8. Уравнение Пуассона и Лапласа для электростатического поля

div =

+ =

E_x = /, E_y = /, E_z = /,

- уравнение Пуассона

Интеграл φ = - является решением уравнения Пуассона в случае, когда заряды распределены в конечной области пространства.

Если рассматриваемой области пространства отсутствуют объемные эл.заряды¸ то уравнение Пуассона примет вид:

и называется в этом частном случае уравнением Лапласа.

Уравнение Лапласа можно записать в виде:∆φ = 0 ∆ ≡

9. Уравнение Максвелла в комплексном виде. Волновое уравнение Гельмгольца

Объединим плотности тока проводимости и смещения:

= ·+=·+ jω

Тогда при изменении векторов поля во времени по гармоническому закону (в комплексной форме, как ), система уравнений Максвелла в комплексной форме может быть приведена к комплексному виду:

1. rot = jω

2. rot = -jωμ

3. div= 0

4. div= 0

5. Комплексная диэлектрическая проницаемость среды:

6. В этом случае волновые уравнения преобразуются в уравнения Гельмгольца:

7. + = 0+= 0k = ω комплексное волновое число.

9. 11. Вектор Пойнтинга

10. Вектор Пойнтинга определяет направление и величину потока электромагнитной мощности, проходящей через единицу поверхности в направлении распространения волны.

11. Вектор плотности потока энергии электромагнитного поля:

12. 

13. В случае квазимонохроматических электромагнитных полей справедлива формула для усредненной по периоду комплексной плотности потока энергии:

14. 

15. где E и H — векторы комплексной амплитуды электрического и магнитного полей соответственно. В этом случае чёткий физический смысл имеет только действительная часть комплексного вектора S — это вектор усреднённой за период плотности потока энергии. Физический смысл мнимой части зависит от конкретной задачи.

17. 12. Вывод волновых уравнений непосредственно из уравнений Максвелла в дифференциальной форме

18. Рассмотрим вывод волновых уравнений непосредственно из уравнений Максвелла. Возьмем уравнение для ротора электрического поля, определяемого через производную по времени от магнитной индукции.

19. 

20. Векторно домножим это уравнение на

21. 

22. Так как дивергенция электрического поля в диэлектрической среде равна нуля, то в однородной среде дивергенция вектора тоже равна нулю, что следует из уравнения Максвелла.

23. 

24. Волновое уравнение для электрической составляющей поля.

25. Рассуждая аналогичным образом можно получить волновое уравнение для магнитной составляющей поля.

26. 

38. 10. Основные свойства плоских электромагнитных волн

39. Плоской называют волну, распространяющуюся вдоль какой – либо линейной координаты и неизменную в каждый фиксированный момент времени в плоскости, перпендикулярной этой координате.

40. Предположим, что плоская волна распространяется вдоль оси Х декартовой системы координат.

41. = Е_mxe^j(ωt-kz) = 0

42. Основные свойства и характеристики плоских волн:

1. Вектор напряженности эл.поля удовлетворяет волновому уравнению Гельмгольца:

2. = ++=Е_mxe^jωt= - k²

3. Вектор напряженности магнитного поля перпендикулярен вектору напряженности эл.поля (_элэл). Из 2ого уравнения Максвелла:rot = = -jk = - j𝜔E_mx = Н_my

4. Отношение - называется волновым или характеристическим сопротивлением среды. = Оно определяет связь между векторами эл.и магнитного поля в плоской волне. = == |Z|e^jφz

43. Волновое сопротивление среды последовательно – взаимная связь между векторами поля, определяется параметрами пространства, в котором распространяется плоская волна и частота самой волны.

44. Для проводимых сред:=e^jπ/4, Т.е.в проводящих средах вектор напряженности эл.поля опережает вектор напряженности магнитного поля по фазе на угол π/4.

45. 4) Комплексное волновое число:k = ω, - коэффициент фазы,α – постоянная затухания. Определяет характер изменения амплитуды и фазы, напряженности плоской волны с расстояниемZ.,

5. Фазовая скорость волны – скорость перемещения фронта волны, фиксированного значения фазы, вдоль направления распространения волны. ωt – βZ = const , v_ф = dz/dt, ωdt – βdZ =0 v_ф = dz/dt = ω/β

6. Длина волны 𝝀 – расстояние, на котором фаза волны изменяется на 2π: β𝝀 = 2π 𝝀 = 2π/β = v_ф/f

7. Явление поверхностного эффекта заключается в неравномерном распределении переменного электромагнитного поля в проводящей среде из – за затухания электромагнитной волны.