bdz_teorver
.pdfесли выбор шаров производится с возвращением. Найти одномерные законы распределения компонент X и Y. Построить совместную функцию распределения и вычислить ее значение в точке (0,5; 4) . Вычислить вероятность P{X < Y} .
14.Иван и Петр наудачу извлекают по одному шару из урны, содержащей 3 белых и 5 черных шаров. Случайные величины: X – число белых шаров у Ивана, Y – число черных шаров у Петра. Описать закон распределения случайного вектора (X ; Y ) , если выбор шаров производится с возвращением. Найти центр рассеивания и коэффициент корреляции.
15.Из урны, содержащей 3 белых и 5 черных шаров, наудачу извлекают 2 шара без возвращения. Случайные величины: X – число черных шаров в выборке, Y – число белых шаров в выборке. Описать закон распределения случайного вектора (X ; Y ) . Найти одномерные законы распределения компонент X и Y. Построить совместную функцию распределения и вычислить ее значение в точке (0,5; 4) . Вычислить вероятность P{X < Y} .
16.Из урны, содержащей 3 белых и 5 черных шаров, наудачу извлекают 2 шара без возвращения. Случайные величины: X – число черных шаров в выборке, Y – число белых шаров в выборке. Описать закон распределения случайного вектора (X ; Y ) . Найти центр рассеивания и коэффициент корреляции.
17.Из урны, содержащей 3 белых и 5 черных шаров, наудачу извлекают 2 шара с возвращением. Случайные величины: X – число черных шаров в выборке, Y – число белых шаров в выборке. Описать закон распределения случайного вектора (X ; Y ) . Найти одномерные законы распределения компонент X и Y. Построить совместную функцию распределения и вычислить ее значение в точке (0,5; 4) . Вычислить вероятность P{X < Y} .
18.Из урны, содержащей 3 белых и 5 черных шаров, наудачу извлекают 2 шара с возвращением. Случайные величины: X – число черных шаров в выборке, Y – число белых шаров в выборке. Описать закон распределения случайного вектора (X ; Y ) . Найти центр рассеивания и коэффициент корреляции.
19.Случайная величина X принимает значение 0, 2 или 4 с вероятностями соответственно 0,4, 0,2 и 0,4, а не зависящая от нее случайная величина Y, значения –2, 0 или 2 с вероятностями соответственно 0,2, 0,3 и 0,5. Описать закон
распределения случайного вектора (X ; Y ) . Построить совместную функцию
61
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
распределения и вычислить ее значение в точке (0,5; 4) . Вычислить вероятность
P{X < Y} .
20.Случайная величина X принимает значение 0, 2 или 4 с вероятностями соответственно 0,4, 0,2 и 0,4, а не зависящая от нее случайная величина Y, значения
−2 , 0 или 2 с вероятностями соответственно 0,2, 0,3 и 0,5. Описать закон распределения случайного вектора (X ; Y ) . Найти центр рассеивания и коэффициент корреляции.
21.Производится три независимых выстрела по мишени в неизменных условиях. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Случайные величины: X – число выстрелов до первого попадания включительно, но не более трех, Y – число промахов. Описать закон распределения случайного вектора (X ; Y ) . Найти одномерные законы распределения компонент X и Y. Построить совместную функцию распределения и вычислить ее значение в точке (2,5; 2) . Вычислить вероятность P{X > Y}.
22.Производится три независимых выстрела по мишени в неизменных условиях. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Случайные величины: X – число выстрелов до первого попадания включительно, но не более трех, Y – число промахов. Описать закон распределения случайного вектора (X ; Y ) . Найти центр рассеивания и коэффициент корреляции.
23.По цели производится два независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,7, при втором – 0,8. Случайные величины: X – суммарное число попаданий, Y – число попаданий при втором выстреле. Описать закон распределения случайного вектора (X ; Y ) . Найти одномерные законы распределения компонент X и Y. Построить совместную функцию распределения и вычислить ее значение в точке (0,5; 2) . Вычислить вероятность P{X < Y} .
24.По цели производится два независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,7, при втором – 0,8. Случайные величины: X – суммарное число попаданий, Y – число попаданий при втором выстреле. Описать закон распределения случайного вектора (X ; Y ) . Найти центр рассеивания и коэффициент корреляции.
25.Баскетболист выполняет трехочковые броски с разных точек игровой площадки.
