bdz_teorver

4.Сколькими способами 6 различных конфет можно разделить поровну между тремя детьми?

5.Сколькими способами можно расселить 8 студентов по трем комнатам в общежитии: одноместной, трехместной и четырехместной?

6.Из 10 роз и 8 георгинов составляется букет, содержащий 2 розы и 3 георгина. Сколько можно составить различных букетов?

7.Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников, 10 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, 2 защитников и 3 нападающих?

8.Сколькими способами в группе из 23 человек можно выбрать старосту, двух его заместителей, физорга и культорга (совмещение должностей невозможно)?

9.Сколько различных «слов» можно образовать, переставляя буквы в слове «ВОДОРОД», но так, чтобы три буквы «О» не шли подряд?

10.Дано 15 различных чисел. Сколько строго возрастающих последовательностей длины 8 можно составить, используя только эти числа?

11.Город имеет вид прямоугольника, разделенного улицами на равные квадраты. Таких квадратов с севера на юг 5, а с востока на запад 7. Сколько имеется кратчайших дорог от одной из вершин прямоугольника до противоположной?

12.В теннисном турнире участвует 10 мужчин и 6 женщин. Сколькими способами из них можно составить четыре смешанные пары?

13.Сколько имеется всего пятизначных чисел, в которых цифры стоят в порядке невозрастания?

14.Три танкиста, два летчика и четыре артиллериста хотят сфотографироваться, стоя в один ряд, но так, чтобы представители одного рода войск находились рядом. Сколькими способами это может быть сделано?

15.Сколькими способами можно 10 одинаковых подарков распределить между 6 детьми так, чтобы каждый ребенок получил хотя бы один подарок?

16.На первой из двух параллельных прямых лежит 10 точек, на второй – 20. Проводятся всевозможные отрезки, соединяющие точки первой и второй прямой. Сколько существует внутренних точек пересечения этих отрезков?

17.Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, …, 7, чтобы цифры не повторялись и крайние цифры были четными?

18.Сколькими способами можно разделить колоду из 36 карт пополам так, чтобы в каждой пачке было по два туза?

11

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

19.Сколькими способами можно выбрать из натуральных чисел от 1 до 30 три натуральных числа так, чтобы их сумма была четной?

20.Сколькими способами можно рассадить за пятнадцатью партами 15 мальчиков и 15 девочек так, чтобы за каждой партой сидели мальчик и девочка?

21.Сколько различных «слов» можно образовать, переставляя буквы в слове «МАТЕМАТИКА», но так, чтобы три буквы «А» не шли подряд?

22.Сколько делителей имеет число р1 × р2 ×...× рп , где р1 , р2 , ... , рп – различные простые числа?

23.Из спортивного клуба, насчитывающего 30 членов, надо отобрать 4 спортсмена для участия в кроссе на 1000 м и 4 спортсмена – для эстафеты 800 + 400 + 200 +100 м. Сколькими способами это можно сделать, если в двух видах соревнований участвовать нельзя?

24.На один ряд, в котором 8 стульев, рассаживаются 5 юношей и 3 девушки. Сколькими способами они могут сесть, чтобы не все девушки оказались сидящими рядом?

25.Номер автомобильного прицепа состоит из 3 букв и 3 цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 12 букв и 10 цифр?

26.Дано 9 различных чисел. Сколько неубывающих последовательностей длины 6 можно составить, используя только эти числа?

27.На фестиваль прибыла молодежь пяти континентов. Потребовалось создать делегацию из восьми человек, но так, чтобы в нее входили представители всех континентов. Сколькими способами это может быть сделано?

28.Из 12 лотерейных билетов, среди которых находятся 4 выигрышных, берут 6 билетов. Сколькими способами можно взять эти 6 билетов, чтобы среди них находился хотя бы один выигрышный?

29.Дано 12 различных чисел. Сколько последовательностей длины 7 можно составить, используя только эти числа?

