bdz_teorver

Вероятности сложных событий

З а д а н и е 2.6. Определить вероятность прохождения сигнала в цепи (рис.2.1),

различные элементы которой выходят из строя независимо друг от друга с заданными вероятностями pi ( i =1, ..., 5 ) (табл.2.4).

21

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Таблица 2.4

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

З а д а н и е 2.7. Вычислить вероятность события, указанного в условии задачи.

1.Некто нашел чужую пластиковую карточку банкомата. Найти вероятность, что двух попыток, предоставляемых банкоматом, хватит для того, чтобы отгадать неизвестный ему четырехзначный код.

2.Вероятность того, что студент сдаст экзамен по математике, равна 0,7. В случае сдачи экзамена по математике вероятность того, что студент сдаст экзамен по общей физике, равна 0,5. В случае неудачи на экзамене по математике вероятность того, что студент сдаст экзамен по общей физике, равна 0,4. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен хотя бы по одной из этих двух дисциплин.

3.Имеется пять однотипных ключей, из которых только один подходит к замку. Найти вероятность того, что будет произведено не менее четырех попыток открывания замка (испробованный ключ в последующих попытках не участвует).

4.По данным переписи населения Англии и Уэльса (1891 г.) было установлено, что темноглазые отцы и темноглазые сыновья составили 5% обследованных, темноглазые отцы и светлоглазые сыновья – 8% обследованных, светлоглазые отцы и темноглазые сыновья – 9% обследованных, а светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья составили 78% обследованных. Определить, какова вероятность рождения светлоглазого сына у темноглазого отца?

5.В двух урнах находятся белые и черные шары: в первой – 6 белых и 4 черных шара, во второй – 3 белых и 7 черных шаров. Из первой урны берут наудачу два шара и перекладывают во вторую урну, затем из второй урны взяли наудачу один шар и переложили его в первую урну. Найти вероятность того, что после всех операций количество белых шаров в первой урне окажется равным четырем.

6.В группе учатся 25 студентов, из них 10 – троечники. Для решения задачи у доски любого из них могут вызвать с равной вероятностью один раз в течение занятия. Найти вероятность того, что троечник не пойдет к доске решать третью задачу, если первую задачу у доски уже решал один из троечников.

7.За пятилетие фирма может прекратить свое существование с вероятностью 12 ,

выжить в конкурентной борьбе с вероятностью 13 и разделиться на две фирмы с вероятностью 16 . В следующее пятилетие с каждой фирмой может произойти то же самое с теми же вероятностями. Найти вероятность того, что к концу второго пятилетия будет две фирмы.

23

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

8.Владелец трех пакетов акций получает доход по каждому из пакетов с вероятностями соответственно 0,5, 0,7 и 0,9. Найти вероятность того, что не менее двух пакетов принесут доход их владельцу.

9.Среди клиентов банка 80% являются физическими лицами и 20% – юридическими. Из практики известно, что 40% всех операций приходится на долгосрочные расчеты, в то же время из общего числа операций, связанных с физическими лицами, 30% приходится на долгосрочные расчеты. Какова вероятность того, что наудачу выбранный клиент является юридическим лицом и осуществляет долгосрочный расчет?

10.Вероятность того, что студент сдаст экзамен по дисциплине A, равна 0,8. В случае сдачи экзамена по дисциплине A вероятность того, что студент сдаст экзамен по дисциплине B, равна 0,5. В случае неудачи на экзамене по дисциплине A вероятность того, что студент сдаст экзамен по дисциплине B, равна 0,6. Найти вероятность того, что экзамен хотя бы по одной из двух дисциплин студент сдаст.

11.Для подготовки к экзамену студенту предложено 30 вопросов. Билет содержит два вопроса. Комплектование билетов вопросами осуществляется случайным образом. Студент подготовил 25 вопросов. Найти вероятность того, что он сдаст экзамен, если для

этого достаточно ответить правильно на два вопроса своего билета или на один вопрос своего билета и один вопрос по выбору преподавателя.

12.Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Оба они делают по одному выстрелу по мишени. А затем каждый из стрелков стреляет еще, но только один раз, если при первом сделанном им выстреле он промахнулся. Найти вероятность того, что в мишени окажется ровно две пробоины.

13.Найти вероятности событий A и B, если справедлива система

ìP(A + B) = 3 4,

ï

íP(A + B) = 34, ïîP(A × B) =14.