Переход от одной точки выполнения бросков к другой происходит либо сразу после попадания в корзину, либо после трех промахов подряд. Известно, что
62
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
вероятность попадания в корзину из углов площадки для данного игрока равна 0,7. Баскетболист выполнил упражнение, находясь в углу игрового поля. Составить
закон распределения случайного вектора , где X – число бросков, а Y – число неудачных попыток при выполнении упражнения с данной точки поля. Найти одномерные законы распределения компонент X и Y. Построить совместную функцию распределения и вычислить ее значение в точке (2,5; 3) . Вычислить вероятность P{X > Y}.
26.Баскетболист выполняет трехочковые броски с разных точек игровой площадки.
Переход от одной точки выполнения бросков к другой происходит либо сразу после попадания в корзину, либо после трех промахов подряд. Известно, что вероятность попадания в корзину из углов площадки для данного игрока равна 0,7. Баскетболист выполнил упражнение, находясь в углу игрового поля. Составить закон распределения случайного вектора (X ; Y ) , где X – число бросков, а Y – число неудачных попыток при выполнении упражнения с данной точки поля. Найти центр рассеивания и коэффициент корреляции.
27.Три раза подбрасывается «правильная» монета. Случайные величины: Х – модуль разности между числом появлений «герба» и числом появлений цифры, Y – число выпадений «герба». Описать закон распределения случайного вектора (X ; Y ) . Найти одномерные законы распределения компонент X и Y. Вычислить
вероятность P{X = Y}. Построить совместную функцию распределения и вычислить ее значение в точке (3; 2) .
28.Три раза подбрасывается «правильная» монета. Случайные величины: Х – модуль разности между числом появлений «герба» и числом появлений цифры, Y – число выпадений «герба». Описать закон распределения случайного вектора (X ; Y ) . Найти центр рассеивания и коэффициент корреляции.
29.Производятся последовательные независимые испытания на надежность четырех одинаковых приборов. Надежность каждого из приборов равна 0,9. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, когда предыдущий оказался надежным. Случайные величины: Х – число испытанных приборов, Y – число обнаруженных ненадежных приборов. Описать закон распределения случайного вектора (X ; Y ) . Найти одномерные законы распределения компонент X и Y.
Вычислить вероятность P{X = Y}. Построить совместную функцию распределения
и вычислить ее значение в точке (4; 2) . 63
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
30.Производятся последовательные независимые испытания на надежность четырех одинаковых приборов. Надежность каждого из приборов равна 0,9. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, когда предыдущий оказался надежным. Случайные величины: Х – число испытанных приборов, Y – число обнаруженных ненадежных приборов. Описать закон распределения случайного вектора (X ; Y ) . Найти центр рассеивания и коэффициент корреляции.
За д а н и е 4.3. Решить задачу.
1.Двумерная случайная величина (X ; Y) распределена по закону
f (x, y) = |
C |
|
1+ x2 + x2 y2 + y2 |
. |
|
Требуется: а) найти постоянную C; б) вычислить вероятность попадания случайной величины (X ; Y) в пределы квадрата, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и имеют длину 2; в) найти функции плотности fX (x) и fY ( y) компонент X и Y; г) установить, являются ли компоненты зависимыми.
2. Совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид
ì |
2 |
+ xy + y |
2 |
), 0 |
£ x £1, 0 |
£ y £1, |
ïC(x |
|
|
||||
f (x, y) = í |
|
0, |
|
иначе. |
|
|
ï |
|
|
|
|||
î |
|
|
|
|
|
|
Требуется: а) найти постоянную C; б) найти функции плотности fX (x) и fY ( y) компонент
Xи Y; в) установить, являются ли компоненты коррелированными или зависимыми.
3.Поверхность распределения двумерной случайной величины (X ; Y) представляет прямой круговой конус, основанием которого служит круг с центром в начале координат и радиусом 1. Вне этого круга совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y) равна нулю. Требуется:
а) найти выражения совместной плотности f (x, y) и функций плотности fX (x) , fY ( y) компонент X и Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y коррелированными.
4.Двумерная случайная величина (X ; Y) распределена равномерно внутри квадрата с центром в начале координат. Стороны квадрата равны 
2 и составляют углы 45° с осями координат. Требуется: а) найти выражения совместной плотности f (x, y) и функций плотности fX (x) , fY ( y) компонент
64
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
X и Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y коррелированными.
5.Двумерный случайный вектор (X ; Y ) распределен равномерно внутри трапеции с вершинами O(0; 0) , A(0; 4) , B(3; 4) , C(6; 0) . Требуется: а) найти
выражения совместной плотности f (x, y) и функций плотности fX (x) , fY ( y) компонент X и Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y коррелированными.
