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
|
|
|
|
|
x >1 |
0 |
0,2 |
0,6 |
1 |
Требуется: а) составить условные законы распределения P{X = xi | Y = y j } , P{Y = y j | X = xi}
компонент X и Y; б) найти условные математические ожидания |
M[X | Y = y j ] |
и |
|
компонент X и Y (изобразить графически регрессии в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.
10.Совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y)
f (x, y) = 2
π(1+ x2 + y2 )3 .
Требуется: а) найти выражения для условных плотностей fX (x
Y на x и X на y);
имеет вид
|Y = y) , fY (y | X = x)
компонент X и Y; б) найти условные математические ожидания M[X | Y = y] и M[Y | X = x] компонент X и Y; в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.
11.Совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид
f (x, y) = |
20 |
|
π2 (16 + x2 )(25 + y2 ) |
. |
|
Требуется: а) найти выражения для |
условных плотностей fX (x |Y = y) , fY (y | X = x) |
|
компонент X и Y; б) найти условные математические ожидания M[X | Y = y] и M[Y | X = x] компонент X и Y; в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.
12.Функция распределения F(x, y) двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид |
||||||
|
|
|
y ≤ 0 |
0 < y ≤1 |
y >1 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ 0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < x ≤ 1 |
|
0 |
xy |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x >1 |
|
0 |
y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Требуется: |
а) найти выражения для условных |
функций распределения FX (x |Y = y) , |
FY ( y | X = x) |
и условных плотностей fX (x |Y = y) , |
fY (y | X = x) компонент X и Y; б) найти |
|
72 |
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
условные математические ожидания M[X | Y = y] и M[Y | X = x] компонент X и Y; в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.
13.Совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид
ì24xy, (x, y)Î D; f (x, y) = í
î 0, (x, y)Ï D.
Область D – треугольник, ограниченный прямыми x + y −1 = 0 , x = 0 ,
а) найти выражения для условных плотностей fX (x |Y = y) , fY (y | X = x)
б) найти условные математические ожидания M[X | Y = y] и M[Y | X = x] в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.
14.Функция распределения F(x, y) двумерной случайной величины
y = 0 . Требуется:
компонент X и Y;
компонент X и Y;
(X ; Y) имеет вид
|
y |
y ≤ 0 |
0 < y ≤1 |
1< y ≤ 2 |
y > 2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ −1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
−1 < x ≤ 0 |
|
0 |
0 |
0,2 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
x > 0 |
|
0 |
0,2 |
0,7 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Требуется: |
|
а) составить |
условные |
|
законы |
|
распределения |
P{X = xi | Y = y j } , |
||||||||
P{Y = y j | X = xi} |
компонент X и Y; |
|
б) найти |
|
условные математические ожидания |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
M[X | Y = y j ] |
и |
M[Y | X = x ] |
компонент X и Y (изобразить графически регрессии Y на x и X |
|||||||||||||
|
|
i |
||||||||||||||
на y); в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми. |
|
|||||||||||||||
15.Совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид |
||||||||||||||||
|
|
|
|
ì |
3 |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
- x2 + y2 |
, x2 |
+ y2 £ 4, |
|
|||||||
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
f (x, y) = í8p ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ï |
|
|
|
0, |
|
x |
2 |
+ y |
2 |
> 4. |
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Требуется: а) найти выражения для условных плотностей fX (x |Y = y) , fY (y | X = x)
компонент X и Y; б) найти условные математические ожидания M[X | Y = y] и M[Y | X = x] компонент X и Y; в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.
16.Совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид
ì12 |
|
(x2 + xy + y2 ), 0 £ x £1, 0 £ y £1; |
||
ï |
|
|
||
|
|
|||
f (x, y) = í11 |
|
|
||
ï |
|
|
0, |
иначе. |
î |
|
|
||
73
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Требуется: а) найти условные плотности fX (x |Y = y) и fY (y | X = x) компонент X и Y;
б) найти условные математические ожидания M[X | Y = y] и M[Y | X = x] компонент X и Y; в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.