14.Владелец трех пакетов акций получает доход по каждому из пакетов с вероятностями соответственно 0,5, 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что не менее двух пакетов принесут доход их владельцу.

15.Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Оба они делают по одному выстрелу по мишени. А затем каждый из стрелков стреляет еще, но только один раз, если при первом сделанном им выстреле он промахнулся. Найти вероятность того, что в мишени окажется ровно одна пробоина.

16.Вероятность того, что студент сдаст экзамен по дисциплине A, равна 0,8. В случае

сдачи экзамена по дисциплине A вероятность того, что студент сдаст экзамен по

24

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

дисциплине B, равна 0,5. В случае неудачи на экзамене по дисциплине A вероятность того, что студент сдаст экзамен по дисциплине B, равна 0,6. Найти вероятность того, что экзамен хотя бы по одной из двух дисциплин студент не сдаст.

17.Каждое из двух независимо работающих устройств состоит из двух элементов. За время T каждый из элементов первого устройства выходит из строя независимо от другого элемента с вероятностью 0,1, второго – с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что за время T в первом устройстве выйдет из строя хотя бы один элемент, а во втором – менее двух элементов.

18.Найти вероятности событий A и B, если справедлива система

ìP(A + B) = 2 3,

ï

íP(A + B) = 56, ïîP(A × B) =16.

19.По данным переписи населения Англии и Уэльса (1891 г.) было установлено, что темноглазые отцы и темноглазые сыновья составили 5% обследованных, темноглазые отцы и светлоглазые сыновья – 8% обследованных, светлоглазые отцы и темноглазые сыновья – 9% обследованных, а светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья составили 78% обследованных. Определить, какова вероятность рождения темноглазого сына у светлоглазого отца?

20.Для подготовки к экзамену студенту предложено 20 вопросов. Билет содержит два вопроса. Комплектование билетов вопросами осуществляется случайным образом. Студент подготовил 15 вопросов. Найти вероятность того, что он сдаст экзамен, если для

этого достаточно ответить правильно на два вопроса своего билета или на один вопрос своего билета и один вопрос по выбору преподавателя.

21.Найти вероятности событий A и B, если справедлива система

ìP(A + B) = 2 3,

ï

íP(A + B) = 56, ïîP(A + B) = 23.

22.В группе учатся 25 студентов, из них 5 – отличники. Для решения задачи у доски любого из них могут вызвать с равной вероятностью один раз в течение занятия. Найти вероятность того, что третью задачу к доске пойдет решать отличник, если первую задачу тоже решал отличник.

23.Два футболиста независимо друг от друга выполняют по два штрафных удара по воротам. Вероятности попадания мяча в створ ворот при каждом ударе для футболистов равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что у первого футболиста будет

больше попаданий, чем у второго.

25

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

24.В двух урнах находятся белые и черные шары: в первой – 6 белых и 4 черных шара, во второй – 3 белых и 7 черных шаров. Из первой урны взяли наудачу два шара и переложили во вторую урну, затем из второй урны берут наудачу один шар и перекладывают в первую урну. Найти вероятность того, что после всех операций количество белых шаров в первой урне окажется равным пяти.

25.За пятилетие фирма может прекратить свое существование с вероятностью 12 ,

выжить в конкурентной борьбе с вероятностью 13 и разделиться на две фирмы с

вероятностью 16 . В следующее пятилетие с каждой фирмой может произойти то же самое с теми же вероятностями. Найти вероятность того, что к концу второго пятилетия останется одна фирма.

26.В шкафу находятся 9 однотипных новых приборов. Для проведения опыта берут наугад 3 прибора и, после работы, возвращают их в шкаф. Внешне новые и использованные приборы не отличаются. Найти вероятность того, что после проведения трех опытов в шкафу не останется новых приборов.

27.Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она нечетная. Найти вероятность того, что ему придется сделать не менее трех попыток набора номера, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает.

28.Два футболиста независимо друг от друга выполняют по два штрафных удара по воротам. Вероятности попадания мяча в створ ворот при каждом ударе для футболистов равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что у обоих футболистов будет одинаковое количество попаданий.

29.Каждое из двух независимо работающих устройств состоит из двух элементов. За время T каждый из элементов первого устройства выходит из строя независимо от другого элемента с вероятностью 0,1, второго – с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что за время T в обоих устройствах выйдет из строя равное количество элементов.

30.Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, для первого станка равна 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,75, для четвертого – 0,7. Найти вероятность того, что не менее двух станков потребуют внимания рабочего в течение часа.