6. Известна плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X ; Y )
ìC cos xcos y, |
0 £ x £ p 2, 0 £ y £ p 2, |
|
|
|
|||||
f (x, y) = í |
0, |
|
|
иначе. |
|
|
|
||
î |
|
|
|
|
|
||||
Требуется: а) найти постоянную C и выражения для функций плотности |
fX (x) , |
fY ( y) |
|||||||
компонент X и Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y коррелированными. |
|||||||||
7. Известна плотность |
совместного |
|
распределения непрерывной двумерной |
||||||
случайной величины (X ; Y ) : |
f (x, y) = Ce−x2 −2xy−4 y2 |
. Требуется: а) найти |
|||||||
постоянную C и выражения для функций плотности |
fX (x) , |
fY ( y) |
|||||||
компонент X и Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y |
|||||||||
коррелированными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Случайный вектор (X ; Y ) |
подчинен закону распределения с плотностью |
||||||||
|
ì |
|
−(x2 |
+ y2 ) |
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
, |
x ³ 0, y ³ 0, |
|
|
|
f (x, y) = íCxye |
|
|
|
|
|
||||
|
ï |
0, |
|
|
иначе. |
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
Требуется: а) найти постоянную C и выражения для функций плотности fX (x) , fY ( y) компонент X и Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y коррелированными.
|
|
|
X ~ N(0; |
|
|
2) |
|
|
|
|
9. Случайные величины X и Y независимы, причем: |
2 |
, |
Y ~ R(0;1) |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Требуется: а) найти выражение совместной плотности вероятности |
f (x, y) ; |
|||||||||
б) составить |
функцию |
распределения случайного |
вектора |
(X ; Y ) ; |
||||||
в) вычислить |
вероятность |
попадания случайной точки |
(X ; Y ) |
в |
область |
|||||
D= {| X | ≤1, | Y | ≤ 0,5}.
10.Случайный вектор (X ; Y ) имеет функцию распределения
ì |
|
−x− y −x |
− y |
|
|
+ 2 |
- 2 |
- 2 , x ³ 0, y ³ 0, |
|||
ï1 |
|||||
F(x, y) = í |
|
0, |
|
иначе. |
|
ï |
|
|
|||
î |
|
|
|
|
|
|
|
65 |
|
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Найти: а) двумерную плотность |
распределения |
f (x, y) случайного |
вектора (X ; Y ) ; |
||||||
б) вероятность попадания случайной точки с |
координатами (X ; Y ) |
в треугольник с |
|||||||
вершинами A(1; 3) , B(3; 3) , C(2; 8) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Случайный вектор (X ; Y ) имеет функцию распределения |
|
||||||||
ì |
−(2x+5 y) |
|
|
−2x |
|
−5y |
|
|
|
ï1+ e |
- e |
- e |
, |
x ³ 0, y ³ 0, |
|
||||
|
|
|
|
||||||
F(x, y) = í |
0, |
|
|
|
|
|
|
иначе. |
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
||
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти законы распределения компонент X и Y. |
|
|
|
|
|
||||
12. Случайный вектор (X ; Y ) имеет плотность распределения |
|
||||||||
ì |
|
2 |
), 0 |
£ x £ 2, 0 £ y £ 2, |
|
||||
ïC(xy + y |
|
|
|||||||
f (x, y) = í |
0, |
|
|
иначе. |
|
|
|
||
ï |
|
|
|
|
|
||||
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти: а) постоянную C; б) вероятность P{X + Y < 2} ; |
в) плотности распределения fX (x) , |
||||||
fY ( y) компонент X и Y; г) функции распределения FX (x) , FY (y) компонент X и Y. |
|||||||
13. Найти вероятность того, |
что случайно брошенная точка с координатами |
||||||
(X ; Y ) |
попадет |
на |
область |
D, |
определенную неравенствами |
||
|
|||||||
{1≤ x ≤ 2,1≤ y ≤ 2}, если функция распределения координат этой точки равна |
|||||||
|
ì |
|
−x2 −2 y2 |
−x2 |
−2 y2 |
|
|
|
ï |
+ 2 |
|
- 2 |
- 2 |
, |
x ³ 0, y ³ 0, |
|
F(x, y) = í1 |
0, |
|||||
|
ï |
|
|
|
|
иначе. |
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
14.Известна плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X ; Y ) :
f (x, y) = Ce |
− |
x2 +2xy+5 y2 |
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
Требуется: а) найти постоянную C и выражения для функций плотности fX (x) , fY ( y) компонент X и Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y коррелированными.