17.Функция распределения F(x, y) |
двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид |
|||||
|
y |
y ≤ −2 −2 < y ≤ −1 −1< y ≤ 0 y > 0 |
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ −2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 < x ≤ 0 |
0 |
0,3 |
0,3 |
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > 0 |
0 |
0,5 |
0,7 |
1 |
|
Требуется: а) составить условные законы распределения P{X = xi | Y = y j } , P{Y = y j | X = xi}
компонент |
X и Y; б) найти условные математические ожидания |
M[X | Y = y j ] |
и |
|||
|
|
|||||
M[Y | X = xi ] |
компонент X и Y (изобразить графически регрессии Y на |
x и X на y); |
||||
в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми. |
|
|
|
|||
18.Совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид |
|
|||||
|
f (x, y) = |
12 |
|
|
|
|
|
π2 (9 + x2 )(16 + y2 ) |
. |
|
|
|
|
Требуется: |
а) найти выражения для |
условных плотностей fX (x |Y = y) , |
fY (y | X = x) |
|||
компонент X и Y; б) найти условные математические ожидания M[X | Y = y] и M[Y | X = x] компонент X и Y; в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.
19.Функция распределения F(x, y) двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид
|
y ≤1 |
1< y ≤ 2 |
y > 2 |
|
y |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ 0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 < x ≤ 1 |
0 |
0,2 |
0,2 |
|
|
|
|
1< x ≤ 2 |
0 |
0,5 |
0,6 |
|
|
|
|
x > 2 |
0 |
0,7 |
1 |
Требуется: а) составить условные законы распределения P{X = xi | Y = y j } , P{Y = y j | X = xi}
компонент |
X и Y; б) найти условные математические ожидания |
M[X | Y = y j ] |
и |
|
|||
M[Y | X = xi ] |
компонент X и Y (изобразить графически регрессии Y на x и X на |
y); |
|
в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми. 74
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
20.Совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид
f (x, y) = |
1 |
− |
(x−2)2 −1,2(x−2)( y+3)+( y+3)2 |
|
1,28 |
|
|||
|
e |
|
|
|
1,6π |
. |
|||
|
|
|
||
Требуется: а) найти условные плотности |
fX (x |Y = y) и fY (y | X = x) компонент X и Y; |
|||
б) найти условные математические ожидания M[X | Y = y] и M[Y | X = x] компонент X и Y; в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.
21.Функция распределения F(x, y) двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид
|
y ≤ 0 |
0 < y ≤ 2 |
y > 2 |
|
y |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ 1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
1< x ≤ 2 |
0 |
0,3 |
0,5 |
|
|
|
|
2 < x ≤ 3 |
0 |
0,4 |
0,7 |
|
|
|
|
x > 3 |
0 |
0,7 |
1 |
Требуется: а) составить условные законы распределения P{X = xi | Y = y j } , P{Y = y j | X = xi}
компонент |
X и Y; б) найти условные математические ожидания |
M[X | Y = y j ] |
и |
|||||||
|
||||||||||
M[Y | X = xi ] |
компонент X и Y (изобразить |
графически |
регрессии |
Y на x и X на |
y); |
|||||
в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми. |
|
|
|
|||||||
22.Совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид |
|
|||||||||
|
1 |
|
− |
x2 +2xy+5 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
f (x, y) = |
|
e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
. |
|
|
|
|
||||
Требуется: |
а) найти условные плотности fX (x |Y = y) и |
fY (y | X = x) |
компонент X и Y; |
|||||||
б) найти условные математические ожидания M[X | Y = y] и M[Y | X = x] компонент X и Y; в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.
75
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
23.Функция распределения F(x, y) двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид |
|||||
|
|
y ≤ 0 |
0 < y ≤ 2 |
y > 2 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ 0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < x ≤ 1 |
0 |
0 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1< x ≤ 2 |
0 |
0,1 |
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x > 2 |
0 |
0,4 |
1 |
|
Требуется: а) составить условные законы распределения P{X = xi | Y = y j } , P{Y = y j | X = xi}
компонент |
X и Y; б) найти условные |
математические ожидания |
M[X | Y = y j ] |
и |
|||||
|
|||||||||
M[Y | X = xi ] |
компонент X и Y (изобразить графически |
регрессии |
Y на x и X на |
y); |
|||||
в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми. |
|
|
|
||||||
24.Совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид |
|
||||||||
|
ì |
|
−(x2 + y2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
, x ³ 0, y ³ 0, |
|
|
|
|
|
f (x, y) = í4xye |
|
|
|
|
|
|||
|
ï |
0, |
|
иначе. |
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
Требуется: |
а) найти условные плотности |
fX (x |Y = y) и |
fY (y | X = x) |
компонент X и Y; |
|||||
б) найти условные математические ожидания M[X | Y = y] и M[Y | X = x] компонент X и Y; в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.