26

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Формулы полной вероятности и Байеса

За д а н и е 2.8. Вычислить вероятность события, указанного в условии задачи.

1.В торговую фирму поступают телевизоры от трех фирм-изготовителей в

соотношении 2 :5:3. Телевизоры, поступающие от первой фирмы, требуют ремонта в течение гарантийного срока в 15% случаев, от второй и третьей – соответственно в 8 и 6% случаев. Найти вероятность того, что проданный телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

2.Известно, что в среднем 95% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту.

Упрощенная схема контроля признает пригодной продукцию с вероятностью 0,98, если она стандартна, и с вероятностью 0,06, если она нестандартна. Взятое наудачу изделие прошло упрощенный контроль. Найти вероятность того, что проверенное изделие является стандартным.

3.Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8; для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что она принадлежит второму стрелку?

4.В урну, содержащую 2 шара, опущен 1 белый шар. Затем из урны наудачу взяли 1 шар. Какова вероятность, что это будет белый шар, если равновозможен любой первоначальный состав урны?

5.Из наблюдений установлено, что вероятности произойти сбою во время работы компьютера в процессоре, в оперативной памяти или в периферийных

устройствах соотносятся между собой как 3: 2:5 . И пусть условные вероятности обнаружения сбоя в названных местах компьютера равны соответственно 0,8, 0,9 и 0,9. Найти безусловную вероятность того, что возникший где-то сбой будет обнаружен системой контроля.

6.Группа из 30 студентов поровну состоит из отличников, хорошистов и троечников. Отличник на экзамене обязательно получит 5; хорошист – равновозможно 5 или 4; а троечник – равновозможно 4, 3 или 2. Новый преподаватель наугад вызывает незнакомого студента, и он получает 4. Какова вероятность, что этот студент из подгруппы троечников?

7.Прибор состоит из двух дублирующих блоков и остается работоспособным, если исправен хотя бы один из них. Случайным образом прибор может находиться в одном из двух режимов: благоприятном – с вероятностью 0,9 и неблагоприятном

– с вероятностью 0,1. В благоприятном режиме надежность (т.е. вероятность

27

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

безотказной работы) каждого из блоков 0,95, а в неблагоприятном – 0,8. Учитывая все это, найти безусловную (полную) надежность прибора.

8. В торговую фирму поступают телевизоры от трех фирм-изготовителей в соотношении 2 :5:3. Телевизоры, поступающие от первой фирмы, требуют ремонта в течение гарантийного срока в 15% случаев, от второй и третьей – соответственно в 8 и 6% случаев. Проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. Найти вероятность того, что проданный телевизор поступил в торговую фирму от второй фирмы.

9.Среди пациентов туберкулезного диспансера 15% принадлежат к первой категории больных, 66% – ко второй и 19% – к третьей. Вероятности возникновения заболевания, в зависимости от категории больных, равны соответственно 0,12, 0,09, 0,2. Найти вероятность принадлежности к третьей категории больных пациента диспансера, у которого обнаружено заболевание.

10.Пусть на радиолокационную станцию (РЛС) равновозможно поступает либо только шум (нет цели), либо смесь сигнала с шумом (есть цель). Известно, что

решающее устройство РЛС при наличии только шума может ошибиться и зарегистрировать цель (ошибка ложной тревоги) с вероятностью 0,1; а при наличии сигнала с шумом цель правильно регистрируется (нет ошибки пропуска цели) с вероятностью 0,7. И пусть решающее устройство зарегистрировало цель. Какова вероятность, что РЛС не ошиблась?

11.На склад поступила однотипная продукция с трех фабрик. Объемы поставок

относятся соответственно как 1: 2 : 7 . Известно, что нестандартных изделий среди продукции первой фабрики – 3%, второй – 2%, третьей – 1%. Взятое наугад со склада изделие оказалось нестандартным. Найти вероятность того, что изделие было произведено первой фабрикой.

12.Имеется три партии деталей. В одной из них 13 деталей – брак, а в остальных все детали качественные. Деталь, взятая наугад из какой-то партии, оказалась качественной. Какова вероятность, что деталь взята из партии с браком?

13.Группа из 30 студентов поровну состоит из отличников, хорошистов и троечников. Отличник на экзамене обязательно получит 5; хорошист – равновозможно 5 или 4; а троечник – равновозможно 4, 3 или 2. Новый преподаватель наугад вызывает незнакомого студента. Какова вероятность, что студент получит 4 или 5?