15.Известна плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X ; Y ) :
− |
(x−2)2 −1,2(x−2)( y+3)+( y+3)2 |
|
f (x, y) = Ce |
1,28 |
. |
|
||
|
|
Требуется: а) найти постоянную C и выражения для функций плотности fX (x) , fY ( y) компонент X и Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y коррелированными.
16.Известна плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X ; Y ) :
66
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ìC sin(x + y), |
0 £ x £ p 2, 0 £ y £ p 2, |
|
f (x, y) = í |
0, |
иначе. |
î |
||
Требуется: а) найти постоянную C и выражения для функций плотности fX (x) , fY ( y) компонент X и Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y коррелированными.
17.Двумерная случайная величина (X ; Y) распределена равномерно внутри
эллипса
x2 |
+ |
y2 |
=1 |
|
9 |
16 |
|||
|
. |
Требуется: а) найти выражения совместной плотности f (x, y) и функций плотности fX (x)
,fY ( y) компонент X и Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y
коррелированными.
18. Известна плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X ; Y ) :
|
|
|
ìC sin xsin y , |
0 £ x £ p, 0 £ y £ p, |
|
|
||||||
|
|
f (x, y) = í |
0, |
|
иначе. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
||||
Требуется: |
а) найти постоянную C и выражения для функций плотности fX (x) , |
fY ( y) |
||||||||||
компонент X и Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y коррелированными. |
||||||||||||
19. Двумерный |
случайный |
вектор |
(X ; Y ) распределен равномерно |
внутри |
||||||||
|
трапеции с |
|
вершинами |
A(−6; 0) , |
B(−3; 4) , |
C(3; 4) , |
D(6; 0) . Требуется: |
|||||
|
а) найти выражения совместной плотности |
f (x, y) и функций плотности |
||||||||||
|
fX (x) , fY ( y) |
компонент X и |
Y; б) выяснить, являются ли случайные |
|||||||||
|
величины X и Y коррелированными. |
|
|
|
|
|
|
|||||
20. Двумерный |
случайный |
вектор |
(X ; Y ) распределен равномерно |
внутри |
||||||||
|
треугольника |
с вершинами O(0; 0) , |
A(0; 8) , |
B(8; 0) . |
Требуется: а) найти |
|||||||
|
выражения |
совместной |
плотности |
f (x, y) |
и |
функций плотности |
fX (x) , |
|||||
|
fY ( y) компонент X и Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y |
|||||||||||
|
коррелированными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
21. Совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид |
||||||||||||
|
|
|
f (x, y) = |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ x2 + y2 )3 |
. |
|
|
|
|
||||
Требуется: |
а) найти постоянную C и выражения для функций плотности fX (x) , |
fY ( y) |
||||||||||
компонент X и Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y коррелированными. 67
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
22. Совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид
f (x, y) = |
|
C |
|
|
+ x2 )(16 + y2 ) . |
||
(9 |
|||
Требуется: а) найти постоянную C и выражения для функций плотности fX (x) , fY ( y) компонент X и Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y коррелированными.
23. Совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид
f (x, y) = |
|
C |
|
|
+ x2 )(25 + y2 ) . |
||
(16 |
|||
Требуется: а) найти постоянную C и выражения для функций плотности fX (x) , fY ( y) компонент X и Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y коррелированными.
24. Совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид
ìC(x + y), |
(x, y)Î D; |
|
f (x, y) = í |
0, |
(x, y)Ï D. |
î |
||
Область D – треугольник, ограниченный прямыми x + y − 3 = 0 , x = 0 , y = 0 . Требуется:
а) найти постоянную C и выражения для функций плотности fX (x) , fY ( y) |
компонент X и |
|||||||||||||
Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y коррелированными. |
|
|||||||||||||
25. Совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид |
||||||||||||||
|
|
|
|
ìCxy, |
|
(x, y)Î D; |
|
|
||||||
f (x, y) = í |
|
|
|
(x, y)Ï D. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
î 0, |
|
|
|
|||||||
Область D – треугольник, ограниченный прямыми |
x + y −1 = 0 , x = 0 , y = 0 . Требуется: |
|||||||||||||
а) найти постоянную C и выражения для функций плотности fX (x) , fY ( y) |
компонент X и |
|||||||||||||
Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y коррелированными. |
|
|||||||||||||
26. Совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид |
||||||||||||||
ì |
2 |
- x |
2 |
- y |
2 |
, |
x |
2 |
+ y |
2 |
£ C |
2 |
(C > 0), |
|
ïC |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f (x, y) = í |
|
0, |
|
|
|
|
x2 + y2 > C2 . |
|
|
|||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Требуется: а) найти постоянную C и выражения для функций плотности fX (x) , fY ( y) компонент X и Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y коррелированными.
27. Совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид
ìC(x + y), |
(x, y)Î D; |
|
f (x, y) = í |
0, |
(x, y)Ï D. |
î |
||
68
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Область D – квадрат, ограниченный прямыми x = 0 , |
x = 3 , |
|
y = 0 , |
y = 3 . Требуется: а) найти |
|||||||||
постоянную C и выражения для функций плотности |
fX (x) , |
fY ( y) компонент X и Y; |
|||||||||||
б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y коррелированными. |
|||||||||||||
28. Совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид |
|||||||||||||
ì |
|
|
|
|
), x |
2 |
|
2 |
|
|
|||
x |
2 |
+ y |
2 |
+ y |
£ 4, |
|
|||||||
ïC (2 - |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f (x, y) = í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
0, |
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
> 4. |
|
|||
î |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Требуется: а) найти постоянную C и выражения для функций плотности fX (x) , fY ( y) компонент X и Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y коррелированными.
29. Совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид
ìCxy, |
(x, y)Î D; |
f (x, y) = í |
(x, y)Ï D. |
î 0, |
|
Область D – квадрат, ограниченный прямыми x = 0 , x = 2 , y = 0 , y = 2 . Требуется: |
|
а) найти постоянную C и выражения для функций плотности |
fX (x) , fY ( y) компонент X и |
||||||||
Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y коррелированными. |
|||||||||
30. Функция распределения |
F(x, y) |
двумерной случайной |
величины (X ; Y) |
||||||
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ≤ 0 |
|
0 < y ≤1 |
y >1 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ 0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < x ≤ 1 |
0 |
|
xy |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x >1 |
0 |
|
y |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
FY (y) и плотности |
||
Требуется: а) найти выражения для функций распределения |
FX (x) |
, |
|||||||
fX (x) , fY ( y) компонент X и Y; |
б) выяснить, |
являются ли случайные величины X и Y |
|||||||
коррелированными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
За д а н и е 4.4. Решить задачу.
1.Совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид
ì0,5sin(x + y), |
0 £ x £ p 2, 0 £ y £ p 2, |
|
f (x, y) = í |
0, |
иначе. |
î |
||
69
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Требуется: а) найти условные плотности fX (x |Y = y) и fY (y | X = x) компонент X и Y;
б) найти условные математические ожидания M[X | Y = y] и M[Y | X = x] компонент X и Y; в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.
2. Функция распределения F(x, y) |
двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид |
|||||
|
|
y y ≤ −1 −1< y ≤ 0 0 < y ≤1 y >1 |
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ −2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 < x ≤ 0 |
0 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > 0 |
0 |
0,7 |
0,8 |
1 |
|
Требуется: а) составить условные законы распределения P{X = xi | Y = y j } , P{Y = y j | X = xi}
компонент |
X и Y; б) найти условные |
|
математические ожидания |
M[X | Y = y j ] |
и |
|||||
|
|
|||||||||
M[Y | X = xi ] |
компонент X и Y (изобразить графически |
регрессии |
Y на x и X на |
y); |
||||||
в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми. |
|
|
|
|||||||
3. Двумерная случайная величина (X ; Y) распределена равномерно внутри эллипса |
|
|||||||||
|
|
x2 |
+ |
y2 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
9 |
16 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
Требуется: |
а) найти условные плотности |
|
fX (x |Y = y) и |
fY (y | X = x) |
компонент X и Y; |
|||||
б) найти условные математические ожидания M[X | Y = y] и M[Y | X = x] компонент X и Y; в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.
4. Совместная плотность двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид
ì0,25sin xsin y, 0 £ x £ p, 0 £ y £ p, |
||
f (x, y) = í |
0, |
иначе. |
î |
||
Требуется: а) найти условные плотности |
fX (x |Y = y) и fY (y | X = x) компонент X и Y; |
|
б) найти условные математические ожидания M[X | Y = y] и M[Y | X = x] компонент X и Y; в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.
5. Функция распределения F(x, y) двумерной случайной величины (X ; Y) имеет вид
70
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com