25.Функция распределения F(x, y) двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид
|
|
y ≤ −1 |
−1< y ≤1 |
y >1 |
|
y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ 0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 < x ≤ 1 |
|
0 |
0,1 |
0,2 |
|
|
|
|
|
1< x ≤ 2 |
|
0 |
0,4 |
0,5 |
|
|
|
|
|
x > 2 |
|
0 |
0,8 |
1 |
|
|
|
|
|
Требуется: а) составить условные законы распределения P{X = xi | Y = y j } , |
P{Y = y j | X = xi} |
|
компонент X и Y; б) найти условные математические ожидания |
M[X | Y = y j ] |
и |
|
||
компонент X и Y (изобразить графически регрессии в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.
26.Совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y)
76
Y на x и X на y);
имеет вид
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
f (x, y) = |
|
3 |
e−x2 −2xy−4 y2 |
|
|
|
|||
|
p |
. |
||
Требуется: а) найти выражения для условных |
плотностей fX (x |Y = y) , fY (y | X = x) |
|||
компонент X и Y; б) найти условные математические ожидания M[X | Y = y] и M[Y | X = x] компонент X и Y; в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.
27.Совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид
f (x, y) = ( 1 )
p2 1+ x2 + x2 y2 + y2 .
Требуется: а) найти выражения для условных плотностей fX (x |Y = y) , fY (y | X = x)
компонент X и Y; б) найти условные математические ожидания M[X | Y = y] и M[Y | X = x] компонент X и Y; в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.
28.Совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид
ìcos xcos y, 0 £ x £ p 2, 0 £ y £ p 2, |
||
f (x, y) = í |
0, |
иначе. |
î |
||
Требуется: а) найти выражения |
для |
условных плотностей fX (x |Y = y) , fY (y | X = x) |
компонент X и Y; б) найти условные математические ожидания M[X | Y = y] и M[Y | X = x] компонент X и Y; в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.
29.Двумерный случайный вектор (X ; Y ) |
распределен равномерно внутри трапеции с |
||||||||||||
вершинами O(0; 0) , |
A(0; 4) , B(3; 4) , |
C(6; 0) . |
Требуется: |
а) найти выражения для |
|||||||||
условных плотностей |
fX (x |Y = y) , fY (y | X = x) |
|
компонент X и Y; б) найти условные |
||||||||||
математические ожидания M[X | Y = y] и M[Y | X = x] компонент X и Y; в) выяснить, |
|||||||||||||
являются ли случайные величины X и Y зависимыми. |
|
|
|||||||||||
30.Совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид |
|||||||||||||
|
ì 3 |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- x2 |
+ y2 |
, x2 |
+ y2 £1, |
|
||||||||
|
ï |
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
f (x, y) = íp |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ï |
|
0, |
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
>1. |
|
||
|
î |
|
|
|
|
|
|
||||||
Требуется: а) найти выражения для |
условных |
|
плотностей |
fX (x |Y = y) , fY (y | X = x) |
|||||||||
компонент X и Y; б) найти условные математические ожидания M[X | Y = y] и M[Y | X = x] компонент X и Y; в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.
77
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Функции от нескольких случайных величин
З а д а н и е 4.5. Составить закон распределения случайной величины Z (табл.4.2).