30.Из цифр 1, 2, …, 9 составляются всевозможные пятизначные числа, причем числа, в которых есть цифры 2, 4, 5 одновременно, не содержат одинаковых цифр. Сколько всего чисел можно составить?

12

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

З а д а н и е 1.5. Сколькими способами можно оплатить покупку стоимостью A рублей (табл.1.3), используя монеты достоинством 1, 2, 5 и 10 руб.?

Таблица 1.3

13

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

2. Случайные события

Классическая вероятность

З а д а н и е 2.1. Подбрасываются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N; б) произведение числа очков не превосходит N; в) произведение числа очков делится на N (табл.2.1).

Таблица 2.1

За д а н и е 2.2. Вычислить вероятность события, указанного в условии задачи.

1.Найти вероятность того, что участник лотереи «Спортлото 6 из 49» угадает ровно 4 цифры.

2.В купейный вагон (9 купе по 4 места) семи пассажирам продано 7 билетов. Найти вероятность того, что пассажиры попали в два купе.

3.В гостинице имеется шесть одноместных номеров. На эти места имеется 10 претендентов: 6 мужчин и 4 женщины. Гостиница следует правилу FIFO: пришедшие раньше обслуживаются раньше. Все претенденты прибывают в гостиницу в случайном порядке. Какова вероятность того, что номера получат четверо мужчин и две женщины?

4.В магазине было продано 21 из 25 холодильников трех марок, имеющихся в количествах 5, 7 и 13 штук. Полагая, что вероятность быть проданным для холодильника каждой марки одна и та же, найти вероятность того, что остались нераспроданными холодильники одной марки.

14

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

5.Из 20 филиалов Cбербанка 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобраны 5 филиалов. Какова вероятность того, что среди отобранных филиалов в черте города окажется ровно 3 филиала?

6.Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на три из четырех поставленных в билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет?

7.Для проведения турнира по волейболу 16 команд разбиты по жребию на две подгруппы (по 8 команд в каждой). Найти вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся в разных подгруппах.

8.В лотерее разыгрывается 100 билетов, среди которых 10 – выигрышные. Студент купил 4 билета. Какова вероятность, что он выиграл хотя бы на один билет?

9.В купейный вагон (9 купе по 4 места) семи пассажирам продано 7 билетов. Найти вероятность того, что пассажиры попали в семь купе.

10.В студенческой лотерее на 100 билетов приходится 5 денежных и 5 вещевых выигрышей. Студент приобрел 2 билета. Какова вероятность, что он выиграл и вещь, и деньги?

11.Подбрасываются две «правильные» игральные кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков окажется больше их произведения?

12.Из ящика, содержащего 5 пар обуви, из которых 3 пары мужской, а 2 пары женской, перекладывают наудачу 2 пары обуви в другой ящик, содержащий одинаковое количество пар женской и мужской обуви. Какова вероятность того,

что во втором ящике после этого окажется одинаковое количество пар мужской и женской обуви?

13.Для проведения турнира по волейболу 16 команд разбиты по жребию на две подгруппы (по 8 команд в каждой). Найти вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся в одной подгруппе.

14.В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы: по 100 Вт – 7 шт., по 75 Вт – 13 шт. Вынуты наудачу три лампы. Какова вероятность того, что они все окажутся одинаковой мощности?

15.В коробке 10 красных, 3 синих и 7 желтых карандашей. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что они все разных цветов?

16.Два студента МИЭТ, три студента МАИ и четыре студента МГУ наугад рассаживаются в три вагона. Для каждого пассажира вероятность оказаться в

15

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

любом из вагонов одинакова. Найти вероятность того, что два студента МИЭТ окажутся в разных вагонах.

17.Колода из 32 карт (без шестерок) раздается трем игрокам, получающим по 10 карт, а 2 карты откладываются в сторону. Какова вероятность того, что отложенные в сторону карты окажутся тузами?

18.Из 10 вариантов контрольной работы, написанных на отдельных карточках, наугад выбирают 8 и раздают восьми студентам, сидящим в одном ряду. Найти вероятность того, что варианты 1 и 2 достанутся рядом сидящим студентам.

