Коэффициент корреляции по способу квадратов Пирсона

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле (способ квадратов - Пирсона):

rxy=	∑ (хi–x) (уi– у)
	∑(хi–x)2∑(уi– у)2

Последовательность действий при расчете коэффициента корреляции:

1. Найти средние арифметические для ряда хи рядау;

2. Найти отклонения чисел хиуот средних арифметических этих рядов: (х_i–x) и (у_i– у);

3. Найти квадраты отклонений (х_i–x)²и (у_i– у)²и суммировать каждый из них;

4. Найти произведения (х_i–x) (у_i– у) и суммировать их;

5. Полученные значения подставить в формулу.

Оценка достоверности выборочных коэффициентов корреляции производится с помощью вычисления их ошибок (m_rxy) или по специальной таблице.

При числе парных наблюдений n≥100

mrxy=	1 – rxy2
	n

Коэффициент корреляции считается достоверным, если он превышает свою среднюю ошибку в 3 и более раза, т.е.:

rxy	≥ 3.
mrxy

При числе парных наблюдений n<100 ошибка вычисляется по формуле:

mrxy=	1 – rxy2
	n- 2

где n– число сравниваемых пар, а оценка достоверности производится с помощьюt-критерия:

t rxy=	n- 2
	1 – rxy2

Полученную величину tсравнивают с табличными значениямиt₀₅,t₀₁,t₀₀₁при числе степеней свободыn' =n– 2. Если полученное значениеt>t₀₅(t₀₁,t₀₀₁), коэффициент корреляции считается достоверным с вероятностью 95%, 99% или 99,9%.

Пример.Вычислить коэффициент корреляции между числом заболевшего населения (у) и числом привитых против этого заболевания (х) (на предприятиях работает по 100 человек).

Предприятия	Число привитых, хi	Число заболевших, уi	Отклонение от средней		Квадраты отклонений		(хi – x) (уi – у)
			(хi–x)	(уi– у)	(хi–x)2	(уi– у)2
А	10	9	-46	2	2116	4	-92
Б	30	10	-26	3	676	9	-78
В	70	7	+14	0	196	0	0
Г	80	4	+24	-3	576	9	-72
Д	90	5	+34	-2	1156	4	-68
Итого	280	35			4720	26	-310

х = 280 : 5 = 56

у = 35 : 5 = 7

rxy=	-310	= - 0,9
	4720 · 26

mrxy =±	1 – (-0,9)2	= ±0,12
	5

Таким образом, между числом привитых против инфекционного заболевания и числом заболевших этим заболеванием существует сильная обратная связь (достоверная).

Коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена)

При небольшом числе сравниваемых пар признаков, а также в случаях, когда исследуемые количественные данные носят приближенный характер или выражаются атрибутивными признаками различной интенсивности, целесообразно использовать непараметрический коэффициент связи – коэффициент корреляции рангов. Методика его вычисления состоит в том, что каждому имеющемуся наблюдению сравниваемых признаков присваивается порядковый номер (ранг) в порядке его возрастания или убывания. Если имеется несколько одинаковых значений признака, то им дается один и тот же ранг, равный среднему арифметическому рангов, которые они занимают по величине значения.

Определяются разности рангов каждой пары сопоставляемых значений, эти разности возводятся в квадрат и суммируются. Вычисляется коэффициент Спирмена по формуле:

p = 1 -	6 ∑ d2
	n (n2 – 1)

p– коэффициент корреляции («ро»),

d² – квадраты разностей рангов,

n– число парных наблюдений.

Оценка достоверности проводится по формуле и сравнивается с критическими значениями коэффициента Стьюдента в таблице для данного уровня значимости и числе степеней свободы n' =n– 2:

t = p · √	n– 2
	1 – p2

Пример.Определить и оценить связь между частотой летальных исходов и сроками инкубационного периода при столбняке (пример заимствован из книги «Опыт советской медицины в Великой Отечественной войне 1941 – 1945 гг.»).

Сроки инкубационного периода и летальность при столбняке

Инкубац. период (в днях), х	Летальность (%), у	Ранги		Разность между рангами, d	Квадрат разности, d2
		Инкубац.период, Rx	Летальность, Ry
1-2	100	1	12	-11	121
3-4	98	2	10,5	-8,5	72,25
5-6	98	3	10,5	-7,5	56,25
7-8	78	4	9	-5	25
9-10	72	5	8	-3	9
11-12	28	6	5,5	0,5	0,25
13-14	30	7	7	0	0
15-16	28	8	5,5	2,5	6,25
17-18	16	9	3,5	5,5	30,25
19-20	16	10	3,5	6,5	42,25
21-22	12	11	1,5	9,5	90,25
23-24	12	12	1,5	10,5	110,25
					∑ d2= 563

Подставляя полученные значения в формулу получаем:

p = 1 -	6 ·563	= - 0,968
	12 ·(122– 1)

t = -0,968 ·√	12 - 2	= 12,5
	1 – (-0,968)2

Сильна обратная связь между сроками инкубационного периода и летальностью при столбняке подтверждается с высокой степенью достоверности.