Условие задачи |
|
Вариант |
Z |
|
|
|
|||
|
|
|
||
Подбрасывают три игральные кости. |
1 |
X + Y |
||
Рассматриваются |
случайные |
|
|
|
величины: X – количество костей, на |
|
|
||
которых выпало число 6, Y – |
|
|
||
количество костей, на которых |
|
|
||
выпало число 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Игральная |
кость подбрасывается до |
4 |
X 2 + Y 2 |
|
первого выпадения числа 6, но не |
|
|
||
более 2 раз. Случайные величины: |
|
|
||
Х – число выпадений числа 6, Y – |
|
|
||
число подбрасываний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Монета |
бросается |
до первого |
5 |
XY |
выпадения цифры, но не более 3 раз. |
|
|
||
Случайные величины: Х – число |
|
|
||
выпадений «герба», Y – число |
|
|
||
подбрасываний. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Игральная кость бросается 3 раза. |
6 |
2X + Y |
||
Случайные величины: Х – число |
|
|
||
появлений «шестерки», Y – число |
|
|
||
появлений нечетной цифры. |
|
|
||
|
|
|
||
Из урны, содержащей 3 белых и 5 |
7 |
XY |
||
черных шаров, наудачу извлекают 2 |
|
|
||
шара без возвращения. Случайные |
|
|
||
величины: X – число черных шаров в |
|
|
||
выборке, Y – число белых шаров в |
|
|
||
выборке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант
2
8
9
10
11
Z
2X − Y
X + Y
2X − Y
XY
X + Y
Вариант
3
12
13
14
15
Таблица 4.2
Z
XY
XY
X + Y
2X − Y
2X − Y
78
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Условие задачи |
|
|
|
Вариант |
Z |
Вариант |
Z |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Производится |
три |
независимых |
16 |
X 2 + Y 2 |
18 |
XY |
||||
выстрела по мишени в неизменных |
|
|
|
|
||||||
условиях. Вероятность попадания в |
|
|
|
|
||||||
мишень при одном выстреле равна |
|
|
|
|
||||||
0,8. Случайные величины: X – число |
|
|
|
|
||||||
выстрелов |
до |
первого |
попадания |
|
|
|
|
|||
(включительно), Y – число промахов. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По |
цели |
|
производится |
два |
17 |
X 2 − Y 2 |
19 |
X + Y |
||
независимых выстрела. |
Вероятность |
|
|
|
|
|||||
попадания в цель при первом |
|
|
|
|
||||||
выстреле равна 0,8, при втором – 0,6. |
|
|
|
|
||||||
Случайные величины: X – суммарное |
|
|
|
|
||||||
число попаданий, Y – число |
|
|
|
|
||||||
попаданий при втором выстреле. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
Баскетболист выполняет трехочковые |
22 |
X + Y 2 |
23 |
X + Y |
||||||
броски с разных точек игровой |
|
|
|
|
||||||
площадки. Переход от одной точки |
|
|
|
|
||||||
выполнения |
|
бросков |
|
к |
другой |
|
|
|
|
|
происходит |
|
либо |
сразу |
после |
|
|
|
|
||
попадания в корзину, либо после трех |
|
|
|
|
||||||
промахов подряд. Известно, что |
|
|
|
|
||||||
вероятность попадания в корзину из |
|
|
|
|
||||||
углов площадки для данного игрока |
|
|
|
|
||||||
равна |
0,7. |
Баскетболист выполнил |
|
|
|
|
||||
упражнение, находясь в углу |
|
|
|
|
||||||
игрового поля. Пусть X – число |
|
|
|
|
||||||
бросков, Y – число неудачных |
|
|
|
|
||||||
попыток |
|
при |
|
выполнении |
|
|
|
|
||
упражнения с данной точки поля. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
79
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Вариант
20
21
24
Z
X + Y
XY
XY
Условие задачи
Производятся последовательные независимые испытания на надежность трех одинаковых приборов. Надежность каждого из приборов равна 0,97. Каждый
следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Случайные величины: Х – число испытанных приборов, Y –
число обнаруженных ненадежных приборов.
Иван и Петр наудачу извлекают по одному шару из урны, содержащей 3 белых и 5 черных шаров. Иван извлекает шар первым. Выбор шаров производится без возвращения. Случайные величины: X – число черных шаров у Ивана, Y – число белых шаров у Петра.
Вариант
25
26
Z
XY + Y 2
XY
Вариант
27
28
Z
2X − Y
X + Y
Вариант
29
30
Z
X + Y
2X − Y
80
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com