19.Среди 15 лампочек 4 – стандартные. Одновременно берут наудачу 2 лампочки. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них нестандартная.

20.Из цифр 1, 2, 3 наугад составляется шестизначное число. Найти вероятность того, что получится четное число, содержащее всего одну цифру 2.

21.В коробке 10 красных, 3 синих и 7 желтых карандашей. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что они одного цвета?

22.Из 20 филиалов Сбербанка 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобраны 5 филиалов. Какова вероятность того, что среди отобранных филиалов в черте города окажется хотя бы один филиал?

23.Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные части по 26 карт. Найти вероятность того, что все тузы окажутся в одной пачке.

24.В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы: по 100 Вт – 7 шт., по 75 Вт – 13 шт. Вынуты наудачу три лампы. Какова вероятность того, что хотя бы две из них окажутся по 100 Вт?

25.Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что в нем все цифры нечетные? Известно, что номер телефона не начинается с цифры ноль.

26.В гостинице имеется шесть одноместных номеров. На эти места имеется 10 претендентов: 6 мужчин и 4 женщины. Гостиница следует правилу FIFO: пришедшие раньше обслуживаются раньше. Все претенденты прибывают в гостиницу в случайном порядке. Какова вероятность того, что номер получит, по крайней мере, одна из четырех женщин?

27.Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные части по 26 карт. Найти вероятность того, что в каждой пачке окажется по два туза.

28.На отдельных карточках написаны три буквы «А», две буквы «Н» и одна буква «С». Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает одну к другой.

Какова вероятность того, что получится слово «Ананас»? 16

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

29.В лифт на первом этаже девятиэтажного дома вошли четыре человека, каждый из которых может выйти независимо друг от друга на любом этаже, со второго по девятый. Какова вероятность того, что все пассажиры выйдут на одном этаже?

30.Какова вероятность, что выбранное наугад целое число при возведении в квадрат даст число, оканчивающееся на единицу?

Геометрическая вероятность

З а д а н и е 2.3. Вычислить вероятность события, указанного в условии задачи.

1.На отрезке [0;1] наудачу выбирают три точки. С какой вероятностью сумма их координат будет больше двух?

2.Даны две концентрические окружности радиусов 10 и 6 см. На большей окружности наудачу ставятся две точки A и B. Какова вероятность того, что отрезок AB пересечет малую окружность?

3.Считая падение спутника в любой точке проекции орбиты на Землю равновероятным, найти вероятность того, что спутник упадет севернее параллели 30° с. ш., если плоскость круговой орбиты наклонена под углом 60° к плоскости экватора.

4.В течение 1 мин наблюдения в случайные моменты времени появляется радиосигнал длительностью 10 с, и на 7 с включается приемник. Найти вероятность обнаружения сигнала, если приемник настраивается мгновенно.

5.На диаметре круга наугад берется точка. Через эту точку проводится хорда, перпендикулярная построенному диаметру. Найти вероятность того, что длина хорды не превосходит длины радиуса круга.

6.Внутри равностороннего треугольника ABC со стороной 1 см наугад выбирают точку

M. Какова вероятность того, что площадь треугольника AMB больше 18 см2?

7.На отрезок AB наудачу поставлена точка C. Затем на отрезке AC ставится еще одна точка D. Какова вероятность того, что расстояние CD меньше половины длины отрезка

AB?

8.В наудачу выбранные моменты времени на интервале T =1 мин независимо один от другого в приемник поступают два импульсных сигнала. Определить вероятность того, что приемник зарегистрирует поступившие сигналы, если для регистрации каждого требуется время τ = 1 с, в течение которого приемник нечувствителен к входному сигналу.

17

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

9.На окружности ставятся три точки. Какова вероятность того, что они являются вершинами тупоугольного треугольника?

10.На отрезке [−2; 2] случайным образом выбираются два числа. Найти вероятность того,

что наименьшее из них принадлежит отрезку [−1;1] .