14.В двух урнах находятся белые и черные шары: в первой – 3 белых и 2 черных шара, во второй – 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не

28

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

глядя, два шара. Затем из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

15.Устройство состоит из двух элементов и не работает только в случае, когда они оба неисправны. По внешнему виду исправный и бракованный элементы неотличимы. Вероятность безотказной работы исправного элемента в течение гарантийного срока равна 0,9. Элементы, среди которых 10% бракованных, поступают в цех для сборки устройств без предварительного контроля. Какова вероятность, что безотказно проработавшее до окончания гарантийного срока устройство с самого начала имело два исправных элемента?

16.Имеется ящик, в котором лежат 20 коробок по 10 карандашей. При вскрытии ящика 4 коробки уронили, и грифели карандашей в них сломались. Однако все 20 коробок были сданы на склад, откуда затем взяли 2 коробки и раздали карандаши ученикам. Найти вероятность того, что доставшийся ученику карандаш имеет сломанный грифель.

17.На предприятии работают 10 рабочих шестого разряда, 15 рабочих пятого разряда

и5 рабочих четвертого разряда. Вероятность того, что изделие, изготовленное рабочим, будет одобрено отделом технического контроля (ОТК) предприятия, равна соответственно 0,95, 0,9 и 0,8. Найти вероятность того, что изделие, проверенное ОТК, будет одобрено (производительность всех рабочих одинакова).

18.На склад поступила однотипная продукция с трех фабрик. Объемы поставок

относятся соответственно как 1: 2 : 7 . Известно, что нестандартных изделий среди продукции первой фабрики – 3%, второй – 2%, третьей – 1%. Найти вероятность того, что взятое наугад со склада изделие окажется нестандартным.

19.На экзамен пришли 10 студентов. Трое из них подготовлены отлично, четверо – хорошо, двое – удовлетворительно, один – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, удовлетворительно – на 10, плохо – на 5. Студент, сдавший экзамен, ответил на все три заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен плохо.

20.Завод выпускает устройства, состоящие из двух элементов. Устройство отказывает, если выходит из строя хотя бы один элемент. Для сборки изделий используются элементы высшего качества и первого сорта, которые внешне неотличимы.

Вероятность безотказной работы в течение гарантийного срока элемента высшего качества равна 0,9, а элемента первого сорта – 0,8. Известно, что 10%

используемых для сборки устройств элементов – первого сорта, а остальные –

29

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

высшего качества. Какова вероятность, что устройство, безотказно роработавшее до окончания гарантийного срока, содержало оба элемента первого сорта?

21.Спортсмены трех групп выполняют квалификационные нормы. В первой группе 10 спортсменов, во второй – 15, в третьей – 25. Вероятности выполнения квалификационных норм спортсменом каждой группы равны соответственно 0,9, 0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что невыполнивший норму спортсмен не входит во вторую группу.

22.Среди пациентов туберкулезного диспансера 15% принадлежат к первой категории больных, 66% – ко второй и 19% – к третьей. Вероятности возникновения заболевания, в зависимости от категории больных, равны соответственно 0,12, 0,09, 0,2. Найти вероятность возникновения заболевания у наугад выбранного пациента диспансера.

23.Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: I класс – малый риск, II класс – средний, III класс – большой риск. Среди этих клиентов 50% – I класса риска, 30% – II и 20% – III класса риска. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для I класса риска равна 0,01, II – 0,03, III класса – 0,08. Какова вероятность того, что застрахованный получит денежное вознаграждение за период страхования?

24.На экзамен пришли 10 студентов. Трое из них подготовлены отлично, четверо – хорошо, двое – удовлетворительно, один – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, удовлетворительно – на 10, плохо – на 5. Студент, сдавший экзамен, ответил на все три заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен отлично.

25.Устройство состоит из двух элементов и не работает только в случае, когда они оба неисправны. По внешнему виду исправный и бракованный элементы неотличимы. Вероятность безотказной работы исправного элемента в течение гарантийного срока равна 0,9. Элементы, среди которых 10% бракованных, поступают в цех для сборки устройств без предварительного контроля. Какова вероятность, что вышедшее из строя до окончания гарантийного срока устройство с самого начала имело лишь один исправный элемент?

26.Завод выпускает устройства, состоящие из двух элементов. Устройство отказывает, если выходит из строя хотя бы один элемент. Для сборки изделий используются

элементы высшего качества и первого сорта, которые внешне неотличимы.

Вероятность безотказной работы в течение гарантийного срока элемента высшего

30

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com