11.На отрезок AB наудачу поставлена точка C. Затем на отрезке AC ставится еще одна точка D. Какова вероятность того, что точка D ближе к точке B, чем к точке A?

12.Над точечным источником радиоактивного излучения, посылающим лучи равномерно по всем направлениям пространства, на расстоянии d =12 установлен плоский экран, фиксирующий точечные вспышки, вызываемые излучением. Найти вероятность того, что очередная вспышка произойдет в части экрана, расположенной внутри круга радиусом r = 5 с центром, находящимся над источником излучения.

13.На отрезке наудачу выбирают две точки. С какой вероятностью расстояние между ними будет меньше половины длины этого отрезка?

14.В течение 1 мин наблюдения в случайные моменты времени появляется радиосигнал длительностью 10 с, и на 6 с включается приемник. Найти вероятность обнаружения сигнала, если время настройки приемника составляет 1 с.

15.Внутри равностороннего треугольника ABC со стороной 1 см наугад выбирают точку

M. Какова вероятность того, что площадь треугольника AMB меньше 18 см2?

16.Даны две концентрические окружности радиусов 12 и 8 см. На большей окружности наудачу ставятся две точки A и B. Какова вероятность того, что отрезок AB не пересечет малую окружность?

17.На отрезке AB наудачу выбирают точки C и D. С какой вероятностью точка C окажется ближе к D, чем к A?

18.Какова вероятность того, что сумма длин трех наудачу взятых отрезков, длина каждого из которых не превосходит соответственно 5, 8 и 9 см, будет больше 8 см?

19.В единичном круге с центром O проведен фиксированный диаметр. На этом диаметре наугад выбирают точку и через нее проводят хорду AB, перпендикулярную диаметру.

Найти вероятность того, что площадь треугольника AOB меньше 1516 .

20.В квадрат ABCD наугад бросают точку O. Эту точку принимают за центр окружности, касающейся диагонали AC. Найти вероятность того, что эта окружность не выйдет за границы квадрата.

21.В течение суток шлагбаум на железнодорожном переезде закрывается 20 раз на 4 мин (каждый раз). С какой вероятностью автомобиль проедет переезд без остановки или с

задержкой не более чем на 1 мин?

18

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

22.На отрезок OA наудачу поставлены точки B и C (B левее C). Какова вероятность того, что длина отрезка BC будет меньше длины отрезка OB?

23.На окружности ставятся три точки. Какова вероятность того, что они являются вершинами остроугольного треугольника?

24.Какова вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше 1, не превзойдет 1, а модуль их разности будет больше 0,5?

25. Найти вероятность того, что корни уравнения x2 + px + q = 0 одного знака, если

−1< p <1, −1< q <1.

26.На плоскость с нанесенной на ней квадратной сеткой многократно бросается монета диаметром 2 см. В результате установлено, что в 40% случаев монета не пересекает ни одной стороны квадрата. Оценить размер сетки.

27.На отрезок AB наудачу поставлена точка C. Затем на отрезке AC ставится еще одна точка D. Какова вероятность того, что точка C ближе к точке D, чем к точке B?

28.Шарик диаметром 2 см падает на сетку с квадратными ячейками размером 4 см, сделанную из проволоки толщиной 0,2 см. С какой вероятностью шарик не заденет сетку?

29.На двух соседних четвертях единичной окружности выбирают наугад по одной точке. Найти вероятность того, что длина хорды с концами в этих точках меньше единицы.

30.Какова вероятность, не целясь, попасть пулей диаметром 1 см в прутья толщиной 1 см, образующие решетку с прямоугольными ячейками размером 6× 10 см?

З а д а н и е 2.4. Иван и Марья договорились о встрече у входа в МИЭТ между A и B часами (табл.2.2). Каждый приходит в случайный момент указанного промежутка и ждет появления другого до истечения срока, но не более а минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится.

Таблица 2.2

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

20

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com